Ideel (algebra)

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 28. januar 2021; verifikation kræver 1 redigering .

Idealet er et af de grundlæggende begreber i generel algebra . Idealer er vigtigst i ringteori , men er også defineret for semigrupper , algebraer og nogle andre algebraiske strukturer . Navnet "ideal" kommer fra " idealtal ", som blev introduceret i 1847 af den tyske matematiker E. E. Kummer [1] . Det enkleste eksempel på et ideal er subringen af lige tal i ringen af heltal . Idealer giver et bekvemt sprog til at generalisere resultaterne af talteori til generelle ringe.

For eksempel, i ringe , i stedet for primtal , studeres primidealer; som en generalisering af coprimtal introduceres coprime idealer; man kan bevise en analog af den kinesiske restsætning for idealer.

I en eller anden vigtig klasse af ringe (de såkaldte Dedekind -ringe ) kan man endda få en analog af aritmetikkens grundlæggende sætning : i disse ringe kan ethvert ideal, der ikke er nul, entydigt repræsenteres som et produkt af primære idealer.

Et eksempel på et ideal er sættet af heltal, der er deleligt med 6: når det betragtes i ringen . Dette sæt er ideelt, fordi både summen af to sådanne tal og produktet af et hvilket som helst af dem med et hvilket som helst heltal selv er inkluderet i dette sæt. I dette tilfælde vil det samme sæt ikke være et ideal i ringen af reelle tal, da resultatet af at gange et hvilket som helst af disse tal med et vilkårligt reelt tal ikke er inkluderet i dette sæt i det generelle tilfælde. ${\displaystyle \{\dots ,-12,-6,0,6,12,18,24\dots \))$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {R}$

Definition

For en ring er et ideal en subring , der er lukket under multiplikation med elementer fra . Desuden kaldes et ideal venstre (henholdsvis højre ), hvis det er lukket under multiplikation til venstre (henholdsvis til højre) med elementer fra . Et ideal, der er både venstre og højre, kaldes tosidet . Et tosidet ideal omtales ofte blot som et ideal . I det kommutative tilfælde falder alle disse tre begreber sammen, og udtrykket ideal bruges altid . $R$ $R$ $R$

Mere præcist: Et ideal af en ring er en underring af ringen sådan $R$ $jeg$ $R$

$\forall i\in I\;\forall r\in R$ produkt (tilstand på rette idealer); $ir\i I$
$\forall i\in I\;\forall r\in R$ produkt (tilstand på venstre idealer). $ri\in I$

Tilsvarende for en semigruppe er dens ideal en undersemigruppe, for hvilken en af disse betingelser er sand (eller begge for et tosidet ideal), det samme gælder for algebra.

Bemærk

For en -algebra ( en algebra over en ring ) kan ringens ideal generelt set ikke være et ideal for algebraen , da denne subring ikke nødvendigvis vil være en subalgebra af , dvs. den vil også være et undermodul over . For eksempel, hvis der er en -algebra med nul multiplikation, så falder mængden af alle idealer i ringen sammen med mængden af alle undergrupper i additivgruppen , og mængden af alle idealer i algebraen falder sammen med mængden af alle underrum af vektor- rummet . Men i det tilfælde, hvor er en algebra med en enhed, falder begge disse begreber sammen. $R$ $EN$ $R$ $EN$ $EN$ $R$ $EN$ $k$ $EN$ $EN$ $EN$ $k$ $EN$ $EN$

Relaterede definitioner

For enhver ring er sig selv og nulidealet (tosidede) idealer . Sådanne idealer kaldes trivielle . Egne idealer er idealer, der danner deres egen undergruppe , det vil sige, at de ikke falder sammen med alt [2] [3] . $R$ $R$ $0$ $R$
Mange klasser af ringe og algebraer er defineret af betingelser på deres ideelle eller ideelle gitter. For eksempel:
- En ring, der ikke har ikke-trivielle tosidede idealer, kaldes simpel .
- En ring uden ikke-trivielle idealer (ikke nødvendigvis tosidet) er en ring . Se også: principiel idealring , Artinian ring , Noetherian ring .

