Kvadrat rod

Kvadratroden af et tal ( 2. grads rod ) er et tal , der giver i anden kvadrat [1] : Ækvivalent definition: kvadratroden af et tal er løsningen til ligningen Operationen med at beregne værdien af kvadratroden af et tal kaldes "udtrække kvadratroden" af dette tal. $-en$ $x$ $-en$ $x\cdot x=a.$ $-en$ $x^{2}=a.$ $-en$

Oftest, og betyder reelle tal , men der er også generaliseringer for komplekse tal og andre matematiske objekter , såsom matricer og operatorer . $x$ $-en$

Hvert positivt reelt tal har to modsatte kvadratrødder. For eksempel er kvadratrødderne af tallet 9, og begge disse tal har de samme kvadrater og er lig med 9. Det gør det svært at arbejde med rødderne. For at sikre entydigheden introduceres begrebet en aritmetisk rod , hvis værdi altid er ikke-negativ for (og positiv for positiv ); den aritmetiske rod af et tal betegnes med rodens fortegn (radikal) [2] [3] : . $+3$ $-3,$ $a\geqslant 0$ $-en$ $-en$ ${\sqrt {a}}$

Eksempel på reelle tal: fordi ${\sqrt {16}}=4,$ ${\4}^{2}=16.$

Hvis det er nødvendigt at tage hensyn til rodens tvetydighed, placeres et plus- eller minustegn før radikalet [2] ; sådan gøres det for eksempel i formlen til løsning af en andengradsligning : $ax^{2}+bx+c=0$

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}

Historie

De første problemer i forbindelse med at udtrække kvadratroden findes i de babylonske matematikeres skrifter . Blandt sådanne opgaver [4] :

Anvendelse af Pythagoras sætning til at finde siden af en retvinklet trekant givet de to andre kendte sider.
Finde siden af en firkant , hvis areal er angivet.
Løsning af andengradsligninger .

Den babylonske lertavle YBC 7289 fra den babylonske samling af Yale University blev skabt mellem 1800 og 1600 f.Kr. e. og viser henholdsvis √2 og √2/2 i det sexagesimale talsystem : 1;24.51.10 og 0;42.25.35 på en firkant krydset af to diagonaler [5] . (1;24,51,10) i basis 60 svarer til 1,41421296, hvilket er den korrekte værdi med en nøjagtighed på 5 decimaler: Babylonske matematikere (II årtusinde f.Kr.) udviklede en speciel numerisk metode til at udtrække kvadratrodssættet [6] ud under . Lignende problemer og metoder findes i det gamle kinesiske " Matematik i ni bøger " [7] . $1+24/60+51/60^{2}+10/60^{3}=1{,}41421296.$

De gamle grækere gjorde en vigtig opdagelse: - et irrationelt tal . En detaljeret undersøgelse foretaget af Theaetetus fra Athen (4. århundrede f.Kr.) viste, at hvis roden af et naturligt tal ikke udvindes fuldstændigt, så er dets værdi irrationel [8] . ${\sqrt {2}}$

Middelalderlige europæiske matematikere (for eksempel Cardano ) betegnede kvadratroden [9] med symbolet R x , kort for ordet "radix". Den moderne notation blev første gang brugt af den tyske matematiker Christoph Rudolph , fra skolen af kossister (det vil sige algebraister), i 1525 [10] . Dette symbol kommer fra det stiliserede første bogstav i det samme ord " radix ". Linjen over det radikale udtryk var fraværende i begyndelsen; det blev senere introduceret af Descartes (" Geometries ", 1637) til et andet formål (i stedet for parenteser), og dette træk smeltede hurtigt sammen med rodtegnet.

Efter fremkomsten af Cardano-formlen (XVI århundrede), begyndte brugen af imaginære tal i matematik , forstået som kvadratrødder af negative tal [11] . Det grundlæggende i at arbejde med komplekse tal blev udviklet i det 16. århundrede af Rafael Bombelli , som også foreslog en original metode til at beregne rødder (ved hjælp af fortsatte brøker ). Opdagelsen af Moivres formel (1707) viste, at det altid er muligt at udtrække en rod af enhver grad fra et komplekst tal og ikke fører til en ny type tal [12] .

