Teori om diofantiske approksimationer

Teorien om diofantiske tilnærmelser er en gren af talteorien , der studerer tilnærmelsen af reelle tal ved rationelle ; opkaldt efter Diophantus af Alexandria .

Det første problem var spørgsmålet om, hvor godt et reelt tal kan tilnærmes ved rationelle tal. For dette problem er et rationelt tal a / b en "god" tilnærmelse af et reelt tal α , hvis den absolutte værdi af forskellen mellem a / b og α ikke kan reduceres ved at erstatte a / b med en anden rationel brøk med en mindre nævner. Problemet blev løst i det 18. århundrede ved hjælp af fortsatte brøker .

Hvis de "bedste" tilnærmelser af et givet tal kendes, er områdets hovedopgave at finde den nøjagtige øvre og nedre grænse for den førnævnte forskel, udtrykt som en funktion af nævneren.

Grænserne synes at afhænge af arten af de reelle tal - den nedre grænse for en tilnærmelse af rationelle tal med et andet rationelt tal er større end den nedre grænse for algebraiske tal , som i sig selv er større end den nedre grænse for reelle tal. Således er de reelle tal, der kan tilnærmes bedre end grænsen for algebraiske tal, absolut transcendentale tal . Dette gjorde det muligt for Liouville i 1844 at opnå det første eksplicit givne transcendentale nummer. Senere, ved hjælp af en lignende metode, blev det bevist, at og er transcendentale. $\pi$ $e$

Diofantiske tilnærmelser og teorien om transcendentale tal er således meget tætte områder og har mange generelle teoremer og metoder. Diofantiske tilnærmelser har også vigtige anvendelser i studiet af diofantiske ligninger .

Historiske bemærkninger

Efter at Borel og Khinchin havde fastslået, at næsten alle tal kun indrømmer den "værste tilnærmelse" med rationelle tal, blev retningen for den metriske teori om diophantiske tilnærmelser (teorien om tilnærmelser af uafhængige størrelser) dannet, som hører til den klassiske gren af diofantiske tilnærmelser. .

En ny trend kom fra en uventet retning. Mahler, der klassificerede transcendentale tal, formulerede det vigtigste metriske problem i teorien om transcendentale tal - hypotesen om "målet for transcendens" af næsten alle tal. Da formodningen blev bevist, begyndte der at åbne sig en dyb forbindelse mellem den klassiske teori om diofantiske tilnærmelser og den metriske teori om transcendentale tal. Resultatet var udviklingen af en ny retning - teorien om tilnærmelser af afhængige størrelser.

Der er tre hovedtilgange i moderne teori.

Global, studerer de generelle love om tilnærmelse. Eksempler på globale udsagn er Dirichlet- og Kronecker-sætningerne, Minkowski-formodningen om produkter af lineære former.
En individuel tilgang vedrører egenskaberne ved specielle tal (algebraiske tal, ) eller kræver konstruktion af tal med bestemte egenskaber (Liouville-tal, Mahler T-tal). $e,\pi ,\ln 2$
Den metriske tilgang, som indtager en mellemposition. Tilgangen kræver en beskrivelse af tals tilnærmelsesegenskaber baseret på måleteori [1] .

Bedste diofantiske tilnærmelser af reelle tal

Givet et reelt tal α , er der to måder at finde den bedste diofantiske tilnærmelse af α . I den første definition [2] er et rationelt tal p / q den bedste diofantiske tilnærmelse af et tal α hvis

\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<\left|\alpha -{\frac {p'}{q'}}\right|,

for ethvert rationelt tal p' / q' bortset fra p / q , således at 0 < q ′ ≤ q .

I den anden definition [3] [4] erstattes ovenstående ulighed med

\left|q\alpha -p\right|<\left|q^{\prime }\alpha -p^{\prime }\right|.

Den bedste tilnærmelse til den anden definition er den bedste til den første definition, men det modsatte er ikke sandt [5] .