Enhver kommutativ ring med en enhed er forbundet med et topologisk rum - spektret af ringen, hvis punkter alle er primidealer for ringen bortset fra , og lukkede sæt er defineret som sæt af primidealer, der indeholder nogle sæt af elementer i ringen (eller , som er det samme, idealet genereret af dette sæt). Denne topologi kaldes Zariski-topologien . $\operatorname{Spec} A$ $EN$ $EN$ $E$ $EN$ $jeg$

Begrebet et ideal er tæt forbundet med begrebet et modul . Et ideal (højre eller venstre) kan defineres som et undermodul af en ring betragtet som et højre eller venstre modul over sig selv.

Egenskaber

Venstre idealer i R er højre idealer i de såkaldte. modsat ring - en ring med de samme elementer og den samme tilføjelse som den givne, men med en vis multiplikation , og omvendt. $R^{0}$ $a*b=b*a$
Bilaterale idealer i ringe og algebraer spiller samme rolle som normale undergrupper i grupper :
- For hver homomorfi er kernen et ideal, og omvendt er ethvert ideal kernen i en eller anden homomorfi. $f\kolon A\til B$ $\operatørnavn {Ker}f$
- Desuden bestemmer et ideal entydigt (op til en isomorfisme ) billedet af den homomorfi, som det er kernen i: det er isomorft til en kvotientring ( kvotientalgebra ) . $f(A)$ $A/I$
I ringen af heltal er alle idealer principielle og har formen , hvor . $\mathbb {Z}$ ${\displaystyle n\mathbb {Z} =\{nz\mid z\in \mathbb {Z} \))$ $n\i \mathbb{N} _{0}$
Skæringspunktet mellem idealer er også et ideal (ofte, især i kommutativ algebra, kaldes skæringspunktet det mindste fælles multiplum ).

Typer af idealer

Hovedidealet er et ideal genereret af ét element.
Endeligt genereret ideal
Maksimalt ideal : Et egentligt ideal I siges at være maksimalt , hvis der ikke er et egentligt ideal J , således at I er en egentlig delmængde af J. En kvotientring ved et maksimalt ideal er et felt .
Modulopbygget ideal
Nilpotent ideel
Primært ideal
simpelt ideal
Et radikalt ideal er et ideal, der falder sammen med dets radikale .

Grundlæggende designs

hovedidealer . Hvis p hører til R , og k er et hvilket som helst heltal, så vil - være det mindste højre ideal indeholdende p , og - det mindste venstre ideal i R . De kaldes henholdsvis de vigtigste højre- og venstreidealer genereret af p . I det kommutative tilfælde falder disse idealer sammen og er også betegnet med (p) . Hvis ringen R indeholder identitetselementet, så siden, kan de vigtigste idealer genereret af p skriveshhv. Ethvert ideal, der indeholder et element p , indeholder også hovedidealet, der genereres af det. $\{pr+kp:\,r\in R\ ,k\in {\mathbb {Z}}\}$ $\{rp+kp:\,r\in R\ ,k\in {\mathbb {Z}}\}$ $kp=(k*1)p=p(k*1)$ $pR=\{pr:\,r\in R\}$ $Rp=\{rp:\,r\in R\}$