Komplekse rødder af vilkårlig grad blev studeret i dybden af Gauss i begyndelsen af det 19. århundrede , selvom de første resultater skyldes Euler [13] . En yderst vigtig opdagelse ( Galois ) var beviset på, at ikke alle algebraiske tal ( polynomiumrødder ) kan opnås fra naturlige tal ved hjælp af fire operationer af aritmetik og rodudvinding [14] .

Kvadratrødder af tal

Rationale tal

For rationelle tal er ligningen ikke altid løsbar i rationelle tal . Desuden er en sådan ligning, selv for positiv , opløselig i rationelle tal, hvis og kun hvis både tælleren og nævneren af tallet repræsenteret som en irreducerbar brøk er kvadrattal . $-en$ $x^2=a$ $-en$ $-en$

Den fortsatte brøk for roden af et rationelt tal er altid periodisk (evt. med en præperiode), hvilket gør det muligt på den ene side nemt at beregne gode rationelle tilnærmelser til rationelle tal ved hjælp af lineære rekursioner , og på den anden side begrænser nøjagtigheden af tilnærmelsen: , hvor afhænger af [ 15] [16] . Det er også rigtigt, at enhver periodisk fortsat brøk er en kvadratisk irrationalitet . $|{\sqrt {r}}-p/q|>{\frac {1}{Cq^{2}}}$ $C$ $r$

Eksempler på udvidelse af rødder fra naturlige tal fra 2 til 10 til fortsatte brøker:

${\sqrt {2}}$	= [1; 2, 2, ...]
$\sqrt{3}$	= [1; 1, 2, 1, 2, ...]
${\sqrt {4}}$	= [2]
${\sqrt {5}}$	= [2; 4, 4, ...]
${\sqrt {6}}$	= [2; 2, 4, 2, 4, ...]
${\sqrt {7}}$	= [2; 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, ...]
${\sqrt {8}}$	= [2; 1, 4, 1, 4, ...]
${\sqrt {9}}$	= [3]
${\sqrt {10}}$	= [3; 6, 6, ...]

Reelle (rigtige) tal

For ethvert positivt tal er der præcis to reelle rødder, der er lige i absolut værdi og modsatte i fortegn [17] . $-en$

En ikke-negativ kvadratrod af et ikke-negativt tal kaldes en aritmetisk kvadratrod og betegnes ved hjælp af radikaltegnet [3] : . $-en$ ${\sqrt a}$

Hovedegenskaberne for den rigtige kvadratrod (alle værdier under rodtegnet betragtes som positive):

${\sqrt {a^{2}}}=|a|:$
${\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}$ (roden af produktet er lig med produktet af faktorernes rødder);
${\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}\quad (b\neq 0);$

For komplekse tal, givet rodens to-værdi, er alle disse egenskaber uanvendelige (se nedenfor for et eksempel på en fejl).

Komplekse tal

Der er altid præcis to kvadratrødder af et komplekst tal , der ikke er nul, de er modsatte i fortegn. For rødder i det komplekse domæne er begrebet en aritmetisk rod ikke introduceret, fortegn for radikalen bruges normalt enten ikke, eller det betegner ikke rodens funktion, men mængden af alle rødder. I sidstnævnte tilfælde, for at undgå fejl, må det radikale tegn ikke bruges i aritmetiske operationer. Almindelig fejl:

-1=({\sqrt {-1}})^{2}={\sqrt {(-1)^{2}}}={\sqrt {1}}=1

(hvilket selvfølgelig ikke er sandt)

Fejlen opstod, fordi den komplekse kvadratrod er en funktion med to værdier og ikke kan bruges i aritmetik.

For at udtrække kvadratroden af et komplekst tal er det praktisk at bruge den eksponentielle notation af et komplekst tal: if

{\displaystyle a=|a|e^{i\phi ))

derefter (se De Moivre formel )

{\sqrt {a}}={\sqrt {|a|}}\cdot e^{i(\phi +2\pi k)/2}

hvor roden af modulus forstås i betydningen en aritmetisk værdi, og k kan antage værdierne k = 0 og k = 1 , således opnås to forskellige resultater til sidst.