Teorien om fortsatte brøker giver dig mulighed for at beregne den bedste tilnærmelse af et reelt tal - for den anden definition konvergerer brøker som almindelige fortsatte brøker [4] [5] [6] . For den første definition bør mellemfraktioner [2] også tages i betragtning .

Bemærk : Vi er enige om at angive medpassende fraktioner af en given fortsat fraktion. Brøkerdanner en stigende sekvens for lige k og en faldende sekvensfor ulige k . De ekstreme medlemmer af denne sekvens er konvergenter af samme paritet. Udtrykkene mellem dem kaldes mellembrøker [7] .

{\frac {p_{k}}{q_{k}}}

{\tfrac {p_{k-2}}{q_{k-2}}},{\tfrac {p_{k-2}+p_{k-1}}{q_{k-2}+ q_{k-1))},{\tfrac {p_{k-2}+2p_{k-1}}{q_{k-2}+2q_{k-1}}},...,{\ tfrac {p_{k-2}+a_{k}p_{k-1}}{q_{k-2}+a_{k}q_{k-1}}}={\tfrac {p_{k}} {q_{k}}}

For eksempel er konstanten e = 2,718281828459045235… repræsenteret som en fortsat brøk

[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,\ldots \;].

Hendes bedste præstationer efter den anden definition

3,{\tfrac {8}{3)),{\tfrac {11}{4)),{\tfrac {19}{7)),{\tfrac {87}{32)),\ ldots\,,

Mens ved den første definition ville de bedste repræsentationer være

3,{\tfrac {5}{2)),{\tfrac {8}{3)),{\tfrac {11}{4)),{\tfrac {19}{7)),{ \tfrac {49}{18)),{\tfrac {68}{25)),{\tfrac {87}{32)),{\tfrac {106}{39)),\ldots \,.

Et mål for nøjagtigheden af tilnærmelser

Et åbenlyst mål for nøjagtigheden af den diofantiske tilnærmelse af et reelt tal α med et rationelt tal p / q er . Denne værdi kan dog altid gøres så lille som ønsket ved at øge de absolutte værdier af p og q . Af denne grund sammenlignes nøjagtigheden af tilnærmelsen normalt med en funktion φ af nævneren q , normalt en negativ potens af nævneren. $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|$

En øvre grænse for de nedre grænser for nøjagtighed kan bruges til et sådant estimat. Den nedre grænse er normalt beskrevet med en sætning som "For ethvert element α af en delmængde af de reelle tal og ethvert rationelt tal p / q vi har ". I nogle tilfælde kan "ethvert rationelt tal" erstattes af "alle rationelle tal undtagen et endeligt tal", og dette tal tages i betragtning ved at gange φ med en konstant afhængig af α . $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>\phi (q)$

For øvre grænser kan man tage højde for, at ikke alle de "bedste" diofantiske tilnærmelser opnået ved konstruktion af en fortsat fraktion kan give den ønskede nøjagtighed. Derfor tager sætningerne formen "For ethvert element α af en delmængde af reelle tal, er der uendeligt mange rationelle tal p / q sådan at ". $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<\phi (q)$

Dårligt tilnærmede tal

Et dårligt tilnærmet tal er et tal x , for hvilket der findes en positiv konstant c , således at vi for alle rationelle p / q har

\left|{x-{\frac {p}{q}}}\right|>{\frac {c}{q^{2}}}\ .

Dårligt tilnærmede tal er nøjagtigt tal med afgrænsede partielle kvotienter [8] .

