Ideelt antal

Ideelle tal blev indført i 1847 af den tyske matematiker Ernst Eduard Kummer [1] og tjente som udgangspunkt for at bestemme idealerne for ringe , som senere blev indført af Dedekind . På nuværende tidspunkt bruges dette udtryk ikke og er blevet erstattet af begrebet et ideal.

Et ideal i en ring er principielt , hvis det består af elementer, der er multipla af et eller andet element, ellers er det ikke -principielt . Således kan hvert nummer i ringen forbindes med hovedidealet, mens vi kan antage eksistensen af ideelle tal, som ville svare til et vilkårligt ideal.

Eksempel

Lad y være roden af ligningen y ² + y + 6 = 0, så er feltets heltalsring , det vil sige alle udtryk på formen a + by , hvor a og b er elementer i ringen af heltal . Et eksempel på et ikke-principielt ideal i en sådan ring er 2 a + yb , hvor a og b er heltal; terningen af dette ideal er principiel, klassegruppen er cyklisk af orden 3. Det tilsvarende klassefelt fås ved at tilføje alle elementer w af formen w ³ − w − 1 = 0 til , hvilket giver . Det ideelle tal for det ikke-principielle ideal 2 a + yb er . Da det opfylder ligningen , er det et algebraisk heltal. ${\mathbb {Q}}(y)$ $\mathbb {Z} [y]$ ${\mathbb {Q}}(y)$ $\mathbb {Q} (y,w)$ $\iota =(-8-16y-18w+12w^{2}+10yw+yw^{2})/23$ $\iota ^{6}-2\iota ^{5}+13\iota ^{4}-15\iota ^{3}+16\iota ^{2}+28\iota +8=0$

Alle elementer i ringen af heltal i klassefeltet, ganget med ι, giver formen a α + b β, hvor $\mathbb {Z} [y]$

\alpha =(-7+9y-33w-24w^{2}+3yw-2yw^{2})/23

\beta =(-27-8y-9w+6w^{2}-18yw-11yw^{2})/23.

Koefficienterne α og β er også algebraiske heltal, der opfylder

\alpha ^{6}+7\alpha ^{5}+8\alpha ^{4}-15\alpha ^{3}+26\alpha ^{2}-8\alpha +8=0

\beta ^{6}+4\beta ^{5}+35\beta ^{4}+112\beta ^{3}+162\beta ^{2}+108\beta +27=0

henholdsvis. Multiplicerer vi a α + b β med det ideelle tal ι, får vi 2 a + med , som er et ikke-hovedideal.

Historie

Kummer skrev først om muligheden for ikke-unik faktorisering i cyklotomiske (cirkulære) felter i 1844 i et obskurt tidsskrift; artiklen blev gentaget i 1847 i Liouvilles tidsskrift . I yderligere artikler i 1846 og 1847 offentliggjorde han sin grundlæggende teorem om det unikke ved faktoriseringen til (virkelige og ideelle) primfaktorer.

Kummer menes at være kommet frem til ideen om "ideelle komplekse tal", mens han studerede Fermats sidste sætning ; det siges endda, at Kummer ligesom Lame troede, at han havde bevist Fermats sidste sætning, indtil Dirichlet fortalte ham, at hans argument hvilede på det unikke ved faktoriseringen; men denne historie blev først fortalt af Kurt Hansel i 1910 og stammer højst sandsynligt fra en fejl i en af Hansels kilder. Harold Edwards sagde, at "troen på, at Kummer var seriøst interesseret i Fermats sidste sætning, er utvivlsomt fejlagtig."

En generalisering af Kummers ideer blev udført af Kronecker og Dedekind i løbet af de næste fyrre år. Direkte generalisering stødte på alvorlige vanskeligheder, hvilket fik Dedekind til at skabe teorien om moduler og idealer . Kronecker behandlet vanskeligheden ved at udvikle teorien om former (en generalisering af kvadratiske former ) og teorien om divisorer . Dedekinds arbejde dannede grundlaget for ringteori og generel algebra , mens Kroneckers arbejde skabte det vigtigste værktøj for algebraisk geometri .

Se også

Noter

↑ Ideel // Kasakhstan. National Encyclopedia . - Almaty: Kasakhiske encyklopædier , 2005. - T. II. — ISBN 9965-9746-3-2 . (Russisk) (CC BY SA 3.0)

Litteratur