Primært ideal

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 23. august 2013; verifikation kræver 1 redigering .

I kommutativ algebra kaldes en ideel Q for en kommutativ ring A primær , hvis den ikke falder sammen med hele ringen, og for et hvilket som helst element Q på formen xy er enten x eller y n for nogle n>0 også et element i Q. For eksempel, i ringen af heltal Z , er et ideal primtal, hvis og kun hvis det har formen ( p n ), hvor p er et primtal .

Primære idealer er vigtige i teorien om kommutative ringe, fordi ethvert ideal for en noethersk ring har en primær nedbrydning, det vil sige, det kan skrives som skæringspunktet mellem et endeligt antal primære idealer. Dette resultat er kendt som Lasker-Noether-sætningen .

Primære idealer betragtes normalt i teorien om kommutative ringe, så i de følgende eksempler antages ringen at være kommutativ og med enhed.

Eksempler og egenskaber

Ethvert primært ideal er primært.
Et ideal er prime, hvis og kun hvis en nuldeler i kvotientringen med hensyn til den er nilpotent .
Hvis Q er et primært ideal, så er dets radikale P simpel. I dette tilfælde kaldes Q P -primær.
Hvis P er et maksimalt primideal, så er enhver potens af P et primært ideal. Det er dog ikke alle P -primære idealer, der er potenser af P , for eksempel er idealet ( x , y 2 ) P -primært for P = ( x , y ) i ringen k [ x , y ], men er ikke en kraft af P.
Hvis A er en noethersk ring, og P er et primært ideal, så er kernen af kortlægningen fra A til dens lokalisering ved idealet P skæringspunktet mellem alle P -primære idealer. [en] $A\til A_{P}$

Noter

↑ Atiyah-McDonald, konsekvens 10.21

Atiyah M., McDonald I. Introduktion til kommutativ algebra. - Factorial Press, 2003 - ISBN 5-88688-067-4 .
Gorton, Christine & Heatherly, Henry (2006), Generaliserede primære ringe og idealer, Math. pannon. T. 17 (1): 17–28, ISSN 0865-2090