Et ideal genereret af et væld af elementer. Skæringspunktet mellem en vilkårlig familie af venstre idealer af ringen R er et venstre ideal for ringen R. Derfor eksisterer der for enhver delmængde M af ringen R et minimalt venstreideal, der indeholder det, nemlig skæringspunktet mellem alle venstreidealer, der indeholder mængden M. (Det samme gælder for højre og tosidede idealer.) For en ring R med et identitetselement er det minimale venstre ideal et sæt af endelige summer af formen , det minimale højre ideal er et sæt af endelige summer af formen , og det minimale tosidede ideal er et sæt af endelige summer af formelementerne i mængden M , og r i ,r' i er vilkårlige elementer i ringen R . Hvis ringen ikke indeholder en, så vil det minimale venstreideal være af formen , minimal højre , minimal tosidet , hvor alle er ethvert heltal. Disse idealer kaldes genereret af sættet M . I det kommutative tilfælde falder de alle sammen og betegnes som følger: (M) . Idealer genereret af et endeligt sæt kaldes endeligt genereret . ${\displaystyle r_{1}m_{1}+\ldots +r_{n}m_{n))$ ${\displaystyle m_{1}r_{1}+\ldots +m_{n}r_{n))$ ${\displaystyle r_{1}m_{1}r'_{1}+\ldots +r_{n}m_{n}r'_{n))$ ${\displaystyle r_{1}m_{1}+\ldots +r_{n}m_{n}+k_{1}m'_{1}+\ldots +k_{s}m'_{s))$ $m_{1}r_{1}+\ldots +m_{n}r_{n}+k_{1}m'_{1}+k_{2}m'_{2}+\ldots +k_ {s}m'_{s}$ $r_{1}m_{1}r'_{1}+\ldots +r_{n}m_{n}r'_{n}+k_{1}r''_{1}m'_ {1}+\ldots +k_{s}r''_{s}m'_{s}+k'_{1}m''_{1}r'''_{1}+\ldots + k'_{t}m''_{t}r'''_{t}+k''_{1}m'''_{1}+\ldots +k''_{w}m' '''_{w}$ $k_{i}(k'_{i})$

summen af idealer. Hvis en vilkårlig familie af idealer er givet i ringen R , er deres sum det minimale ideal, der indeholder dem alle. Den genereres af foreningen af disse idealer, og dens elementer er enhver endelig sum af elementer fra deres forening (foreningen af idealer i sig selv er normalt ikke et ideal). Med hensyn til summen danner alle (venstre, højre eller tosidede) idealer af en ring (eller algebra) et gitter . Hvert ideal er summen af de vigtigste idealer. Ofte, især i kommutativ algebra, kaldes summen den største fælles divisor). $I_{{\alpha ))$ $\sum I_{{\alpha ))$

Skæringspunktet mellem idealer (som skæringspunktet mellem mængder ) er altid et ideal. På den anden side er foreningen af to idealer kun et ideal, hvis det ene af dem er en delmængde af det andet. Faktisk, lad og vær to (venstre) idealer, hvoraf ingen er en delmængde af den anden, og er et venstreideal. I dette tilfælde, naturligvis, er det mindste ideal, der indeholder og , det vil sige . Der er et element . Så for enhver , da i dette tilfælde , derfor, og , derfor er en selvmodsigelse. ${\mathfrak a}$ ${\mathfrak b}$ ${\mathfrak a}\cup {\mathfrak b}$ ${\mathfrak a}\cup {\mathfrak b}$ ${\mathfrak a}$ ${\mathfrak b}$ ${\mathfrak a}\cup {\mathfrak b}={\mathfrak a}+{\mathfrak b}$ $a\in {\mathfrak a},a\notin {\mathfrak b}$ $b\in {\mathfrak b}\;a+b\notin {\mathfrak b}$ $a\in {\mathfrak b}$ $a+b\in {\mathfrak a}$ $b\in {\mathfrak a}$ ${\mathfrak b}\subset {\mathfrak a}$

Produktet af idealer. Produktet af ideal I og J er det ideelle IJ genereret af alle produkter ab , hvor a er et element af idealet I , b er et element af idealet J. Det uendelige produkt af idealer er ikke defineret.