Nedre grænser for diofantiske tilnærmelser

Approksimation af rationelle tal med andre rationelle tal

Et rationelt tal kan naturligvis tilnærmes perfekt med tal for ethvert positivt heltal i . $\alpha ={\frac {a}{b))$ ${\tfrac {p_{i}}{q_{i}}}={\tfrac {i\,a}{i\,b}}$

Hvis vi har ${\tfrac {p}{q}}\not =\alpha ={\tfrac {a}{b}}\,,$

\left|{\frac {a}{b}}-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {aq-bp}{bq}}\right|\ geq {\frac {1}{bq)),

fordi det er et positivt heltal og derfor ikke er mindre end 1. Denne tilnærmelsesnøjagtighed er dårlig med hensyn til irrationelle tal (se næste afsnit). $|aq-bp|$

Det kan ses, at ovenstående bevis anvender en variant af Dirichlet-princippet - et ikke-negativt tal, der ikke er lig med 0, ikke mindre end 1. Denne åbenlyst trivielle bemærkning bruges i næsten alle beviser for de nedre grænser for diofantiske tilnærmelser, selv mere komplekse.

For at opsummere det, er et rationelt tal perfekt tilnærmet af sig selv, men dårligt tilnærmet af ethvert andet rationelt tal.

Approksimation af algebraiske tal, Liouvilles resultat

I 1840'erne opnåede Joseph Liouville den første nedre grænse for tilnærmelse af algebraiske tal - hvis x er et irrationelt algebraisk tal af grad n over rationelle tal, så er der en konstant c ( x ) > 0 , således at

{\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x)}{q^{n))))

for alle heltal p og q , hvor q > 0 .

Dette resultat gjorde det muligt for ham at opnå det første beviste eksempel på et transcendentalt tal, Liouville-konstanten :

\sum _{j=1}^{\infty }10^{-j!}=0,1100010000000000000000001000\ldots \,

som ikke opfylder Liouvilles sætning, uanset hvilken potens n der vælges.

Denne forbindelse mellem diofantiske tilnærmelser og teorien om transcendentale tal er observeret indtil nu. Mange bevisteknikker er fælles for disse to områder.

Approksimation af algebraiske tal, Thue-Siegel-Roth-sætning

I mere end et århundrede har der været mange forsøg på at forbedre Liouvilles teorem – enhver forbedring af grænsen giver os mulighed for at bevise transcendensen af flere tal. Store forbedringer blev foretaget af Axel Thue [9] , Karl Siegel [10] , Freeman Dyson [11] og Klaus Roth [12] , hvilket til sidst førte til Thue-Siegel-Roth-sætningen - Hvis x er et irrationelt algebraisk tal og ε , (lille) positivt reelt tal, så eksisterer der en positiv konstant c ( x , ε ) sådan at

{\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x,\varepsilon )}{q^{2+\varepsilon ))))

for ethvert heltal p og q således, at q > 0 .

På en måde er dette resultat optimalt, da påstanden af sætningen mislykkes for ε =0. Dette er en direkte konsekvens af de øvre grænser beskrevet nedenfor.

Fælles tilnærmelser af algebraiske data

Efterfølgende generaliserede Wolfgang Schmidt dette til tilfældet med fælles tilnærmelser og beviste, at hvis x 1 , ..., x n er algebraiske tal, således at 1, x 1 , ..., x n er lineært uafhængige af rationelle tal , og ethvert positivt reelt tal ε er givet , så er der kun endeligt mange rationelle n -tupler ( p 1 / q , ..., p n / q ) sådan at

|x_{i}-p_{i}/q|<q^{-(1+1/n+\varepsilon )},\quad i=1,\ldots ,n.

Igen er dette resultat optimalt i den forstand, at ε ikke kan fjernes fra eksponenten.

Effektive grænser

Alle tidligere nedre grænser er ikke effektive , i den forstand at beviset ikke giver en måde at beregne konstanten i udsagnet på. Det betyder, at det ikke er muligt at bruge beviset for sætningen til at opnå grænser for løsningerne af den tilsvarende diofantiske ligning. Denne teknik kan dog ofte bruges til at begrænse antallet af løsninger til en sådan ligning.

