Multilineær algebra

Multilineær algebra er en gren af algebra , der generaliserer begreberne lineær algebra til funktioner af flere variable , der er lineære i hvert af argumenterne.

Grundlæggende definitioner

Hovedobjektet for multilineær algebra er den multilineære ( -lineære) kortlægning : $n$

f : V_1 \times \dots \times V_n \rightarrow W

hvor og er vektorrum over et bestemt felt . -linearitetsbetingelsen betyder strengt taget, at for hver familie af kortlægninger $V_1, \prikker, V_n$ $W$ $K$ $n$ $i = 1, \prikker, n$

(\pi_if)_{\{x_k | k \ne i\}} : V_k \rightarrow W; \quad (\pi_if)_{\{x_k | k \ne i\}}(x_i) = f(x_1, \dots, x_n)

afhængig af variabler som af parametre , består af lineære afbildninger . Man kan også definere en -lineær afbildning rekursivt (ved induktion) som en lineær afbildning fra til et vektorrum af -lineære afbildninger. $n-1$ $\{x_k | k \ne i\}$ $n$ $V_{n}$ $(n-1)$

En 2-lineær kortlægning kaldes bilineær , en 3 -lineær kortlægning kaldes trilineær . Hvis det matcher feltet, kaldes kortlægningen en multilineær form . $W$ $K,$

En polylineær form siges at være symmetrisk , hvis dens værdi ikke ændres, når to argumenter ombyttes, og derfor, når alle argumenter ombyttes.
En polylineær form siges at være skæv-symmetrisk (anti-symmetrisk), hvis dens værdi er omvendt, når to argumenter udveksles. Derfor, når alle argumenter er permuteret, vil dens værdi ikke ændre sig, hvis permutationen er lige, og vil ændre sig til det modsatte, hvis permutationen er ulige.
Sætning: [1] for hver er der en unik (op til multiplikation med en konstant — et element i feltet ) skæv-symmetrisk- lineær form . Dette er determinanten for en matrix sammensat af vektorer . $n>1$ $K$ $n$ $f : V_1 \times \dots \times V_n \rightarrow K$ $V_1, \prikker, V_n$

Det er muligt at generalisere kortlægninger fra vektorrum (over felter) til moduler over ringe .

Kvadratiske og bilineære former

Algebraiske former ( homogene polynomier på vektorrum givet af homogene polynomier i vektorkoordinater) er vigtige genstande for undersøgelse i lineær algebra. Af disse er kvadratiske former og bilineære former af størst interesse , men også former for højere grader, multilineære former, polykvadratiske former og nogle specielle former for former ( halvanden -lineær , Hermitian ) studeres også. Hovedspørgsmålene i studiet af algebraiske former er lovene for ændring af koefficienter under lineære transformationer (ændringer af koordinater), metoder til reduktion til den kanoniske form ved hjælp af lineære transformationer og gensidig repræsentation af former. [2]

En kvadratisk form er et objekt af lineær algebra, der optræder i mange grene af matematikken, især i talteori , gruppeteori ( ortogonal gruppe ), differentialgeometri, Lie-algebraer ( Dræbende form ), defineret som et homogent polynomium af anden grad i variablernes jordfelt ( er dimensionen af det rum, der overvejes) . En kvadratisk form kan repræsenteres som en matrix , der (med hovedkarakteristikken forskellig fra 2) er symmetrisk , og hver symmetrisk matrix svarer til henholdsvis en kvadratisk form, de samme operationer introduceres på kvadratiske former som på matricer (multiplikation ved en skalar, addition ), kan kvadratiske former reduceres til en kanonisk form - en diagonal form: $n$ $n$ $n\ gange n$

\sum_{i=1}^n a_i x_i^2 = a_1 x_1^2 + a_2 x_2^2 +\cdots + a_n x_n^2

(en af de praktiske reduktionsmetoder er Lagrange-metoden ) og betragtes som en ækvivalensklasse af alle kvadratiske former, der kan reduceres til en diagonal form med passende koefficienter, rangeringen og signaturen er bevaret inde i sådanne ækvivalensklasser . [3] $[a_1, \dots, a_n]$

Betragtning af et par lineære former (homogene polynomier af første grad) som en enkelt funktion af to systemer af variable (med hensyn til lineære rum, over det kartesiske produkt af to vektorrum, i det mest generelle tilfælde, over produktet af venstre og højre enhedsmoduler over en ring med identitet) fører til begrebet en bilineær form (ud fra et tensoralgebras synspunkt betragtes en bilineær form som en rangtensor ). Ligesom den kvadratiske form kan den bilineære form udtrykkes af en matrix, desuden kan enhver bilineær form repræsenteres af en kvadratisk: $(2,0)$ $B$

Q_b(x)= B(x,y) + B(y,x)

desuden i det tilfælde, hvor vektorrummet er defineret over et felt med karakteristik forskellig fra 2 på en gensidigt unik måde [4] .

I lyset af dens særlige betydning (både for lineær algebra selv og for applikationer), er egenskaberne af symmetriske og skæv-symmetriske bilineære former blevet studeret mest detaljeret. $(B(x,y)=B(y,x))$ $(B(x,y)= - B(y,x))$

Andre eksempler

Formalisme

Objekter

Operationer

Tensor-produkt - opretter et lineært rum, men afbildninger, der er lineære på produktet, svarer til multilineære afbildninger på de oprindelige mellemrum

Noter

↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineær algebra og geometri. - ch. II, s. 52 - M .: Fizmatlit, 2009.
↑ Maltsev, 1970 , s. 254.
↑ Maltsev, 1970 , s. 262-270.
↑ Kvadratisk form - Encyclopedia of Mathematics artikel . Malyshev A.V.

Litteratur

Multilineær algebra - Encyclopedia of Mathematics artikel . A. L. Onishchik

Maltsev AI Fundamentals af lineær algebra. - 3. — M .: Nauka , 1970. — 400 s.