E₈ (matematik)

$E_8$ er den største specielle simple Lie gruppe . blev opdaget af Wilhelm Killing i 1888-1890, og dens moderne betegnelse kom fra klassificeringen af simple Lie-algebraer , som blev introduceret af Elie Cartan og Wilhelm Killing . Klassifikationen skelner mellem fire uendelige familier af simple Lie-algebraer , betegnet , , , , og fem specialtilfælde, betegnet E 6 , E 7 , E 8 , F 4 og G 2 . $E_8$ $A_{n}$ $B_{n}$ $C_{n}$ $D_{n}$

Beskrivelse

$E_8$ har rang 8 og dimension 248 (som sort ). Rodsystemvektorerne er defineret i otte dimensioner.

Dynkins skema

Dynkin-ordningen for E 8 har formen

Dette skema beskriver kort strukturen af rodsystemet. Hver skemanode er en simpel rod. En linje, der forbinder to simple rødder, betyder, at de er i en vinkel på 120° i forhold til hinanden. To simple rødder, der ikke er forbundet med en linje, er ortogonale.

Cartan matrix

Cartan-matricen af et rodsystem af orden r er en matrix, hvis elementer er bestemt af simple rødder som følger: $r\ gange r$

A_{{ij))=2{\frac {(\alpha _{i},\alpha _{j})}{(\alpha _{i},\alpha _{i))))))

hvor er det euklidiske skalarprodukt og er simple rødder. Matrixelementer afhænger ikke af valget af simple rødder (op til bestilling). $(\cdot, \cdot)$ $\alpha_i$

Cartan-matricen til E 8 har formen

\venstre[{\begin{smallmatrix}2&-1&0&0&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&0&0&-1\\0&0&-1&2&-1&0&0&0\\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 1&2&0\\0&0&-1&0&0&0&0&2\end{smallmatrix}}\right]

Determinanten for denne matrix er 1.

Se også

Links

"Nå, et meget stort resultat" , Computerra , Galaktion Andreev, 11. april 2007
"Teoretikere bryder ind i 248-dimensionelt rum" , Cnews , 20. marts 2007

Enestående simple Lie-grupper
G₂ F4 E₆ E₇ E₈

Gruppeteori
Basale koncepter	Undergruppe Normal undergruppe Faktor gruppe Arbejde direkte semi-direkte ledig
Algebraiske egenskaber	kommutativ gruppe Cyklisk gruppe bestilt gruppe Forvandle gruppe Opløselig gruppe Schreiers Lemma Lagranges sætning Sylows sætninger Klassificering af simple endelige grupper
begrænsede grupper	Endelig cyklisk gruppe C n Symmetrisk gruppe S n Dihedral gruppe D n Skiftende gruppe A n Klein Quadruple Group Mathieu grupper M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway grupper Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko grupper J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Fiskergrupper F22 _ F 23 F24 _ Monster (M)
Topologiske grupper	Løgngrupper Ortogonal gruppe O(n) Særlig ortogonal gruppe SO(n) Enhedsgruppe U(n) Særlig enhedsgruppe SU(n) Symplektisk gruppe Sp(n) Enestående enkel Lorentz gruppe Poincaré gruppe
Algoritmer på grupper	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourier transformation