Feldmans forfining af Bakers sætning giver imidlertid en effektiv grænse - hvis x er et algebraisk tal på grad n over rationelle tal, så er der faktisk beregnelige konstanter c ( x ) > 0 og 0 < d ( x ) < n sådan . at

{\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x)}{|q|^{d(x)))))

gælder for alle rationelle tal.

Men som for enhver effektiv version af Bakers sætning er konstanterne d og 1/ c så store, at dette effektive resultat ikke kan anvendes i praksis.

Øvre grænse for diofantiske tilnærmelser

Generel øvre grænse

Det første vigtige resultat om øvre grænser for diophantiske tilnærmelser er Dirichlets tilnærmelsessætning , som indebærer, at der for ethvert irrationelt tal α er uendeligt mange brøker , sådan at: ${\tfrac {p}{q))$

{\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2))))

Det følger umiddelbart, at det er umuligt at slippe af med ε i udsagnet af Thue-Siegel-Roth-sætningen.

Et par år senere blev denne sætning forbedret til den følgende Borel-sætning (1903) [13] . For ethvert irrationelt tal α er der uendeligt mange brøker , således at: ${\tfrac {p}{q}}\;$

\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}({\sqrt {5}}q^{2}}}

Derfor er den øvre grænse for de diofantiske tilnærmelser af ethvert irrationelt tal. Konstanten i dette resultat kan ikke forbedres uden at eliminere nogle irrationelle tal (se nedenfor). ${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {5}}\,q^{2))))$

Ækvivalente reelle tal

Definition : To reelle tal kaldes ækvivalente [14] [15], hvis der er heltal med , sådan at: $x,y$ $a,b,c,d\;$ $ad-bc=\pm 1\;$

y={\frac {ax+b}{cx+d}}\,.

Ækvivalens er defineret af det heltal Möbius transformation over realerne, eller af et medlem af den modulære gruppe , sættet af inverterbare 2×2 matricer over de heltal. Hvert rationelt tal er ækvivalent med 0. Rationale tal er således ækvivalensklassen for denne relation. ${\text{SL}}_{2}^{\pm }(\mathbb {Z} )$

Denne ækvivalens kan dække almindelige fortsatte brøker, som følgende Serrets sætning viser :

Sætning : To irrationelle tal x og y er ækvivalente, hvis og kun hvis der er to positive heltal h og k sådan, at når x og y er repræsenteret som fortsatte brøker

x=[u_{0};u_{1},u_{2},\ldots ]\,,

y=[v_{0};v_{1},v_{2},\ldots ]\,,

udført

{\displaystyle u_{h+i}=v_{k+i))

for ethvert ikke-negativt heltal i . [16]

Lagrange spektrum

Som nævnt ovenfor kan konstanten i Borels sætning ikke forbedres, som det blev vist af Hurwitz i 1891 [17] . Lad være det gyldne snit . Så for enhver reel konstant er der kun endeligt mange rationelle tal p / q , således at $\phi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ $c>{\sqrt {5}}\;$

\left|\phi -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{c\,q^{2}}}.

Derfor kan en forbedring kun opnås ved at eliminere tal svarende til . Mere præcist [18] [19] : For ethvert rationelt tal , der ikke svarer til , er der uendeligt mange brøker , sådan at $\phi$ $\alfa$ $\phi$ ${\tfrac {p}{q}}\;$

\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}({\sqrt {8}}q^{2}}}.

Ved successivt at eliminere ækvivalensklasser - hver skal udelukke tal, der er ækvivalente - kan man hæve den nedre grænse. De værdier, der kan opnås som et resultat af denne proces, er Lagrange-tal , som er en del af Lagrange-spektret . De konvergerer til 3 og er relateret til Markov-tal [20] [21] . ${\sqrt {2}}$

Khinchins sætning og dens udvidelser

Lad være en ikke-forøgende funktion fra positive tal til positive reelle tal. Et reelt tal x (ikke nødvendigvis algebraisk) kaldes - tilnærmeligt , hvis der er uendeligt mange rationelle tal p / q , således at [22] $\psi$ $\psi$

\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {\psi (q)}{|q|}}.

