Algebra over feltet

En algebra over et felt er et vektorrum udstyret med et bilineært produkt. Det betyder, at en algebra over et felt både er et vektorrum og en ring , og disse strukturer er konsistente. En generalisering af dette begreb er en algebra over en ring , som generelt set ikke er et vektorrum, men et modul over en eller anden ring.

En algebra siges at være associativ, hvis operationen af multiplikation i den er associativ ; følgelig er en algebra med en enhed en algebra, hvori der findes et element, der er neutralt med hensyn til multiplikation. I nogle lærebøger betyder ordet "algebra" "associativ algebra", men ikke-associative algebraer er også af en vis betydning.

Definition

Lad være et vektorrum over et felt udstyret med en operation kaldet multiplikation. Så er en algebra overstået, hvis følgende egenskaber gælder for nogen: $EN$ $K$ $A\gange A\til A$ $EN$ $K$ $x,y,z\i A,\;a,b\i K$

$(x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z$
$x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$
$(ax)\cdot (af)=(ab)(x\cdot y)$ .

Disse tre egenskaber kan udtrykkes i ét ord ved at sige, at multiplikationsoperationen er bilineær . I tilfælde af enhedsalgebraer gives der ofte følgende ækvivalente definition:

En algebra med enhed over et felt er en ring med enhed udstyret med en homomorfi af ringe med enhed , således at den hører til midten af ringen (det vil sige det sæt af elementer, der pendler ved multiplikation med alle andre elementer). Derefter kan vi antage, at der er et vektorrum over med følgende operation af multiplikation med en skalar : .

K

EN

f:K\til A

f(K)

EN

EN

K

\alfa \i K

\alpha x=f(\alpha )\cdot x

Relaterede definitioner

En homomorfi af -algebraer er en -lineær afbildning sådan, at for et hvilket som helst af domænerne. $K$ $K$ $f(ab)=f(a)\cdot f(b)$ $a,b$
En subalgebra af en algebra over et felt er et lineært underrum , således at produktet af to vilkårlige elementer fra dette underrum igen hører til det. Med andre ord er en subalgebra af en lineær algebra over et felt dens delmængde, hvis den er en underring af en ring og et underrum af et lineært rum [1] . $K$ $U$ $R$ $P$ $R$ $R$
- Et element i en algebra kaldes algebraisk , hvis det er indeholdt i en finitdimensional subalgebra.
- En algebra kaldes algebraisk , hvis alle dens elementer er algebraiske. [2]

Det venstre ideal for en -algebra er et lineært underrum, der er lukket under venstre multiplikation af et vilkårligt element i ringen. Følgelig er det rigtige ideal lukket under ret multiplikation; et tosidet ideal er et ideal, der er både venstre og højre. Den eneste forskel mellem denne definition og definitionen af et ideal for en ring er kravet om, at det skal lukkes under multiplikation med elementer i feltet; i tilfælde af algebraer med identitet, opfyldes dette krav automatisk. $K$
En divisionsalgebra er en algebra over et felt, således at for et hvilket som helst af dets elementer , ligningerne og er løselige [3] . Især en associativ divisionsalgebra, der har en enhed, er et skævt felt . $a\neq 0$ $b$ $akse=b$ $ja=b$
Algebraens centrum er det sæt af elementer , som for ethvert element . $EN$ $a\i A$ $xa=ax$ $x\i A$

Eksempler

Associative algebraer

De komplekse tal er naturligvis en todimensionel algebra over realerne .
Kvaternioner er en firedimensionel algebra over reelle tal.
De foregående to eksempler er henholdsvis et felt og et skævt felt, og dette er ikke tilfældigt: enhver finitdimensional algebra over et felt, der ikke har nuldelere , er en divisionsalgebra. Faktisk er multiplikation til venstre en lineær transformation af denne algebra som et vektorrum, denne transformation har en nulkerne (da den ikke er en nuldivisor), derfor er den surjektiv; især er der et omvendt billede af et vilkårligt element , det vil sige et element sådan, at = . Den anden betingelse bevises tilsvarende. $x$ $x$ $b$ $y$ $xy$ $b$
Kommutativ (og uendelig-dimensionel) polynomial algebra . $K[x]$
Algebraer af funktioner , såsom -algebraen af reelle værdifulde kontinuerte funktioner defineret på intervallet (0, 1), eller -algebraen af holomorfe funktioner defineret på en fast åben delmængde af det komplekse plan. $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$
Algebraer af lineære operatorer på et Hilbert-rum .

Ikke-associative algebraer

Strukturelle koefficienter

Multiplikation i algebra over et felt er entydigt defineret af produkter af basisvektorer. For at definere en algebra over et felt er det således tilstrækkeligt at specificere dens dimension og strukturelle koefficienter , som er elementer i feltet. Disse koefficienter er defineret som følger: $K$ $n$ $n^3$ $c_{{i,j,k}}$

{\mathbf {e}}_{{i}}{\mathbf {e}}_{{j}}=\sum _{{k=1}}^{n}c_{{i,j,k} }{\mathbf {e}}_{{k}}

hvor er et eller andet grundlag . Forskellige sæt strukturkoefficienter kan svare til isomorfe algebraer. $(e_{1},e_{2},\ldots e_{n})$ $EN$

Hvis kun er en kommutativ ring og ikke et felt, er denne beskrivelse kun mulig, når algebraen er et frit modul . $K$ $EN$

Se også

Noter

↑ Skornyakov L. A. Elementer i algebra. - M., Nauka, 1986. - s. 190
↑ Jacobson N. Ringenes struktur . - M. : IL, 1961. - 392 s.
↑ Kuzmin E. N. Algebra med division Arkivkopi af 14. juli 2015 på Wayback Machine

Litteratur

Skornyakov L. A., Shestakov I. P. . Kapitel III. Ringe og moduler // Generel algebra / Red. udg. L. A. Skonyakova . - M . : Science , 1990. - T. 1. - S. 291-572. — 592 s. — (Matematisk referencebibliotek). — 30.000 eksemplarer. — ISBN 5-02-014426-6 .