Der er også en rent algebraisk repræsentation for roden af ; begge rodværdier er af formen hvor: $a+bi$ $\pm (c+di)$

{\displaystyle c={\sqrt {\frac {a+{\sqrt {a^{2}+b^{2)))){2))))

{\displaystyle d=\operatørnavn {sgn}(b){\sqrt {\frac {-a+{\sqrt {a^{2}+b^{2)))){2))))

Her er sgn "tegn"-funktionen . Formlen verificeres let ved at kvadrere [18] . $c+di$

Eksempel: for kvadratroden af formlen er der angivet to værdier: $3+4i$ $2+i;\;-2-i.$

Kvadratroden som en elementær funktion

Kvadratroden er en elementær funktion og et specialtilfælde af en potensfunktion med . Den aritmetiske kvadratrod er glat ved nul, men den er ret -kontinuerlig , men ikke differentierbar [19] . ${\displaystyle x^{\alpha ))$ $\alpha=1/2$ $x>0,$

Den afledte af kvadratrodsfunktionen beregnes med formlen:

{\frac {d({\sqrt {x}})}{dx}}={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}

Som funktion af en kompleks variabel er en rod en funktion med to værdier, hvis to blade er forbundet til nul (se Kompleks analyse for flere detaljer ).

I elementær geometri

Kvadratrødder er tæt beslægtet med elementær geometri : hvis et segment med længde 1 er givet, kan man ved hjælp af et kompas og en lineal konstruere disse og kun de segmenter, hvis længde er skrevet af udtryk, der indeholder heltal, tegn på fire operationer af aritmetik , kvadratrødder og intet mere [20] .

I datalogi

I mange programmeringssprog på funktionelt niveau (såvel som markup-sprog som LaTeX ) er kvadratrodsfunktionen betegnet som sqrt (fra den engelske kvadratrod "kvadratrod").

Ansøgning

Kvadratrødder bruges i hele matematik og naturvidenskab, for eksempel:

( numeriske metoder ) i formler til beregning af rødderne af en andengradsligning , samt rødderne af en ligning af tredje og fjerde grad ;
(geometri) i definitionen af den euklidiske norm i det euklidiske rum , såvel som i generaliseringer såsom Hilbert-rum ;
( sandsynlighedsteori og statistik ) ved bestemmelse af standardafvigelsen for en stokastisk variabel ;
( fysik ) Lorentz transformationer af speciel relativitet involverer faktoren ${\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))));$
( himmelmekanik ) rotationsperioden for en planet omkring Solen er relateret til dens banes halvstore akse med forholdet: (en konsekvens af Keplers tredje lov ). $T$ $EN$ ${\displaystyle T=k{\sqrt {A^{3))))$

Algoritmer til at finde kvadratroden

Taylor-seriens udvidelse

{\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)( n!)^{2}(4^{n))}}x^{n}=1+\tekststil {\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^ {2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\dots ,

kl .

|x|\leqslant 1

Groft skøn

Mange algoritmer til at beregne kvadratrødderne af et positivt reelt tal S kræver en vis begyndelsesværdi. Hvis startværdien er for langt fra den reelle værdi af roden, bliver beregningerne langsommere. Derfor er det nyttigt at have et groft skøn, der kan være meget unøjagtigt, men som er nemt at beregne. Hvis S ≥ 1 , lad D være antallet af cifre i S til venstre for decimaltegnet. Hvis S < 1 , lad D være antallet af på hinanden følgende nuller til højre for decimaltegnet, taget med et minustegn. Så ser et groft skøn sådan ud:

Hvis D er ulige, D = 2 n + 1 , så brug

{\sqrt {S}}\ca. 2\cdot 10^{n}.

Hvis D er lige, D = 2 n + 2 , så bruger vi

{\sqrt {S}}\ca. 6\cdot 10^{n}.

