Forbindelse torsion

Vridningen af en affin forbindelse er en af de geometriske karakteristika ved forbindelser i differentialgeometri. I modsætning til begrebet krumning , som giver mening for en forbindelse i et vilkårligt vektorbundt eller endda en Ehresmann-forbindelse i et lokalt trivielt bundt, kan torsion kun defineres for forbindelser i et tangentbundt (eller mere generelt i bundter udstyret med en kortlægning til en tangent - f.eks. kontakt underbundt ).

Hvis er en forbindelse i tangentbundtet, er dens torsionstensor defineret som . $\nabla \colon \Gamma (TX\otimes TX)\to \Gamma (TX)$ $\mathrm {Tors} ^{\nabla }(u,v)=\nabla _{u}v-\nabla _{v}u-[u,v]$

Det bekræftes ved direkte beregning, at den givne operator er lineær med hensyn til multiplikation med funktioner, og derfor definerer den virkelig en tensor af formen . Med andre ord, til et par tangentvektorer i et givet punkt, forbinder torsion en tangentvektor på en skæv-symmetrisk måde. $\Lambda ^{2}TX\til TX$

Et eksempel fra klassisk mekanik og forklaring af navnet

Lad X være et tredimensionelt euklidisk rum, hvor et bestemt koordinatsystem er givet. Den definerer en torsionsfri flad forbindelse: I hvert punkt kan vi angive en enhedstangentvektor rettet langs aksen (hhv. , ), og disse vektorfelter pendler (det vil sige, de definerer et koordinatsystem). $Okse$ $Åh$ $Oz$

Lad nu dette koordinatsystem ændre sig med tiden (det vil sige, det sætter, som fysikere siger, et referencesystem ). Dette gør det muligt at udvide den flade forbindelse til rum-tid , således at vektorfeltet er parallelt med forbindelsen. Kovariante afledte vil angive, hvordan koordinatvektoren roterer i rummet over tid . Vridningen af denne forbindelse er generelt set ikke nul. I begrænsningen af hvert tidspunkt af tiden, det vil sige på en undermanifold , er forbindelsen, ved konstruktion, en standard flad forbindelse på det euklidiske rum og har ingen torsion, men resultatet af substitutionen er generelt set en ikke -triviel tensor . Denne tensor kaldes moment . Forbindelsestorsion generaliserer således begrebet drejningsmoment til det tilfælde, hvor kun buet rumtid forbliver fra det absolutte rum med dets flade koordinater, og torsionsfrie forbindelser er begreberne for inertielle referencerammer . $X\time From$ $\partial /\partial t$ $\nabla _{\partial /\partial t}v$ $v$ $x$ $t=\mathrm {const}$ ${\displaystyle \iota _{\partial /\partial t}\mathrm {Tors} ^{\nabla ))$ $TX\til TX$

Intern vridning

Givet en geometrisk struktur på en manifold (for eksempel et sæt af tensorer), kan man undre sig over, hvornår der er en torsionsfri forbindelse, der bevarer denne struktur. Den grundlæggende sætning for Riemannsk geometri siger, at for en Riemannsk metrik eksisterer en vridningsfri forbindelse, der bevarer den, og er unik. For andre strukturer er dette generelt ikke sandt.

Eksempel. Lad en manifold, og vær en underbundt. Hvis i der er en forbindelse med nul torsion sådan, at (det vil sige vektorfelterne fra forbliver i , under parallel translation ), så (og derfor, ved Frobenius-sætningen , eksisterer der en familie af undermanifolder , således at for alle ). $x$ $F\subset TX$ $TX$ $\nabla$ $\nabla F=0$ $F$ $F$ $[F,F]\subseteq F$ $Y_{x}\subset X$ $T_{x}(Y_{x})=F_{x}\delsæt T_{x}X$ $x\i X$

Bevis. Hvis bevarer , så har vi for to vektorfelter . Hvis torsionen forsvinder, så , hvorfra, på grund af valgets vilkårlighed , har vi . □ $\nabla$ $F$ $u,v\in \Gamma (F)$ $\nabla _{x}y\i \Gamma (F),\nabla _{y}x\in \Gamma (F)$ $\nabla$ $[u,v]=\nabla _{u}v-\nabla _{v}u\in \Gamma (F)$ $u, v$ $[F,F]\subset F$

Eksempel. Lad en manifold, og vær en differentiel -form på den. Hvis der er en forbindelse med nultorsion i sådan, at , så er denne form lukket: . $x$ $\alpha \in \Omega ^{p}(X)$ $s$ $TX$ $\nabla$ $\nabla \alpha =0$ $d\alpha =0$

