Norm (matematik)

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 6. juni 2021; checks kræver 2 redigeringer .

En norm er en funktion, der defineres på et vektorrum og generaliserer begrebet længden af en vektor eller den absolutte værdi af et tal .

Definition

Vektornorm

En norm i et vektorrum over et felt af reelle eller komplekse tal er en funktionel med følgende egenskaber: $V\$ $p\colon V\to \mathbb {R_{+}}$

$p(x)=0\Højrepil x=0_{V};$
$\foral x,y\in V,p(x+y)\leqslant p(x)+p(y)$ ( trekant ulighed );
$\forall \alpha \in \mathbb {C} ,\forall x\in V,p(\alpha \,x)=|\alpha |p(x).$

Disse forhold er normens aksiomer .

Et vektorrum med en norm kaldes et normeret rum , og betingelser (1-3) kaldes også aksiomer for et normeret rum.

Fra normens aksiomer følger normens egenskab om ikke-negativitet på en indlysende måde:

$\forall x\in V,p(x)\geqslant 0$ .

Af den tredje ejendom følger nemlig: , og fra ejendom 2 - . $p(0_{V})=p(0\cdot 0_{V})=0\cdot p(0_{V})=0$ $\forall x\in V\colon 0=p(0_{V})=p(xx)\leqslant p(x)+p(-x)=2p(x)$

Oftest er normen angivet i formen :. Især er normen for et element i vektorrummet . $\|\cdot \|$ $\|x\|$ $x$ $\mathbb {R}$

En vektor med en enhedsnorm kaldes enhed eller normaliseret . $\left(\|x\|=1\right)$

Enhver ikke-nul vektor kan normaliseres, det vil sige divideret med sin egen norm: vektoren har en enhedsnorm. Fra et geometrisk synspunkt betyder det, at vi tager en codirectional vektor af enhedslængde. $x$ ${\frac {x}{\|x\|}}$

Matrix norm

En matrixnorm er et reelt tal , der opfylder de første tre af følgende betingelser: $EN$ $\|A\|$

$\|A\|\geqslant 0$ , og kun for ; $\|A\|=0$ $A=0\$
$\|\alpha A\|=|\alpha |\cdot \|A\|$ , hvor ; $\alpha \in \mathbb{R}$
$\|A+B\|\leqslant \|A\|+\|B\|$ ;
$\|AB\|\leqslant \|A\|\cdot \|B\|$ .

Hvis den fjerde egenskab også er opfyldt, kaldes normen submultiplikativ . En matrixnorm sammensat som en operatornorm siges at være underordnet den norm, der bruges i vektorrum. Det er klart, at alle underordnede matrixnormer er submultiplikative.

Matrixnormen fra kaldes konsistent med vektornormen fra og vektornormen fra, hvis den er sand: $\|\cdot \|_{{ab}}$ $K^{{m\ gange n}}$ $\|\cdot \|_{{a}}$ $K^n$ $\|\cdot \|_{{b}}$ $K^{m}$

\|Ax\|_{b}\leqslant \|A\|_{{ab}}\|x\|_{a}

for alle . $A\i K^{{m\ gange n}},x\i K^{n}$

Operatørnorm

Operatørens norm er nummeret , som er defineret som følger: $EN$

\|A\|=\sup _{{\|x\|=1}}\|Ax\|

, hvor er en operatør, der handler fra et normeret rum til et normeret rum .

EN

L

K

Denne definition svarer til følgende:

\|A\|=\sup _{{x\neq 0}}{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}

Egenskaber for operatørnormer:

$\|A\|\geqslant 0$ , og kun for ; $\|A\|=0$ $A=0$
$\|\alpha A\|=|\alpha |\cdot \|A\|$ , hvor ; $\alpha \in {\mathbb {R}}$
$\|A+B\|\leqslant \|A\|+\|B\|$ ;
$\|AB\|\leqslant \|A\|\cdot \|B\|$ .

I det finit -dimensionelle tilfælde svarer en operator på et eller andet grundlag til en matrix - operatorens matrix. Hvis normen på det eller de rum, hvor operatoren handler, tillader et af standardudtrykkene i grundlaget, så gentager egenskaberne for operatorens norm de tilsvarende egenskaber for matrixnormen.

Norm-egenskaber

$\|x\|-\|y\|\ \leqslant \|x\pm y\|\leqslant \|x\|+\|y\|$
${{\bigl (}\|x\|-\|y\|{\bigr )}}^{2}\leqslant {\|x\pm y\|}^{2}\leqslant {{ \bigr (}\|x\|+\|y\|{\bigl )}}^{2}$
${\frac {\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|xy\|^{2}}{2\|x\|\|y\|}}\in [-1,1]$ [vinklens kosinus]
$\|0_{V}\|=\|xx\|=\|0x\|=0\cdot \|x\|=0$
$0=\|xx\|\leqslant \|x\|+\|-x\|=2\|x\|\Højrepil \|x\|\geqslant 0$

Ækvivalens af normer

To normer og på et rum kaldes ækvivalente , hvis der er to positive konstanter og sådan , at for enhver . Tilsvarende normer definerer den samme topologi på rummet. I et finitdimensionelt rum er alle normer ækvivalente [1] . $s$ $q$ $V$ $C_{1}$ $C_{2}$ $x \i V$ $C_{1}p(x)\leqslant q(x)\leqslant C_{2}p(x)$

Eksempler

Lineære normerede rum

Ethvert præ-Hilbert rum kan betragtes som normeret , da det skalære produkt genererer en naturlig norm

\|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle )),\quad x\in X.

