Cibrario normal form

Normalformen af Cibrario er normalformen af en differentialligning, der ikke er løst med hensyn til den afledede i nærheden af det enkleste entalspunkt. Navnet blev foreslået af V. I. Arnold til ære for den italienske matematiker Maria Cibrario , som etablerede denne normale form for én klasse af ligninger [1] [2] [3] .

Relaterede definitioner

Ental punkter

Lad differentialligningen have formen

$F(x,y,p)=0,\$ hvor $p={\frac {dy}{dx}}.$

Funktionen antages at være reel, glat klasse (eller analytisk ) i helheden af alle tre variable. De enestående punkter i en sådan ligning er punkter i tredimensionelt rum med koordinater, der ligger på overfladen givet af ligningen , hvor den afledede forsvinder, dvs. projektionen af overfladen på planet af variable langs aksens retning er uregelmæssig. I det generelle tilfælde danner sættet af ental punkter en kurve på overfladen, kaldet kriminanten . Projektionen af en kriminant på et plan kaldes en diskriminantkurve , dens punkter kaldes også ofte entalspunkter i ligningen, selvom unøjagtighed er mulig: når man projicerer forskellige punkter på overfladen , kan det samme punkt på variableplanet svare til [ 1] [4] [5] . $F$ ${\displaystyle C^{\infty ))$ $(x,y,p)$ $F=0$ $F_{p}$ $\pi$ $\{F=0\}$ $x,y$ $s$ $\{F=0\}$ $(x,y)$ $\pi$ $\{F=0\}$ $(x,y)$

Løft af ligningen

Differentialrelationen definerer feltet af kontaktplaner i rummet . Skæringspunktet mellem kontaktplanerne med planerne, der tangerer overfladen, definerer et retningsfelt på sidstnævnte (defineret på alle punkter, hvor kontakt- og tangentplanet ikke falder sammen med hinanden). Integralkurverne for feltet konstrueret på denne måde er 1-grafer af løsninger til den oprindelige ligning, og deres projektioner på planet er graferne for løsninger [4] [5] $p=dy/dx$ $(x,y,p)$ $pdx-dy=0$ $\{F=0\}$ $(x,y)$

Den beskrevne konstruktion af studiet af ligninger, der ikke er løst med hensyn til den afledte, går tilbage til A. Poincarés tredje erindringsbog "Om kurver defineret af differentialligninger" (1885); i moderne matematisk litteratur kaldes det ofte at løfte en ligning til overfladen [3] .

Normalformsætningen

Ligningens simpleste singularpunkter er de såkaldte regulære singularpunkter, hvor projektionen har en singularitet kaldet Whitney-folden , og kontaktplanet ikke rører overfladen. Dette svarer til opfyldelsen af følgende betingelser ved en givet punkt: $F(x,y,p)=0$ $\pi$ $F=0.$

F=0,\quad F_{p}=0,\quad F_{pp}\neq 0,\quad F_{x}+pF_{y}\neq 0.

Sætning . I et kvarter til et regulært entalspunkt er en ligning med en glat (eller analytisk) funktion jævnt (henholdsvis analytisk) ækvivalent med ligningen $F(x,y,p)=0$ $F$

p^{2}-x=0,

kaldet Cibrario normalform [1] [4] [5] .

I 1932 opnåede Cibrario denne normale form ved at undersøge egenskaberne af en andenordens partiel differentialligning af blandet type [2] .

Eksempler

Cibrario-normalformen er den karakteristiske ligning for Tricomi-ligningen

$u_{xx}-xu_{yy}=0$ ,

tilhørende den elliptiske type i halvplanet og til den hyperbolske type i halvplanet . $x<0$ $x>0$

Ligningen er let integreret: graferne for dens løsninger danner en familie af semikubiske parabler [4] [5] $p^{2}-x=0$

$y=\pm {\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}+{\rm {const,}}$

udfylde halvplanet , hvis spidspunkter ligger på diskriminantkurven - aksen . $x>0$ $y$

De asymptotiske linjer på en todimensionel overflade i det euklidiske rum ligner hinanden i nærheden af et typisk parabolsk punkt . Cibrario-normalformen svarer også til de simpleste træk ved slowmotion-feltet i hurtig-langsom dynamiske systemer [6] .

