Gravitationspotentiale

Gravitationspotentiale er en skalarfunktion af koordinater og tid , tilstrækkelig til en fuldstændig beskrivelse af gravitationsfeltet i klassisk mekanik . Det har dimensionen af kvadratet af hastighed, normalt angivet med bogstavet . Tyngdepotentialet på et givet punkt i rummet, givet af radiusvektoren , er numerisk lig med det arbejde, som gravitationskræfterne udfører, når et testlegeme med enhedsmasse bevæges langs en vilkårlig bane fra et givet punkt til et punkt, hvor potentialet antages. at være nul. Gravitationspotentialet er lig med forholdet mellem den potentielle energi af et lille legeme placeret på dette punkt og kroppens masse $\varphi$ ${\vec {r))$ $U({\vec {r)))$ $m$ . Ligesom potentiel energi er gravitationspotentialet altid defineret op til et konstant led, normalt (men ikke nødvendigvis) valgt på en sådan måde, at potentialet ved uendeligheden viser sig at være nul. For eksempel er gravitationspotentialet på Jordens overflade, målt fra et uendeligt fjernt punkt (hvis vi ser bort fra Solens, Galaksens og andre legemers tyngdekraft), negativt og lig med -62,7 10 6 m 2 / s 2 (det halve kvadrat af den anden kosmiske hastighed ).

For første gang blev begrebet gravitationspotentiale introduceret i videnskaben af Adrien Marie Legendre i slutningen af det 18. århundrede .

I moderne teorier om tyngdekraft spilles gravitationspotentialets rolle normalt af tensorfelter. Så i den nuværende standardteori om tyngdekraft - den generelle relativitetsteori - spilles gravitationspotentialets rolle af den metriske tensor .

Gravitationspotentiale og bevægelsesligninger

Bevægelsen af en partikel i et gravitationsfelt i klassisk mekanik er bestemt af Lagrange-funktionen , som i den inertielle referenceramme har formen:

L={\frac {m{\dot {q}}^{2}}{2}}-m\varphi ,

hvor er partiklens masse , er partiklens generaliserede koordinat , er tyngdefeltets potentiale. $m$ $q$ $\varphi$

Substitution af udtrykket for Lagrangian i Lagrange-ligningerne : $L$

{\frac {d}{dt)){\frac {\partial L}{\partial {\dot {q))))-{\frac {\partial L}{\partial q))=0 ,

vi får bevægelsesligningerne

{\ddot {q}}=-\operatørnavn {grad} \varphi .

Bevægelsesligningerne for en partikel i et gravitationsfelt i klassisk mekanik indeholder ikke masse eller nogen anden mængde, der karakteriserer partiklen. Dette faktum er en afspejling af princippet om ækvivalens af tyngdekraften og inertikræfterne . $m$

Gravitationspotentiale af en punktmasse og et vilkårligt legeme

Gravitationspotentialet skabt af en punktmasse placeret ved origo er lig med $M$

\varphi ({\vec {r)))=-{\frac {GM}{r}}+C,

hvor er gravitationskonstanten , er afstanden fra oprindelsen (modulet af radiusvektoren ). Betegner en vilkårlig konstant, som udelades ved valg ved uendelig. $G$ $r$ ${\vec {r))$ $C$ $\varphi=0$

Den samme formel er gyldig for gravitationspotentialet uden for ethvert legeme med en sfærisk symmetrisk massefordeling. Et eksempel kunne være en ensartet bold eller en tynd kugle. (Bemærk: inde i kuglen er potentialet lig med kuglens potentiale , hvor er kuglens radius). $-GM/a$ $-en$

I det generelle tilfælde opfylder gravitationspotentialet skabt af en vilkårlig fordeling af masse (densiteten afhænger af koordinaterne på en vilkårlig måde) Poisson-ligningen $\rho$

\Delta \varphi ({\vec {r)))=4\pi G\rho ({\vec {r))),

hvor er Laplace-operatøren . Løsningen af en sådan ligning har formen $\Delta$

\varphi ({\vec {r)))=-G\int _{V^{\prime }}{\frac {\rho ({\vec {r}}^{\prime })dV^ {\prime }}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\prime }|}}+C.

