Konfokale keglesnit

Konfokale keglesnit - i geometri , keglesnit, der har samme brændpunkter . Da ellipser og hyperbler har to foci, er der konfokale ellipser og konfokale hyperbler , og en ellipse og hyperbler kan være konfokale til hinanden. I det tilfælde, hvor en familie af ellipser er konfokal til en familie af hyperbler, skærer hver ellipse ortogonalt hver hyperbel. Parabler har kun ét fokus, så overvej konfokale de parabler, der har et fælles fokus og den samme symmetriakse. Derfor ligger ethvert punkt uden for symmetriaksen på to konfokale parabler, der skærer hinanden i rette vinkler.

Begrebet konfokale keglesnit kan generaliseres til tredimensionelt rum ved at overveje konfokale kvadrikker .

Konfokale ellipser

En ellipse, der ikke er en cirkel, er entydigt bestemt af placeringen af brændpunkter og et punkt uden for hovedaksen. Et bundt konfokale ellipser med foci kan beskrives ved ligningen $F_{1},\;F_{2}$ $F_{1}=(c,0),\;F_{2}=(-c,0)$

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}-c^{2}}}=1\ , \quad a>c\ ,$

hvor semi-hovedaksen er en parameter (brændvidden er entydigt bestemt af brændpunkternes placering). Da et punkt på en ellipse entydigt definerer værdien af , så $-en$ $c$ $-en$

ingen ellipser i blyanten har fælles punkter.

Konfokale hyperbler

En hyperbel er entydigt bestemt af placeringen af brændpunkter og et punkt uden for symmetriakserne. Et bundt af konfokale hyperbler med foci kan beskrives ved ligningen $F_{1},\;F_{2}$ $F_{1}=(c,0),\;F_{2}=(-c,0)$

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{c^{2}-a^{2}}}=1\, \quad 0<a<c\ ,$

hvor semi-hovedaksen er en parameter (brændvidden er entydigt bestemt af brændpunkternes placering). Da et punkt på en hyperbel entydigt definerer værdien af , så $-en$ $c$ $-en$

ikke to hyperbler i en blyant har fælles punkter.

Konfokale ellipser og hyperbler

Ligningen

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}-c^{2}}}=1$

beskriver en ellipse ved og en hyperbel ved . $c<a$ $0<a<c$

I litteraturen kan du finde en anden version af præsentationen:

${\frac {x^{2}}{a^{2}-\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-\lambda }}=1\ ,$

hvor er halvakserne for den givne ellipse (så er foci også givet) og er en stråleparameter. For får vi konfokale ellipser (dvs. ) og for får vi konfokale hyperbler med foci . $a,b$ $F_{1},\;F_{2}$ $\lambda$
$\lambda <b^{2}$ ${\displaystyle a^{2}-\lambda -(b^{2}-\lambda )=c^{2))$
$b^{2}<\lambda <a^{2}$ $F_{1},\;F_{2}$

Betragtning af bundter af konfokale ellipser og hyperbler fører til følgende konklusion om tangenten og normalen i et givet punkt (normalen til ellipsen og tangenten til hyperbelen halverer vinklen mellem retningerne fra punktet til brændpunkterne):

hver ellipse i bundtet skærer hver hyperbel i en ret vinkel (se figur).

Det er således muligt at dække planet med et ortogonalt system af konfokale ellipser og hyperbler. Et sådant ortogonalt gitter kan bruges som grundlag for et elliptisk koordinatsystem .

Konfokale parabler

Parabler har kun ét fokus. Man kan betragte en parabel som grænsen for et bundt af konfokale ellipser eller hyperbler, hvor det ene fokus er fikseret, og det andet er fjernet til det uendelige. Hvis en lignende overvejelse udføres for konfokale ellipser og hyperbler, kan man få et system af to blyanter af konfokale paraboler.

Ligningen beskriver en parabel med origo i fokus, hvor x -aksen er symmetriaksen. Overvej to bundter af parabler: $y^{2}=2p(x+p/2)=2px+p^{2}$

$y^{2}=2px+p^{2}\ ,\quad p>0\ ,$ parabler, uendelige til højre,

y^{2}=-2qx+q^{2}\ ,\quad q>0\ ,

parabler, uendelige til venstre, fokus er delt.

F=(0,0)

Det følger af parabelligningen, at

parabler, der strækker sig i én retning, har ikke fælles punkter.

Det viser beregninger

enhver parabel , der strækker sig til højre, skærer enhver parabel , der strækker sig til venstre ortogonalt. Skæringspunkter har koordinater . $y^{2}=2px+p^{2}$ $y^{2}=-2qx+q^{2}$ $({\tfrac {qp}{2)),\pm {\sqrt {pq)))\$

Vektorerne ( er normalvektorerne i skæringspunkterne. Skalarproduktet af disse vektorer er lig nul. ${\vec {n}}_{1}=\left(p,\mp {\sqrt {pq}}\right)^{T},\ {\vec {n}}_{2}= \left(q,\pm {\sqrt {pq}}\right)^{T})$

I analogi med konfokale ellipser og hyperbler kan flyet dækkes med et ortogonalt gitter af parabler.

