Casimir invariant

Casimir-invarianten ( Casimir- operatoren ) er et bemærkelsesværdigt element i centrum af Lie-algebraens universelle omsluttende algebra . Opkaldt efter den hollandske fysiker Hendrik Casimir . Et eksempel er kvadratet på vinkelmomentoperatoren , som er Casimir-invarianten af den tredimensionelle rotationsgruppe . Casimir-operatørerne i Poincare-gruppen har en dyb fysisk betydning, da de bruges til at definere begreberne masse og spin af elementarpartikler [1] .

Definition

Lad os antage, at det er en -dimensional semisimple Lie algebra . Lade være enhver basis , og være den dobbelte basis konstrueret ud fra en fast invariant bilineær form (for eksempel Killing-formen ) på . Casimir-elementet er et element i den universelle omsluttende algebra , defineret af formlen $\mathfrak{g}$ $n$ ${\displaystyle \{X_{i}\}_{i=1}^{n))$ $\mathfrak{g}$ ${\displaystyle \{X^{i}\}_{i=1}^{n))$ $\mathfrak{g}$ $\Omega$

\Omega =\sum _{i=1}^{n}X_{i}X^{i}.

Selvom definitionen af Casimir-elementet refererer til et bestemt valg af grundlag i Lie-algebraen, er det let at vise, at det resulterende element ikke afhænger af dette valg. Desuden implicerer invariansen af den bilineære form brugt i definitionen, at Casimir-elementet pendler med alle elementer i algebraen og derfor ligger i centrum af den universelle omsluttende algebra $\Omega$ $\mathfrak{g}$ $U({\mathfrak {g}}).$

Enhver repræsentation af en algebra på et vektorrum V , muligvis uendelig-dimensionel, har en tilsvarende Casimir invariant , en lineær operator på V , givet af $\rho$ $\mathfrak{g}$ $\rho (\Omega )$

\rho (\Omega )=\sum _{i=1}^{n}\rho (X_{i})\rho (X^{i}).

Et særligt tilfælde af denne konstruktion spiller en vigtig rolle i differentialgeometri og generel analyse . Hvis en forbundet Lie -gruppe G med en Lie-algebra virker på en differentierbar manifold M , så er elementerne repræsenteret af førsteordens differentialoperatorer på M . Repræsentationen virker på rummet af glatte funktioner på M . I en sådan situation er Casimir-invarianten en G -invariant andenordens differentialoperator på M defineret af ovenstående formel. Det (afhængigt af konventionen, op til underskrivelse) falder sammen med Laplace-Beltrami-operatoren på den underliggende manifold af Lie-gruppen G med hensyn til Cartan-Killing-metrikken . $\mathfrak{g}$ $\mathfrak{g}$ $\rho$

Mere generelle Casimir-invarianter kan også defineres. De er almindeligt forekommende i studiet af pseudo-differentielle operatorer og Fredholm-teori .

Egenskaber

Casimir-operatoren er et bemærkelsesværdigt element i centrum af Lie-algebraens universelle omsluttende algebra . Med andre ord er det et medlem af algebraen for alle differentialoperatorer, der pendler med alle generatorer i Lie-algebraen.

Antallet af uafhængige elementer i midten af den universelle omsluttende algebra er også rangordenen i tilfælde af en semisimple Lie algebra . Casimir-operatoren giver begrebet Laplacian på generelle semisimple Lie-grupper ; men en sådan vej viser, at der kan være mere end én analog af Laplacian, for rang >1.

I enhver irreducerbar repræsentation af Lie-algebraen, ved Schurs lemma , pendler ethvert medlem af midten af den universelle omsluttende algebra med alt og er således proportional med identiteten. Denne proportionalitetsfaktor kan bruges til at klassificere repræsentationer af en Lie-algebra (og derfor også dens Lie-gruppe ). Fysisk masse og spin er eksempler på sådanne koefficienter, ligesom mange andre kvantetal, der bruges i kvantemekanik . Overfladisk set repræsenterer topologiske kvantetal en undtagelse fra denne model; selvom dybere teorier antyder, at disse er to facetter af det samme fænomen.

Eksempel: so(3)

Lie-algebraen svarer til SO (3), rotationsgruppen i det 3-dimensionelle euklidiske rum . Det er en prime af rang 1, og dermed har den den eneste uafhængige Casimir-invariant. Drabsformen for en rotationsgruppe er kun Kronecker-symbolet , og Casimir-invarianten er simpelthen summen af kvadraterne af generatorerne for den givne algebra. Det vil sige, at Casimir-invarianten er givet af formlen ${\mathfrak {so}}(3)$ ${\displaystyle L_{x},\,L_{y},\,L_{z))$

L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}.

I den irreducible repræsentation implicerer invariansen af Casimir-operatoren dens multiplicitet til identitetselementet e af algebraen, således at

L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}=\ell (\ell +1)e.

I kvantemekanik refererer skalarværdien til det samlede vinkelmomentum. For finit-dimensionelle matrix- værdierede repræsentationer af rotationsgruppen er altid et heltal (for bosoniske repræsentationer ) eller et halvt heltal (for fermioniske repræsentationer ). $\ell$ $\ell$

For et givet tal er matrixrepræsentationen -dimensionel. Så for eksempel svarer den 3-dimensionelle repræsentation so (3) til og er givet af generatorerne $\ell$ $(2\ell +1)$ $\ell =1$

L_{x}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix)),L_{y}={\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&0&0\\1&0&0 \end{pmatrix}},L_{z}={\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}.

Så Casimir-invarianten:

L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}=2{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{pmatrix}},

siden kl . På samme måde har den 2-dimensionelle repræsentation et grundlag givet af Pauli-matricerne , som svarer til spin 1/2. $\ell (\ell +1)=2$ $\ell =1$

Se også

Harish-Chandra homomorfi

Noter

↑ Rumer, 2010 , s. 134.

Litteratur

Yu. B. Rumer , AI Fet teori om grupper og kvantificerede felter. - M. : Librokom, 2010. - 248 s. - ISBN 978-5-397-01392-5 .