Her er radiusvektoren for det punkt, hvor potentialet søges, og er radiusvektoren for et element med uendeligt lille volumen med en stoftæthed ; integration udføres over hele volumen af de kroppe, der skaber feltet. ${\vec {r))$ ${\vec {r}}^{\prime }$ ${\displaystyle dV^{\prime ))$ $\rho ({\vec {r))^{\prime })$

Gravitationspotentiale og gravitationsenergi

Den potentielle energi af en partikel placeret i et gravitationsfelt i et punkt er lig med potentialet for feltet på dette punkt, multipliceret med partiklens masse : ${\vec {r))$ $m$

U({\vec {r)))=m\varphi ({\vec {r)))

Tyngdekraften i et system af legemer (diskrete partikler) forstås som den potentielle energi på grund af disse partiklers gensidige gravitationstiltrækning. Det er lig med halvdelen af summen af individuelle partiklers potentielle energier; ved at dividere med to undgår man dobbelt regnskab for de samme interaktioner. For eksempel for et par materiale punkter i en afstand fra hinanden $l$

U_{g}={\frac {1}{2}}\left[U_{1}+U_{2}\right]={\frac {1}{2}}\left[-G{ \frac {m_{1}m_{2}}{l}}-G{\frac {m_{2}m_{1}}{l}}\right]=-G{\frac {m_{1}m_ {2}}{l}};

her er den potentielle energi af det første punkt i feltet af det andet, og er det andet i feltet af det første. $U_{1}$ $U_{2}$

Tilsvarende, for gravitationsenergien af en kontinuerlig fordeling af masser , er udtrykket sandt:

U_{g}={\frac {1}{2))\int _{V}\rho ({\vec {r)))\varphi ({\vec {r)))dV,

hvor er massetætheden , er gravitationspotentialet beregnet ved hjælp af formlerne fra det foregående afsnit, er kroppens volumen. Således er tyngdekraften af en kugle med masse og radius , med en ensartet tæthedsfordeling, . $\rho$ $\varphi$ $V$ $m$ $-en$ $U_{g}=-3Gm^{2}/5a$

Serieudvidelser af gravitationspotentialet

For at beregne gravitationspotentialet for et vilkårligt massesystem i store afstande fra det, kan vi udvide:

\varphi =-G\left({\frac {M}{R_{0}}}+{\frac {1}{6}}D_{\alpha \beta }{\frac {\partial ^{ 2}}{\partial {X_{\alpha }}\partial {X_{\beta }}}}{\frac {1}{R_{0}}}+...\right),

hvor er systemets samlede masse , og mængderne: $M=\int \rho dV$

D_{\alpha \beta }=\int \rho (3x_{\alpha }x_{\beta }-r^{2}\delta _{\alpha \beta})dV

danner quadrupol massemomenttensoren . _ Det er relateret til det sædvanlige inertimoment tensor

J_{\alpha \beta }=\int \rho (r^{2}\delta _{\alpha \beta}-x_{\alpha }x_{\beta})dV

åbenlyse forhold

D_{{\alpha \beta }}=J_{{\gamma \gamma }}\delta _({\alpha \beta }}-3J_{{\alpha \beta }}).

En udvidelse med hensyn til sfæriske funktioner er også mulig, som især bruges til analyse af tyngdefelter af kosmiske legemer:

\varphi =-{\frac {GM}{r}}\left(1-\sum _{n=2}^{\infty}J_{n}\left({\frac {R}{r }}\right)^{n}P_{n}(\sin \theta )+\sum _{n=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{n}\left({\ frac {R}{r}}\right)^{n}(C_{nk}\cos(k\lambda )+S_{nk}\sin(k\lambda ))P_{n}^{k}(\ sin\theta )\right).

Her er observationspunktets sfæriske koordinater, er Legendre-polynomiet af n. orden, er de tilhørende Legendre-polynomier, er gravitationsmomenterne [1] . $r,\theta,\lambda$ $P_{n}$ $P_{{n}}^{{k}}$ $J_{n},C_{nk},S_{nk}$

Gravitationspotentiale og generel relativitetsteori

I den generelle relativitetsteori har bevægelsesligningerne for et materielt punkt i et gravitationsfelt formen:

{\frac {d^{2}x^{i}}{ds^{2}}}+\Gamma _{rs}^{i}{\frac {dx^{r}}{ds} }{\frac {dx^{s}}{ds}}=0,

hvor er Christoffel-symbolerne . Her er den metriske tensor , der karakteriserer gravitationsfeltet i den generelle relativitetsteori. $\Gamma _{rs}^{i}={\frac {g^{ik}}{2}}\left({\frac {dg_{kr}}{dx^{s}}}+{ \frac {dg_{ks}}{dx^{r}}}-{\frac {dg_{rs}}{dx^{k}}}\right)$ $g_{{ik}}$

