Eisenstein nummer

Eisenstein- tallet ( Euler-tal [1] ) er et komplekst tal af formen:

z=a+b\omega

hvor a og b er heltal og

\omega ={\frac {1}{2}}(-1+i{\sqrt {3}})=e^{2\pi i/3}

er den kubiske ikke-virkelige rod af enhed . Eisenstein-heltallene danner et trekantet gitter i det komplekse plan . (Svarer til hvordan Gaussiske heltal danner et kvadratisk gitter.)

Systematisk undersøgt af den tyske matematiker Ferdinand Eisenstein .

Egenskaber

Sættet af Eisenstein-heltal er en kommutativ ring . Denne ring er indeholdt i feltet af algebraiske tal Q (ω), et cirkulært felt af tredje grad.

Tallet ω opfylder ligningen og er et algebraisk heltal . Derfor er alle Eisenstein- heltal algebraiske heltal . $\omega ^{2}+\omega +1=0.$

Du kan også udtrykkeligt udskrive polynomiet , hvis rod er z = a + b ω.

z^{2}-(2a-b)z+(a^{2}-ab+b^{2}).

Produktet af to Eisenstein-tal og giver $a+b\omega$ $c+d\omega$

(a+b\omega )\cdot (c+d\omega )=(ac-bd)+(bc+ad-bd)\omega .

Normen for Eisenstein-heltallet er kvadratet af den absolutte værdi

|a+b\omega |^{2}=a^{2}-ab+b^{2}.

Således er normen for et Eisenstein-heltal altid et naturligt heltal. Fordi

4a^{2}-4ab+4b^{2}=(2a-b)^{2}+3b^{2},

normen for et Eisenstein-heltal, der ikke er nul, er altid positiv.

Gruppen af enheder i ringen af Eisenstein-tal er en cyklisk gruppe dannet af seks enhedsrødder på det komplekse plan. Nemlig

{±1, ±ω, ±ω 2 }

Og disse er Eisenstein-heltallene for enhedsnormen.

Eisenstein primtal

Hvis x og y er Eisenstein-heltal, siger vi, at x deler y , hvis der er noget Eisenstein-heltal z , således at y = z x .

Dette udvider begrebet delelighed af naturlige heltal . Vi kan også udvide begrebet et primtal ; Et ikke-en Eisenstein-heltal x siges at være et Eisenstein- primtal , hvis alle dets divisorer har formen ux , hvor u er en af de seks enere.

Det kan vises, at naturlige primtal, der kan sammenlignes med 1 modulo 3, såvel som tallet 3, kan repræsenteres som x 2 − xy + y 2 ( x , y er heltal) og derfor kan dekomponeres ( x + ω y )( x + ω 2 y ), og er derfor ikke Eisenstein-primtal. Naturlige primtal, der er kongruente med 2 i base 3, kan ikke repræsenteres på samme måde, så de er også Eisenstein-primtal.

Ethvert Eisenstein-heltal a + b ω, hvis norm a 2 − ab + b 2 er et naturligt primtal, er et Eisenstein-primtal.

Euklidisk ring

Ringen af Eisenstein-tal danner en euklidisk ring , hvor normen N er givet af formen

N(a+b\,\omega )=a^{2}-ab+b^{2}.

Dette kan udsendes sådan:

{\begin{aligned}N(a+b\,\omega )&=|a+b\,\omega |^{2}\\&=(a+b\,\omega )(a+ b \,{\bar {\omega }})\\&=a^{2}+ab(\omega +{\bar {\omega }})+b^{2}\\&=a^{2 } -ab+b^{2}\end{aligned}}

Faktorgruppe C af Eisenstein-heltal

Faktorgruppen i det komplekse plan C med hensyn til gitteret, der indeholder alle Eisenstein-heltal, er en kompleks torus af reel dimension 2, som er kendetegnet ved den største symmetrigruppe blandt alle komplekse tori af reel dimension 2.

Se også

Noter

↑ Surányi, László. Algebra (ubestemt) . - TYPOTEX, 1997. - s. 73. og Szalay, Mihály. Számelmélet (neopr.) . - Tankönyvkiadó, 1991. - S. 75. Begge kalder disse numre "Euler-egészek", det vil sige Euler-numre.

Links

Eisenstein Integer--fra MathWorld

Algebraiske tal
Sorter	Algebraiske heltal Chebyshev noder Konstruktive tal Eisensteins helhed Gaussiske heltal Kummer ring Perron tal Piso-Vijayaraghavan numre Kvadratisk irrationalitet ℚ Rødder fra enhed Salem numre
Bestemt	Conway konstant 3 √ 2 φ δS _ √2 _ √ 3 √5 _ 12 √ 2