Khinchin i 1926 beviste, at hvis sekvensen divergerer, så er næsten alle reelle tal (i betydningen af Lebesgue-målet ) -approksimable, og i tilfælde af konvergens af sekvensen er næsten ethvert reelt tal ikke -approksimable. $\sum _{q}\psi (q)$ $\psi$ $\psi$

Duffin og Shaffer [23] beviste en mere generel sætning, som Khinchins resultat følger af, og fremsatte en formodning nu kendt som Duffin-Schaffer-formodningen [24] . Beresnevich og Velani [25] beviste, at analogen til Duffin-Schaffer-formodningen på Hausdorff-målet svarer til den oprindelige Duffin-Schaffer-formodning, som a priori er svagere.

Hausdorff dimension af exceptionelle sæt

Et vigtigt eksempel på en funktion , hvorpå Khinchins sætning kan anvendes, er en funktion , hvor c > 1. For denne funktion konvergerer den tilsvarende række, således at ved Khinchins sætning har mængden af -tilnærmelige tal nul Lebesgue-mål på reelle akse. Jarnik - Besicovitch - sætningen siger, at Hausdorff-dimensionen af dette sæt er [26] . Især mængden af tal -tilnærmelige for nogle (kendt som meget godt tilnærmelige tal ) har dimension et, mens mængden af tal -tilnærmelige for alle (kendt som Liouville-tal ) har Hausdorff-dimension nul. $\psi$ ${\displaystyle \psi _{c}(q)=q^{-c))$ $\psi _{c}$ $1/c$ $\psi _{c}$ $c>1$ $\psi _{c}$ $c>1$

Et andet vigtigt eksempel er funktionen hvor . For denne funktion divergerer de tilsvarende sekvenser, og ifølge Khinchins sætning er næsten alle tal -approksimable. Med andre ord, disse tal er godt tilnærmede (det vil sige, de er ikke dårligt tilnærmede). Således må en analog af Yarnick-Besicovitch-sætningen vedrøre Hausdorff-dimensionen af dårligt tilnærmede tal. Og Yarnik beviste faktisk, at Hausdorff-dimensionen af sættet af sådanne tal er lig med én. Dette resultat blev forbedret af Schmidt , som viste, at mængden af dårligt tilnærmelige tal er inkompressibel i den forstand, at hvis er en sekvens af bi- Lipschitz - afbildninger, så Hausdorff-dimensionen af mængden af tal x , for hvilke alle er dårligt tilnærmelig, er lig med én. Schmidt generaliserede Jarnicks sætning til højere dimensioner, hvilket er en betydelig præstation, eftersom Jarnicks fortsatte brøk-ræsonnement er stærkt afhængig af rummets endimensionalitet. ${\displaystyle \psi _{\epsilon }(q)=\epsilon q^{-1))$ $\epsilon > 0$ ${\displaystyle \psi _{\epsilon ))$ $f_{1},f_{2},\ldots$ $f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots$

Ensartet fordeling

Et andet område under undersøgelse er teorien om en ligefordelt sekvens modulo 1 . Lad os tage en sekvens a 1 , a 2 , … af reelle tal og overveje deres brøkdele . Det vil sige, mere formelt, overvej en sekvens i R/Z , der er cyklisk (kan opfattes som en cirkel). For ethvert interval I på en cirkel betragter vi brøkdelen af elementer op til et eller andet heltal N , der ligger inde i intervallet, og sammenligner denne værdi med brøkdelen af cirklen, der er optaget af intervallet I . Ensartet fordeling betyder, at i grænsen, når N vokser , tenderer andelen af hits i intervallet til den 'forventede' værdi. Weyl beviste det grundlæggende resultat, at dette er ækvivalent med afgrænsningen af Weyl-summene dannet af sekvensen. Dette viser, at diofantiske tilnærmelser er nært beslægtede med det generelle problem med gensidig annullering i Weyl-beløb (resterende skøn), der optræder i analytisk talteori .