En sammenligning af disse bevægelsesligninger med den newtonske mekaniks bevægelsesligninger viser, at i den generelle relativitetsteori spilles gravitationspotentialets rolle af den metriske tensor. ${\frac {d^{{2}}x^{{i}}}{dt^{{2}}}}=-{\frac {d\varphi}{dx^{{i}}}}$ $\varphi$

I tilfælde af hastigheder, der er små sammenlignet med lysets hastighed og svage konstante gravitationsfelter, tager bevægelsesligningerne formen

{\frac {d^{{2}}x^{{i}}}{dt^{{2}}}}=-c^{{2}}\Gamma _{{44}}^{{i }}

for rumlige koordinater og for tidskoordinater. Forsømmer man tidsafledte, kan man substituere i stedet og dermed opnå de newtonske bevægelsesligninger $i=1,2,3$ $x^{{4}}=ct$ $\Gamma _{{44}}^{{i}}$ $-{\frac {1}{2}}{\frac {dg_{{44}}}{dx^{{i}}}}$

{\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}=-{\frac {d\varphi }{dx^{i}}}.

Her er gravitationspotentialet og komponenten af den metriske tensor forbundet med relationerne $\varphi$ $g_{{44}}$

\varphi =-{\frac {1}{2}}c^{{2}}(g_{{44}}+1)

g_{44}=-\left(1+{\frac {2\varphi }{c^{2}}}\right).

På grund af det faktum, at elementet i verdenslinjen for et ur i hvile er , og tiden er, vil decelerationen af uret i gravitationsfeltet være $ds^{{2}}=g_{{44}}(dx^{4})^{2}$ $t={\frac {x^{4}}{c}}$

t_{g}={\frac {t}{\sqrt {-g_{44))))={\frac {t}{\sqrt {1+{\frac {2\varphi }{c^ {2}}}}}}\approx t\left(1-{\frac {\varphi }{c^{2}}}\right).

Den relative deceleration af tiden i et punkt med en lavere værdi af gravitationspotentialet sammenlignet med tiden i et punkt med en højere værdi af gravitationspotentialet er lig med forskellen i gravitationspotentialet ved disse punkter divideret med kvadratet af lysets hastighed.

Se også

Newtons klassiske tyngdekraftsteori

Noter

↑ Jordens og planeternes indre struktur, 1978 , s. 46.
↑ Pauli V. Relativitetsteori - M .: OGIZ - 1947, skydegalleri. 16000 eksemplarer - 300 sider.

Litteratur

Landau L. D. , Lifshits E. M. Teoretisk fysik , lærebog for universiteter, i 10 bind / v. 1, "Mechanics", 5. udgave, stereotype., M .: Fizmatlit. - 2002. - 224 s., ISBN 5-952521-0 -6 (bind 1), kap. 1 "Bevægelsesligninger", s. 2 "Princippet om mindste handling", s. 10-14;
Landau L. D. , Lifshits E. M. Teoretisk fysik , lærebog for universiteter, i 10 bind / v. 2, "Field Theory", 8. udg., stereotype., M .: Fizmatlit. - 2001. - 536 s., ISBN 5-9221- 0056-4 (bd. 2), kap. 10 "Partikel i et gravitationsfelt", s. 81 "Gravitationsfelt i ikke-relativistisk mekanik", s. 304-306; ch. 12 "Field of Gravitating Bodies", s. 99 "Newtons lov", s. 99. 397-401;
Weinberg S. Tyngdekraft og kosmologi. Principper og anvendelser af den generelle relativitetsteori, trans. fra engelsk. V. M. Dubovik og E. A. Tagirov, red. Ya. A. Smorodinsky, "Platon", 2000, ISBN 5-80100-306-1 , del 2 "General Relativity", kap. 3 "Ækvivalensprincippet", s. 4 "Newtonsk tilnærmelse", s. 92-93;
Kholshevnikov KV, Nikiforov II Egenskaber ved gravitationspotentialet i eksempler og problemer: Lærebog. - St. Petersborg, 2008. - 72 s., BBC 22.6.
Zharkov VN Jordens og planeternes indre struktur. — M .: Nauka, 1978. — 192 s.