To og seks bruges fordi og ${\sqrt {\sqrt {1\cdot 10}}}={\sqrt[{4}]{10}}\ca. 2$ ${\sqrt {{\sqrt {10\cdot 100))))={\sqrt[ {4}]{1000}}\ca. 6\,.$

Når man arbejder i et binært system (som inde i computere), skal man bruge et andet estimat (her er D antallet af binære cifre). $2^{{\venstre\lgulv D/2\højre\rgulv}}$

Geometrisk kvadratrod

Da trekanter og er ens med hensyn til ligheden mellem trekanter ved 2 lige store vinkler, hvorfra og $\Delta ABH$ $\Delta BCH$ ${\frac {|AH|}{|BH|}}={\frac {|BH|}{|HC|}},~$ $|BH|^{2}=|AH|\cdot |HC|$ $|BH|={\sqrt {|AH|\cdot |HC|}}.$

Især hvis , og , så [21] . $|AH|=1$ $|HC|=x$ $|BH|={\sqrt {x}}$

Iterativ analytisk algoritme

Denne metode var allerede kendt i det gamle Babylon . Det giver dig mulighed for at finde den omtrentlige værdi af kvadratroden med enhver nøjagtighed,

Successive tilnærmelser beregnes ved formlen: derefter ${\begin{cases}x_{0}=a\\x_{n+1}={\frac {1}{2}}\left(x_{n}+{\frac {a}{x_ {n}}}\right)\end{cases}}$ $\lim _{{n\to \infty }}x_{n}={\sqrt {a}}$

Denne metode konvergerer meget hurtigt. For eksempel, hvis vi tager den indledende tilnærmelse for , får vi: ${\sqrt {5}}$ $x_{0}=2,$

x_{1}={\frac {9}{4}}=2{,}25;\ x_{2}={\frac {161}{72}}=2{,}23611\dots ; \ x_{3}={\frac {51841}{23184}}=2{,}2360679779\dots

I den endelige værdi er alle de givne tal korrekte, undtagen det sidste.

Kolonne

Denne metode giver dig mulighed for at finde den omtrentlige værdi af roden af ethvert reelt tal med en forudbestemt nøjagtighed. Ulemperne ved metoden omfatter den stigende kompleksitet af beregningen med en stigning i antallet af fundne cifre.

For manuelt at udtrække roden, bruges en notation svarende til kolonneopdeling . Det nummer, hvis rod vi leder efter, er skrevet ud. Til højre for den får vi gradvist tallene for den ønskede rod. Lad roden af tallet N udtrækkes med et endeligt antal decimaler. Til at begynde med, mentalt eller med etiketter, deler vi tallet N i grupper med to cifre til venstre og højre for decimaltegnet. Om nødvendigt polstres grupperne med nuller - heltalsdelen er polstret til venstre, brøkdelen til højre. Så 31234.567 kan repræsenteres som 03 12 34.56 70 . I modsætning til opdeling udføres nedrivning i sådanne grupper på 2 cifre.

Skriv tallet N (i eksemplet - 69696 ) ned på et stykke papir.
Find , hvis kvadrat er mindre end eller lig med gruppen af førende cifre i tallet N (den højeste gruppe er den længst til venstre, ikke lig med nul), og hvis kvadrat er større end gruppen af førende cifre i tallet. Skriv ned, hvad der findes til højre for N (dette er det næste ciffer i den ønskede rod). (I det første trin i eksemplet , a ). $-en$ $a+1$ $-en$ $a^{2}=2^{2}=2\cdot 2=4<6$ $(a+1)^{2}=3^{2}=3\cdot 3=9>6$
Skriv en firkant under den højeste gruppe af cifre. Foretag en subtraktion fra den højeste gruppe af cifre N i det udskrevne kvadrat af tallet og skriv resultatet af subtraktionen under dem. $-en$ $-en$
Til venstre for dette subtraktionsresultat tegner du en lodret linje, og til venstre for linjen skriver du et tal svarende til cifrene i det allerede fundet resultat (vi skriver dem til højre for N ), ganget med 20 . Lad os ringe til dette nummer . (På det første trin i eksemplet er dette tal simpelthen , på det andet, ). $b$ $b=2\cdot 20=40$ $b=26\cdot 20=520$
Nedbryd den næste gruppe af cifre, det vil sige, tilføj de næste to cifre af tallet N til højre for subtraktionsresultatet. Lad os kalde nummeret opnået ved at kombinere resultatet af subtraktion og den næste gruppe på to cifre. (I det første trin i eksemplet er dette tal , i det andet er det ). Hvis den første gruppe rives ned efter decimalpunktet for tallet N , skal du sætte en prik til højre for de allerede fundne cifre i den ønskede rod. $c$ $c=296$ $c=2096$
Nu skal vi finde noget , der er mindre end eller lig med , men større end . Skriv fundet til højre for N som det næste ciffer i den ønskede rod. Det er meget muligt, at det vil være lig med nul. Dette ændrer ikke noget - vi skriver 0 til højre for de allerede fundet rodcifre. (På det første trin i eksemplet er dette tal 6 , da , men ) Hvis antallet af fundne cifre allerede opfylder den ønskede nøjagtighed, stopper vi beregningsprocessen. $-en$ $(b+a)\cdot a$ $c$ $(b+(a+1))\cdot (a+1)$ $c$ $-en$ $-en$ $(40+6)\cdot 6=46\cdot 6=276<296$ $(40+7)\cdot 7=47\cdot 7=329>296$
Skriv nummeret under . Træk en kolonne med tal fra og skriv resultatet af subtraktionen under dem. Gå til trin 4. $(b+a)\cdot a$ $c$ $(b+a)\cdot a$ $c$