Et emne relateret til ensartet fordeling er emnet ujævne fordelinger , som har en kombinatorisk karakter.

Uløste problemer

Der er stadig simpelt formulerede, men uløste problemer med diofantiske tilnærmelser, såsom Littlewood-formodningen og lone runner-formodningen . Det vides heller ikke, om der er algebraiske tal med ubegrænsede koefficienter i fortsat brøkudvidelse.

Nylig forskning

På plenarmødet for International Congress of Mathematicians i Kyoto (1990) skitserede Grigory A. Margulis et bredt program baseret på ergodisk teori , som gør det muligt at bevise talteoretiske resultater ved hjælp af de dynamiske og ergotiske egenskaber af undergruppehandlinger af semisimple Lie . grupper . Arbejdet af D. Ya. Kleinbock og G. A. Margulis (med medforfattere) demonstrerer kraften i denne nye tilgang til klassiske problemer med diofantiske tilnærmelser. Bemærkelsesværdige resultater omfatter beviset af Margulis af Oppenheim-formodningen fremsat for årtier siden med yderligere udvidelser (Dani og Margulis, Eskin-Margulis-Moses), og beviset fra Kleinbock og Margulis af bageren og Sprindzhuk-formodninger om diofantiske tilnærmelser til manifolder. Forskellige generaliseringer af ovenstående Khinchin- resultater på metriske diophantin-tilnærmelser er blevet opnået ved hjælp af denne metode.

Se også

Noter

↑ Sprindzhuk, 1977 , s. 4-5 Forord.
↑ 1 2 Khinchin, 1978 , s. 32.
↑ Cassels, 1961 , s. ti.
↑ 1 2 Leng, 1970 , s. 19.
↑ 1 2 Khinchin, 1978 , s. 35.
↑ Cassels, 1961 , s. 10-17.
↑ Khinchin, 1978 , s. 21-22.
↑ Bugeaud, 2012 , s. 245.
↑ Torsdag, 1909 .
↑ Siegel, 1921 .
↑ Dyson, 1947 .
↑ Roth, 1955 .
↑ Perron, 1913 , s. Kapitel 2, sætning 15.
↑ Hurwitz, 1891 , s. 284.
↑ Hardy og Wright 1979 , s. Kapitel 10.11.
↑ Se Perrons artikel ( Perron 1929 , kapitel 2, sætning 23, s. 63)
↑ Hardy og Wright 1979 , s. 164.
↑ Cassels, 1961 , s. 21.
↑ Hurwitz, 1891 .
↑ Cassels, 1961 , s. 29.
↑ Se Michel Waldschmidt: Introduktion til Diophantine metoder irrationalitet og transcendens Arkiveret 9. februar 2012 på Wayback Machine , s. 24-26.
↑ Sprindzhuk, 1977 , s. Kapitel 9
↑ Duffin, Schaeffer, 1941 .
↑ Sprindzhuk, 1977 , s. 23.
↑ Beresnevich, Velani, 2006 .
↑ Bernik, Beresnevich, Götze, Kukso, 2013 , s. 24.