Litteratur

Arnold V. I. Yderligere kapitler af teorien om almindelige differentialligninger, - Enhver udgave.
Arnold V. I. Geometriske metoder i teorien om almindelige differentialligninger, - Enhver udgave.
Arnol'd V. I., Ilyashenko Yu. S. Ordinære differentialligninger, Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Moderne sandsynlighed måtte. Fundam. retning, 1985, bind 1.
Arnold V. I., Afraimovich V. S., Ilyashenko Yu. S., Shilnikov L. P. Teori om bifurkationer, - Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Moderne sandsynlighed måtte. Fundam. retning, 1986, bind 5.
Cibrario M. Sulla reduzione a forma canonica delle equazioni lineari alle derivative parzialy di secondo ordine di tipo misto, - Rend. Lombardo 65 (1932), s. 889-906.

Noter

↑ 1 2 3 Arnold V. I., Ilyashenko Yu. S. Ordinære differentialligninger, Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Moderne sandsynlighed måtte. Fundam. retning, 1985, bind 1. - kap. 1, stk. 7.
↑ 1 2 Cibrario M. Sulla reduzione a forma canonica delle equazioni lineari alle derivative parzialy di secondo ordine di tipo misto, - Rend. Lombardo 65 (1932), s. 889-906.
↑ 1 2 Remizov A.O. Multidimensionel Poincaré-konstruktion og singulariteter af løftede felter til implicitte differentialligninger, CMFD, 19 (2006), 131-170.
↑ 1 2 3 4 Arnold V.I. Yderligere kapitler i teorien om almindelige differentialligninger. - ch. 1, stk. fire.
↑ 1 2 3 4 Arnold V. I. Geometriske metoder i teorien om almindelige differentialligninger. - ch. 1, stk. fire.
↑ Arnold V. I., Afraimovich V. S., Ilyashenko Yu. S., Shilnikov L. P. Bifurcation Theory, - Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Moderne sandsynlighed måtte. Fundam. retning, 1986, bind 5

Grene af matematik

Portal "Science"

Grundlaget for matematik mængdeteori matematisk logik logikkens algebra

Talteori ( aritmetik )

Algebra
Elementær algebra	Ligningsløsning
Lineær algebra	Vektorregning matricer Tensorregning Multilineær algebra
Generel algebra	Kommutativ algebra Repræsentationsteori Differentiel algebra Homologisk algebra Universal Algebra Kategori teori

Analyse
Klassisk analyse	Differentialregning Integralregning
Funktionsteori	Harmonisk analyse Kvaternion Analyse Kompleks analyse måle teori Teori om funktioner af en reel variabel funktionel analyse Variationsberegning
Differential- og integralligninger	Dynamiske systemer og ergodisk teori Differentialligninger almindelig i partielle derivater Integralligninger
Vektoranalyse Global Analyse Katastrofe teori Tilpasset analyse Glat infinitesimal analyse

Geometri og topologi
Geometri	Algebraisk geometri Analytisk geometri Euklidisk geometri Ikke-euklidisk geometri Planimetri Stereometri
Topologi	Generel topologi Algebraisk topologi Differentialgeometri og topologi

Diskret matematik
Kombinatorik grafteori

Anvendt matematik
Matematisk fysik Matematisk kemi matematisk biologi Matematik statistik Matematisk modellering Teori om algoritmer Numeriske metoder matematisk økonomi finansiel matematik Sandsynlighedsteori Operationsforskning Spilteori

Portal "Matematik"
Kategori "Matematik"