Visuel beskrivelse af algoritmen:

Variationer og generaliseringer

Kvadratroden af er defineret som en løsning til en ligning , og i princippet kan den defineres ikke kun for tal, men også overalt, hvor en sådan ligning giver mening. Generelt gælder følgende formelle definition: $-en$ $x^{2}=a,$

Lad være en groupoid og . Elementet kaldes kvadratroden af if . $(G,\cdot )$ $a\i G$ $x\i G$ $\a,$ $\x\cdot x=a$

Oftest betragtes sådanne generaliseringer i algebraiske ringe .

Hvis ringen er et integritetsdomæne , kan der enten være to eller ingen af kvadratrødderne af et element, der ikke er nul. Faktisk, hvis der er to rødder , så hvorfra: , Det vil sige på grund af fraværet af nuldelere , . Mere generelt, når ringen har nul divisorer eller er ikke- kommutativ , kan der være et hvilket som helst antal rødder. $a, b,$ $a^{2}=b^{2},$ $(ab)(a+b)=0$ $a=\pm b$

I talteori betragtes en endelig restringmodulo : hvis sammenligningen har en løsning, kaldes heltalet en kvadratisk rest (ellers en kvadratisk ikke-rest ). Løsningen af denne sammenligning ligner ret meget at udtrække kvadratroden i ringen af rester [22] . $m$ $x^{2}\equiv a{\pmod {m))$ $-en$

Rødderne til quaternioner har meget til fælles med komplekse, men der er også væsentlige træk. Kvadratkvaternionroden har normalt 2 værdier, men hvis rodudtrykket er et negativt reelt tal, så er der uendeligt mange værdier. For eksempel danner kvadratrødderne af en tredimensionel kugle defineret af formlen [23] : $-en$

\{ai+bj+ck\mid a^{2}+b^{2}+c^{2}=1\}\,.

For ringen af kvadratmatricer er det bevist, at hvis matrixen er positiv bestemt , så eksisterer den positive bestemte kvadratrod af matricen og er unik [24] . For matricer af andre typer kan der være et hvilket som helst antal rødder (inklusive ingen).

Kvadratrødder introduceres også for funktioner [25] , operatorer [26] og andre matematiske objekter.