Hölder normer for dimensionelle vektorer (familie): , $n$ $\|x\|_{p}={\left(\sum _{i}|x_{i}|^{p}\right)}^{\frac {1}{p))$

hvor (normalt antaget at være et naturligt tal). I særdeleshed: $p\geqslant 1$

$\|x\|_{1}=\sum _{{i}}|x_{{i}}|$ , som også kaldes L1 metrisk , norm $\ell _{1}$ eller Manhattan distance . For en vektor er det summen af modulerne af alle dens elementer.
$\|x\|_{2}={\sqrt {\sum _{{i}}|x_{{i}}|^{2}}}$ , som også kaldes L2 - metrikken , normen $\ell _{2}$ eller den euklidiske norm . Er den geometriske afstand mellem to punkter i flerdimensionelt rum, beregnet ved hjælp af Pythagoras sætning.
$\|x\|_{\infty }=\max |x_{{i}}|$ (dette er et ekstremt tilfælde ). $p\højrepil \infty$

Normerne for funktioner i rummet af reelle (eller komplekse) kontinuerte funktioner i intervallet [0,1] : $C[0,1]$
- $\|f\|_{{C[0,1]}}=\sup _{{x\in [0,1]}}|f(x)|$ - i denne norms forstand danner det kontinuerlige funktionsrum på et segment et
komplet lineært rum . Det samme kan ikke siges om følgende to eksempler på en norm på dette område, som ikke desto mindre er legitime: $C[0,1]$
$\|f\|_{1}=\int \limits _{0}^{1}|f(t)|\,dt$
$\|f\|_{2}={\sqrt {\int \limits _{0}^{1}|f(t)|^{2}\,dt))$

Tilsvarende kan vi introducere normer for finit-dimensionelle vektorfunktioner af finit-dimensionale vektorargumenter, der erstattes af , og integration over et segment ved integration over et domæne (maksimum på et segment, i det tilsvarende tilfælde, er et maksimum på et domæne ). $|f(x)|\$ $\|f(x)\|\$

"L0 norm"

Et særligt tilfælde er (L0-"norm"), defineret som antallet af ikke-nul elementer i vektoren. Strengt taget er dette ikke en norm, da normens tredje aksiom ikke holder. Grundlæggende bruges denne type "norm" i sparse kodningsproblemer, især i Compressive sensing , hvor du skal finde den mest sparsomme repræsentation af en vektor (med flest nuller), det vil sige med den mindste -norm. Med denne "norm" kan Hamming-afstanden bestemmes . $\ell _{0}$ $\ell _{0}$

Nogle typer matrixnormer

Genererede normer : $\|A\|_{{p}}=\sup _{{\|x\|_{{p}}=1}}\|Ax\|_{{p}}$
- $p=1$ : -norm, $m$ $\|A\|_{m}=\max _{j}\sum _{i}|a_{{ij}}|$
- $p=2$ ( Euklidisk norm ) og (kvadratmatricer), den underordnede norm for en matrix kaldes den spektrale norm . Den spektrale norm for en matrix er lig med den største singulære værdi af matrixen eller kvadratroden af den største egenværdi af en positiv semidefinit matrix : , hvor angiver matrixkonjugatet til matrixen . $m=n$ $EN$ $EN$ $A^{\dolk}A$ $\left\|A\right\|_{2}={\sqrt {\lambda _{({\text{max))))(A^{\dolk}A)))$ $A^{\dolk }$ $EN$
- $p=\infty$ : -norm $l$ $\|A\|_{l}=\max _{i}\sum _{j}|a_{{ij}}|$

Her er matrix konjugat til og er sporet af matrixen .

A^{\dolk }

EN

{\mathrm {Tr}}

Element -wise -norm ( ): $s$ $p>0$ $\|A\|_{p}=\left(\sum _{i,j}|a_{ij}|^{p}\right)^{\frac {1}{p))$
- Frobenius norm : . $\|A\|_{F}=\|A\|_{2}={\sqrt {\sum _{i,j}|a_{ij}|^{2))}={\ sqrt {\mathrm {Tr} \,A^{\dolk }A))$

Relaterede begreber

Topologi af rummet og normen

Normen definerer en metrik på rummet (i betydningen en afstandsfunktion af et metrisk rum ), og genererer således et metrisk rum og dermed en topologi , hvis basis er alle slags åbne kugler, det vil sige sæt af form . Konvergensbegreberne defineret i den mængdeteoretiske topologis sprog i en sådan topologi og defineret i en norms sprog er sammenfaldende. $B(x,r)=\{y\kolon \|xy\|<r\}$

Se også

Noter

↑ M. Verbitsky. Topologi introduktionskursus. Problemer og sætninger . Liter, 2018-12-20. - S. 163-164. — 346 s.