Litteratur

Victor Beresnevich, Sanju Velani. Et masseoverførselsprincip og Duffin-Schaeffer-formodningen for Hausdorff-mål // Annals of Mathematics . - 2006. - T. 164 . — S. 971–992 . - doi : 10.4007/annals.2006.164.971 .
V. Bernik, V. Beresnevich, F. Götze, O. Kukso. Fordeling af algebraiske tal og metrisk teori om diofantisk tilnærmelse // Limit Theorems in Probability, Statistics and Number Theory: In Honor of Friedrich Götze / Peter Eichelsbacher, Guido Elsner, Holger Kösters, Matthias Löwe, Franz Merkl, Silke Rolles. - Heidelberg: Springer, 2013. - T. 42. - S. 23-48. - (Springer Proceedings in Mathematics & Statistics). - doi : 10.1007/978-3-642-36068-8_2 .
Yann Bugeaud. Fordeling modulo en og diofant tilnærmelse. - Cambridge: Cambridge University Press , 2012. - V. 193. - ISBN 978-0-521-11169-0 .
J. W. S. Cassels . Introduktion til teorien om diofantiske tilnærmelser. - M . : Forlag for udenlandsk litteratur, 1961.
RJ Duffin, AC Schaeffer. Khintchines problem i metrisk diofantisk tilnærmelse // Duke Mathematical Journal . - 1941. - T. 8 . — S. 243–255 . — ISSN 0012-7094 . - doi : 10.1215/s0012-7094-41-00818-9 .
Freeman Dyson . Tilnærmelsen til algebraiske tal ved rationaler // Acta Mathematica . - 1947. - T. 79 . — S. 225–240 . — ISSN 0001-5962 . - doi : 10.1007/BF02404697 .
GH Hardy , EM Wright. En introduktion til talteorien . — 5. - Oxford University Press, 1979. - ISBN 978-0-19-853170-8 .
A. Hurwitz . Ueber die angenäherte Darstellung der Irrationalzahlen durch rationale Brüche (tysk) // Mathematische Annalen. - 1891. - Bd. 39 , H.2 . — S. 279–284 . - doi : 10.1007/BF01206656 .
A. Ya. Khinchin. Kædeskud. - 4. - M . : "Nauka", GIFML, 1978.
DY Kleinbock, G.A. Margulis . Strømme på homogene rum og diofantisk tilnærmelse på manifolds , Ann. Math.. - 1998. - Vol. 148 , nr. 1 . — S. 339–360 . - doi : 10.2307/120997 . — .
S. Leng. Introduktion til teorien om diofantiske tilnærmelser. - M . : "Mir", 1970. - (Bibliotek i samlingen "Matematik"). — ISBN 0-387-94456-7 .
G. A. Margulis . Et panorama af talteori eller udsigten fra Bakers have. - Cambridge: Cambridge University Press , 2002. - s. 280-310. — ISBN 0-521-80799-9 .
Oscar Perron. Die Lehre von den Kettenbrüchen (tysk) . — Leipzig: BG Teubner, 1913.
Oscar Perron. Die Lehre von den Kettenbrüchen (tysk) . — 2. — Chelsea, 1929.
Klaus Friedrich Roth . Rationelle tilnærmelser til algebraiske tal // Mathematika . - 1955. - T. 2 . — S. 1–20, 168 . — ISSN 0025-5793 . - doi : 10.1112/S0025579300000644 .
Wolfgang M. Schmidt. Diofantisk tilnærmelse. — =1996. - Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag , 1980. - T. 785. - (Lecture Notes in Mathematics). — ISBN 3-540-09762-7 .
Wolfgang M. Schmidt. Diofantiske tilnærmelser og diofantiske ligninger. — = 2. - Springer-Verlag , 1996. - T. 1467. - (Lecture Notes in Mathematics). — ISBN 3-540-54058-X .
Carl Ludwig Siegel . Approximation algebraischer Zahlen // Mathematische Zeitschrift . - 1921. - T. 10 , Nr. =3 . — S. 173–213 . — ISSN 0025-5874 . - doi : 10.1007/BF01211608 .
V. G. Sprindzhuk. Metrisk teori om diofantiske tilnærmelser. - M . : GRFML "Nauka", 1977.
A. Thue . Über Annäherungswerte algebraischer Zahlen // Journal für die reine und angewandte Mathematik . - 1909. - T. 135 . — S. 284–305 . — ISSN 0075-4102 . - doi : 10.1515/crll.1909.135.284 .