Graves' teorem om konstruktionen af konfokale ellipser

I 1850 beviste og publicerede den irske biskop Charles Graves følgende metode til at konstruere konfokale ellipser ved hjælp af en tråd: [1]

hvis vi omgiver en given ellipse E med en ring af en tråd, der er længere end konturen af en given ellipse, tegner vi en ny ellipse ved hjælp af "nålene" fast i brændpunkter (se konstruktionen af en ellipse ), mens den nye ellipse vil være konfokal med E. Beviset for denne erklæring kræver brug af elliptiske integraler . Otto Staude generaliserede denne metode til at konstruere konfokale ellipsoider.

Hvis ellipsen E er et segment , vil de ellipser, der er konfokale til det, have foci . $F_{1}F_{2}$ ${\displaystyle F_{1},F_{2))$

Konfokale overflader af anden orden

Begrebet andenordens konfokale overflader er en formel generalisering af begrebet konfokale keglesnit til tredimensionelt rum.

Vi vælger tre reelle tal under betingelsen . Ligningen $a,b,c$ $a>b>c>0$

${\frac {x^{2}}{a^{2}-\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-\lambda }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}-\lambda }}=1$ beskriver

ellipsoide ved,

\lambda <c^{2}

et-ark hyperboloid ved (blå overflade i figuren),

c^{2}<\lambda <b^{2}

to-arks hyperboloid ved .

b^{2}<\lambda <a^{2}

Når der ikke er løsninger

a^{2}<\lambda

(I denne sammenhæng er parameteren ikke brændvidden af ellipsoiden). $c$

På samme måde som tilfældet med konfokale ellipser/hyperboler har vi følgende egenskaber:

ethvert punkt ligger på kun én overflade af hver af de tre typer konfokale kvadrikker; $(x_{0},y_{0},z_{0})\in \mathbb {R} ^{3}$ $x_{0}\neq 0,\;y_{0}\neq 0,\;z_{0}\neq 0$

tre andenordens overflader, der passerer gennem et punkt, skærer ortogonalt

(x_{0},y_{0},z_{0})

Bevis på eksistensen og unikheden af tre kvadrikker, der passerer gennem et givet punkt: for et punkt ved , overvej funktionen $(x_{0},y_{0},z_{0})$ $x_{0}\neq 0,y_{0}\neq 0,z_{0}\neq 0$

f(\lambda )={\frac {x_{0}^{2}}{a^{2}-\lambda }}+{\frac {y_{0}^{2}}{b^ {2}-\lambda }}+{\frac {z_{0}^{2}}{c^{2}-\lambda }}-1

Denne funktion har tre lodrette asymptoter og er kontinuerlig og monotont stigende i alle intervaller . En analyse af funktionens adfærd nær de lodrette asymptoter og ved fører til den konklusion, at den har tre rødder ved $c^{2}<b^{2}<a^{2}$ $(-\infty ,c^{2}),\;(c^{2},b^{2}),\;(b^{2},a^{2}),\;( a^{2},\infty )$ $\lambda \to \pm \infty$ $f$ ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3))$ ${\color {red}\lambda _{1}}<c^{2}<{\color {red}\lambda _{2}}<b^{2}<{\color {red}\ lambda _{3}}<a^{2}\ .$

Bevis for ortogonalitet af overflader: overvej skiver af funktioner med parameter . Konfokale kvadrikker kan beskrives ved relationen . For alle to krydsende kvadrikker ved et fælles punkt , ligheden $F_{\lambda }(x,y,z)={\frac {x^{2}}{a^{2}-\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b ^{2}-\lambda }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}-\lambda }}$ $\lambda$ $F_{\lambda }(x,y,z)=1$ $F_{\lambda _{i}}(x,y,z)=1,\;F_{\lambda _{k}}(x,y,z)=1$ $(x,y,z)$

0=F_{\lambda _{i}}(x,y,z)-F_{\lambda _{k}}(x,y,z)=\dotsb =(\lambda _{i}- \lambda _{k})\left({\frac {x^{2}}{(a^{2}-\lambda _{i})(a^{2}-\lambda _{k})} }+{\frac {y^{2}}{(b^{2}-\lambda _{i})(b^{2}-\lambda _{k)))))+{\frac {z ^ {2}}{(c^{2}-\lambda _{i})(c^{2}-\lambda _{k})}}\right)\ .

Derfor det skalære produkt af gradienter på et fælles punkt

\operatorname {grad} F_{\lambda _{i}}\cdot \operatorname {grad} F_{\lambda _{k}}=4\;\left({\frac {x^{2}} {(a^{2}-\lambda _{i})(a^{2}-\lambda _{k})}}+{\frac {y^{2}}{(b^{2}- \lambda _{i})(b^{2}-\lambda _{k})}}+{\frac {z^{2}}{(c^{2}-\lambda _{i})( c^{2}-\lambda _{k})}}\right)=0\ ,

hvilket beviser ortogonalitet.