Bevis. Ved at erstatte udtrykket (eksplicit skrevet ligning ) i formlen for de Rham-differentialet har vi . □ $\nabla _{v}(\alpha (u_{1},\dots ,u_{p))=\sum _{i=1}^{p}\alpha (u_{1},\dots, u_{i-1},\nabla _{v}u_{i},u_{i+1},\dots ,u_{p})$ $\nabla \alpha =0$ $d\alpha =0$

Lad os sige, at for ikke-degenererede differentielle 2-former er eksistensen af en torsionsfri forbindelse, med hensyn til hvilken de er parallelle, ækvivalent med denne forms symplecticitet . Med andre ord, i modsætning til Levi-Civita-forbindelsen eksisterer symplektiske forbindelser ikke for hver 2-form, men kun for symplektiske former, og hvis de eksisterer, så er de ikke unikke. Tilsvarende på næsten komplekse manifolds svarer eksistensen af en torsionsfri forbindelse, der bevarer tensoren af den næsten komplekse struktur, til at manifolden tillader komplekse analytiske kort .

Dette har følgende algebraiske baggrund. Lad der være en Lie-algebra , der virker i et vektorrum , det vil sige en kortlægning . Overvej kortlægningen , skævsymmetriseringen i de sidste variable, og angiv denne pils kerne og cokerne med og . Lad det nu være en manifold, hvis tangentbundt er udstyret med handlingen af en Lie-gruppe, hvis algebra er . Den nøjagtige sekvens bliver så til en nøjagtig sekvens af vektorbundter: . Hvis der er to forbindelser, der bevarer -strukturen, så er deres forskel et element i . Det tredje led i denne sekvens indeholder torsion af alle mulige forbindelser; forskellene i torsion -forbindelser udgør dets elementer, der kommer fra det foregående udtryk, og derfor nøjagtigt dem, der annulleres af kortlægningen til cokernelen. Den tilsvarende sektion af bundtet konstrueret ud fra -strukturen er således uafhængig af valget af -forbindelsen, og kaldes -strukturens indre torsion . Forskellige sektioner svarer til gengæld til tvetydigheden af valget af -forbindelse med en given torsion. $\mathfrak{g}$ $V$ ${\mathfrak {g}}\to V\otimes V^{*}$ ${\mathfrak {g}}\otimes V^{*}\to V\otimes V^{*}\otimes V^{*}\to V\otimes \Lambda ^{2}V^{*}$ $K$ $C$ $x$ $G$ $\mathfrak{g}$ $0\to K\to {\mathfrak {g}}\otimes T^{*}\to T\otimes \Lambda ^{2}T^{*}\to C\to 0$ $\nabla ,\nabla '$ $G$ $\nabla -\nabla '$ $\Omega ^{1}({\mathfrak {g}})={\mathfrak {g}}\nogle gange T^{*}$ $G$ $C$ $G$ $G$ $G$ $K$ $G$

For og dens tautologiske repræsentation er kortlægningen for eksempel en isomorfi, og dermed . Dette er den grundlæggende sætning i Riemannsk geometri: en torsionsfri ortogonal forbindelse eksisterer og er unik. For en kokkerne er isomorf til et bundt af 3-former , og den indre torsion af -forbindelsen er en differential . For en næsten kompleks struktur er den indre torsion dens Nijenhuis-tensor , for en fordeling dens Frobenius-tensor . ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {so}}(n)$ $V=\mathbb {R} ^{n}$ ${\mathfrak {so}}(n)\otimes V^{*}\to V\otimes \Lambda ^{2}V^{*}$ $K=C=0$ ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {sp}}(2n)$ $\Lambda ^{3}V^{*}$ $\omega$ $d\omega \in \Omega ^{3}(X)$ $\Lambda ^{2}T^{1,0}\to T^{0,1}$ $F\subset TX$ $\Lambda ^{2}F\til TX/F$

Parallellen mellem en næsten symplektisk form (eller en operator af en næsten kompleks struktur) på en næsten hermitisk manifold med hensyn til Levi-Civita-forbindelsen betyder, at den er Kählerian . I ikke-Kählersk geometri er det nyttigt at overveje forbindelser med torsion, der ikke er nul. På enhver kompleks hermitisk manifold er der således en unik forbindelse med hensyn til hvilken metrikken, den næsten symbolske form og den komplekse struktur er parallelle, for hvilke torsionen (som af metrikken betragtes som en 3-tensor) er skæv- symmetrisk i alle tre argumenter. En sådan forbindelse kaldes en vismutforbindelse .

Litteratur

Biskop R. L. , Crittenden R. J. Manifoldernes geometri. - 1967.