Private idealer. I en kommutativ ring , for ikke-nul- idealet I og idealet J , er deres kvotient defineret, idealet . Dette ideal kaldes udslettelse af idealet I i det tilfælde, hvor J=(0) , . $I^{{-1}}J=\{x\in R\colon \,\forall i\in I\,ix\in J\}$

Det radikale ved det ideelle jeg er sættet. Det er også et ideal for ringen A , hvis kun ringen A er kommutativ. I det tilfælde, hvor I=(0) kaldesfor ringens A nilradikale . Dens elementer er alle nilpotente elementer i ringen. Hvis en kommutativ ring ikke har andre nilpotente elementer end nul (har en nul nilradikal), så kaldes den radikal . Et ideal I kaldes radikalt, hvis det falder sammen med dets radikale. I dette tilfælde har kvotientringen R/I ingen nilpotente elementer undtagen nul. ${\sqrt {I}}=\{f\i A:\,\eksisterer n\i {\mathbb {N}}\,\,f^{n}\i {I}\}$

induktiv grænse . Hvis en familie (kæde) af idealer er givet, nummereret med et lineært ordnet sæt A , så for ethvert indeksfra A er idealetindeholdt i idealet, så er deres forening et ideal - den induktive grænse for denne kæde af idealer. Dette ideal falder også sammen med summen af alle idealer fra kæden. Det faktum, at den induktive grænse altid eksisterer, betyder, at mængden af alle idealer for ringen R er induktivt ordnet, og Zorns lemma gælder for det. Det bruges ofte til at konstruere maksimale idealer med nogle yderligere egenskaber (se maksimalideal , primærideal , principiel idealring ). $\{I_{{\alpha }}\}_{{\alpha \i A}}$ $\alfa <\beta$ $I_{{\alpha ))$ $I_{{\beta ))$

Billedet af et ideal under en homomorfi. Normalt er billedet af et ideal under en homomorfi IKKE et ideal, men hvis homomorfien er surjektiv, så er den det. Især da faktoriseringshomomorfi altid er surjektiv, tager faktoriseringen ethvert ideal til et ideal.

Det omvendte billede af et ideal under en homomorfi . Hvis er en ringhomomorfi , er dens kerne et tosidet ideal. Mere generelt, hvis I er et vilkårligt ideal i ringen B , er dets fulde forbillede et ideal (venstre, højre eller tosidet, afhængig af hvad idealet om I er ). $f:\,A\til B$ $\operatørnavn {Ker}f=\{a\in A:\,f(a)=0\}$ $f^{{-1}}I=\{a\in A:\,f(a)\in I\}$

Faktoriseringshomomorfi med hensyn til idealet. Hvis I er et tosidet ideal i ringen R , kan det bruges til at definere en ækvivalensrelation på R ved reglen: x ~ y hvis og kun hvis forskellen xy hører til I . Det kontrolleres, at hvis en af operanderne i summen eller produktet erstattes af en tilsvarende, vil det nye resultat svare til det oprindelige. Således bliver operationerne med addition og multiplikation defineret på mængden R/I af ækvivalensklasser, hvilket gør det til en ring (kommutativitet og tilstedeværelsen af enhed overføres fra ringen R , hvis nogen). Samtidig med denne ring defineres en faktoriseringshomomorfi (kanonisk homomorfi) , som tildeler hvert element a fra R den ækvivalensklasse, hvori det er indeholdt. Ækvivalensklassen for et element a er mængden af elementer af formen a+i over alt i fra idealet I , så den betegnes a + I , men nogle gange bruges den generelle notation for ækvivalensklassen [a] også . Derfor . Ringen R/I kaldes så faktorringen af ringen R af idealet I . $\pi :\,R\til R/I$ $\pi (a)=[a]=a+I$

Historie

Idealer blev først introduceret af Dedekind i 1876 i den tredje udgave af hans Lectures on Number Theory. Dette var en generalisering af begrebet ideelle tal introduceret af Kummer .

Senere blev disse ideer udviklet af Hilbert og især af Noether .

Noter

↑ Ideel // Kasakhstan. National Encyclopedia . - Almaty: Kasakhiske encyklopædier , 2005. - T. II. — ISBN 9965-9746-3-2 . (Russisk) (CC BY SA 3.0)
↑ ' Margherita Barile . Korrekt ideel på Wolfram MathWorld- webstedet .
↑ Forelæsning om algebra ved Moscow State University