Se også

Noter

↑ Mathematical Encyclopedia (i 5 bind), 1982 .
↑ 1 2 Elementær matematik, 1976 , s. 49.
↑ 1 2 Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics, 1970 , s. 33.
↑ History of Mathematics, 1970-1972 , bind I, s. 42-46.
↑ Analyse af YBC 7289 . ubc.ca. _ Hentet 19. januar 2015. Arkiveret fra originalen 12. marts 2020.
↑ History of Mathematics, 1970-1972 , bind I, S. 47.
↑ History of Mathematics, 1970-1972 , bind I, s. 169-171.
↑ Bashmakova I. G. Dannelse af algebra (fra matematiske idéers historie). - M . : Knowledge, 1979. - S. 23. - (Ny i livet, naturvidenskab, teknologi. Matematik, kybernetik, nr. 9).
↑ Nikiforovsky V. A. Fra algebraens historie i XVI-XVII århundreder. - M. : Nauka, 1979. - S. 81. - 208 s. — (Videnskabens og teknologiens historie).
↑ Matematiske tegn // Mathematical Encyclopedia . - M . : Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 2.
↑ History of Mathematics, 1970-1972 , bind I, s. 296-298.
↑ History of Mathematics, 1970-1972 , bind III, s. 56-59.
↑ History of Mathematics, 1970-1972 , bind III, S. 62.
↑ Kolmogorov A. N., Yushkevich A. P. (red.). Matematik i det 19. århundrede. Matematisk logik, algebra, talteori, sandsynlighedsteori. - M. : Nauka, 1978. - T. I. - S. 58-66.
↑ Liouvilles sætning om tilnærmelse af algebraiske tal
↑ Khinchin, 1960 .
↑ Fikhtengolts, 4 .
↑ Cooke, 2008 .
↑ Fikhtengolts, 2 .
↑ Courant, Robbins, 2000 .
↑ Courant, Robbins, 2000 , s. 148.
↑ Vinogradov I. M. Grundlæggende om talteori . - M. - L. : GITTL, 1952. - S. 71. - 180 s.
↑ Porteous, Ian R. Clifford Algebras og de klassiske grupper. Cambridge, 1995, side 60.
↑ Se for eksempel: Gantmakher F. R. Theory of Matrices. Moskva: GITTL, 1953, s. 212-219, eller: V. Voevodin, V. Voevodin. Encyclopedia of Linear Algebra. Elektronisk system LINEAL. SPb.: BHV-Petersburg, 2006.
↑ Se for eksempel: Ershov L. V., Raikhmist R. B. Konstruktion af grafer over funktioner. M.: Enlightenment, 1984, eller: * Kaplan I. A. Praktiske klasser i højere matematik. - Kharkov: Publishing House of KhGU, 1966.
↑ Se for eksempel: Hutson W., Pim J. Applications of functional analysis and operator theory. M.: Mir, 1983, eller: Halmosh P. Hilbert plads i problemer. M.: Mir, 1970.

Litteratur

Voevodin VV Encyclopedia of lineær algebra. Elektronisk system LINEAL. - Skt. Petersborg: BHV-Petersburg, 2006.
Ershov L. V., Raikhmist R. B. Konstruktion af grafer over funktioner. - Moskva: Uddannelse , 1984.
Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Elementær matematik. Gentag kurset. — Tredje Udgave. — M .: Nauka , 1976. — 591 s.
Matematikkens historie, i tre bind / Redigeret af A. P. Yushkevich . - M . : Nauka, 1970-1972.
Root // Mathematical Encyclopedia (i 5 bind) . - Moskva: Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 3.
Korn G., Korn T. Håndbog i matematik (for forskere og ingeniører) . - 2. udg. - Moskva: Nauka , 1970. - 720 s.
Courant R. , Robbins G. KAPITEL III Geometriske konstruktioner. Algebra af talfelter // Hvad er matematik? . — Moskva: MTsNMO , 2000.
Fikhtengol'ts G. M. Indledning, § 4 // [ Mat. analyse på EqWorld Kursus af differential- og integralregning]. - T. 1.
Fikhtengolts G. M. Kapitel 2, § 1 // [ Mat. analyse på EqWorld Kursus af differential- og integralregning]. - T. 1.
Halmosh P. Hilbert plads i problemer. - Moskva: Mir , 1970.
Hutson W., Pim J. Anvendelser af funktionel analyse og operatørteori. - Moskva: Mir , 1983.
Khinchin A. Ya. §§ 4, 10 // Fortsatte brøker . - Moskva: GIFML , 1960.
Cooke, Roger. Klassisk algebra : dens natur, oprindelse og anvendelser . - John Wiley og sønner, 2008. - S. 59 . — ISBN 0-470-25952-3 .

Links

Algoritmer til beregning af kvadratroden (engelsk) . Hentet 12. oktober 2006. Arkiveret fra originalen 19. november 2010.
Solovyov Yu. Gammel algoritme . Hentet 6. november 2006. Arkiveret fra originalen 3. marts 2016. (ubestemt)

Ordbøger og encyklopædier	Flot dansk Britannica (online)