Ansøgninger. Ved Ch. Dupins
teorem om ortogonale systemer af overflader er følgende udsagn sande:

skæringslinjen mellem to konfokale overflader af anden orden er krumningslinjen ;
analogt med elliptiske koordinater kan ellipsoide koordinater indføres .

I fysik er konfokale ellipsoider ækvipotentielle overflader:

de ækvipotentielle overflader af en ladet ellipsoide er konfokale til den givne ellipsoide. [2]

Elfenbens sætning

Ivorys sætning , opkaldt efter den skotske matematiker James Ivory (1765-1842), er et udsagn om diagonalerne af en firkant dannet af ortogonale kurver.

I enhver firkant dannet af to konfokale ellipser og to konfokale hyperbler med samme brændpunkter, er diagonalerne lige lange.

Skæringspunkter for en ellipse og en konfokal hyperbel
Lade være en ellipse med foci givet ved ligningen $E(a)$ $F_{1}=(c,0),\;F_{2}=(-c,0)$

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}-c^{2}}}=1\ , \quad a>c>0,\

a er en konfokal hyperbel med ligningen $H(u)$

{\frac {x^{2}}{u^{2}}}+{\frac {y^{2}}{u^{2}-c^{2}}}=1\ , \quad c>u\ .

Beregn skæringspunkterne og giv koordinaterne for de fire punkter $E(a)$ $H(u)$

$\left(\pm {\frac {au}{c)),\;\pm {\frac {\sqrt {(a^{2}-c^{2})(c^{2}- u^{2})}}{c}}\right).$

Diagonaler af en firkant
For at forenkle beregningerne, antag, at

$c=1$ , hvilket ikke er en væsentlig begrænsning, da skalering er mulig;
når vi vælger et skilt (se afsnittet om skæringspunkter), vil vi kun overveje . Det er nemt at vise, at valg af et andet skilt vil føre til det samme resultat. $\om eftermiddagen$ $+$

Lad være konfokale ellipser og være konfokale hyperbler med samme foci. Diagonaler af en firkant dannet af skæringspunkter med koordinater $E(a_{1}),E(a_{2})$ $H(u_{1}),H(u_{2})$

P_{11}=\left(a_{1}u_{1},\;{\sqrt {(a_{1}^{2}-1)(1-u_{1}^{2}) }}\right)\ ,\quad P_{22}=\left(a_{2}u_{2},\;{\sqrt {(a_{2}^{2}-1)(1-u_{2} }^{2})}}\right)\ ,

P_{12}=\left(a_{1}u_{2},\;{\sqrt {(a_{1}^{2}-1)(1-u_{2}^{2}) }}\right)\ ,\quad P_{21}=\left(a_{2}u_{1},\;{\sqrt {(a_{2}^{2}-1)(1-u_{1) }^{2})}}\right)

have længder

{\begin{aligned}|P_{11}P_{22}|^{2}&=(a_{2}u_{2}-a_{1}u_{1})^{2}+\ venstre({\sqrt {(a_{2}^{2}-1)(1-u_{2}^{2})}}-{\sqrt {(a_{1}^{2}-1)( 1-u_{1}^{2})}}\right)^{2}=\dotsb \\&=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+u_{1}^ {2}+u_{2}^{2}-2\,\left(1+a_{1}a_{2}u_{1}u_{2}+{\sqrt {(a_{1}^{2} }-1)(a_{2}^{2}-1)(1-u_{1}^{2})(1-u_{2}^{2})}}\right)\end{aligned} }

Det sidste udtryk er invariant med hensyn til erstatningen . En sådan udskiftning fører til et udtryk for længden . Derfor ligheden ${\displaystyle u_{1}\leftrightarrow u_{2))$ $|P_{1\farve {rød}2}P_{2\farve {rød}1}|^{2}$

$|P_{11}P_{22}|=|P_{12}P_{21}|$

Beviset for påstanden for konfokale parabler er en simpel beregning.

Elfenben beviste også et teorem for det tredimensionelle tilfælde:

i et tredimensionelt rektangulært parallelepipedum dannet af konfokale kvadrikker, har diagonalerne, der forbinder modstående punkter, lige lange.

Noter

↑ Felix Klein: Vorlesungen über Höhere Geometrie , Sringer-Verlag, Berlin, 1926, S.32.
↑ D. Fuchs, S. Tabachnikov: Ein Schaubild der Mathematik. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-12959-9 , s. 480.

Litteratur

W. Blaschke : Analytische Geometrie. Springer, Basel 1954, ISBN 978-3-0348-6813-6 , s. 111.
G. Glaeser, H. Stachel, B. Odehnal: The Universe of Conics: Fra de antikke grækere til det 21. århundredes udvikling , Springer Spektrum, ISBN 978-3-662-45449-7 , s. 457.
David Hilbert & Stephan Cohn-Vossen (1999), Geometry and Imagination , American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1998-4
Ernesto Pascal: Repertorium der höheren Mathematik. Teubner, Leipzig/Berlin 1910, s. 257.
A. Robson: An Introduction to Analytical Geometry Vo. I, Cambridge, University Press, 1940, s. 157.
DMY Sommerville: Analytical Geometry of Three Dimensions , Cambridge, University Press, 1959, s. 235.