Riemann zeta funktion

Riemann zeta-funktionen er en funktion af en kompleks variabel , ved , defineret ved hjælp af Dirichlet-serien : $\displaystyle \zeta (s)$ $s=\sigma +it$ $\sigma >1$

\zeta (s)={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s }}}+\ldots .

I det komplekse halvplan konvergerer denne serie , er en analytisk funktion af og indrømmer en analytisk fortsættelse til hele det komplekse plan , bortset fra entalspunktet . ${\displaystyle \{s\in \mathbb {C} \mid \operatørnavn {Re} s>1\))$ $s$ $s=1$

Riemann zeta-funktionen spiller en meget vigtig rolle i analytisk talteori , har anvendelser i teoretisk fysik , statistik og sandsynlighedsteori .

Især hvis hverken den beviste eller afkræftede Riemann-hypotese om positionen af alle ikke-trivielle nuller af zeta-funktionen på det direkte komplekse plan er bevist eller tilbagevist indtil videre , så er mange vigtige primtalssætninger baseret på Riemann-hypotesen i bevis bliver enten sandt eller falsk. $\operatorname {Re} s=1/2$

Eulers identitet

Repræsentationen som et uendeligt produkt er også gyldig i domænet ( Eulers identitet ) $\{s\mid \operatørnavn {Re} s>1\}$

\zeta (s)=\prod _{{\text{tal }}p \top {\text{simple}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}.

Bevis

Ideen om beviset bruger kun simpel algebra, tilgængelig for en flittig skoledreng. Euler udledte oprindeligt formlen på denne måde. Der er en egenskab ved Eratosthenes si , som vi kan drage fordel af:

\zeta (s)=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^ {s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+\ldots

{\frac {1}{2^{s}}}\zeta (s)={\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{4^{s} ))+{\frac {1}{6^{s}}}+{\frac {1}{8^{s}}}+{\frac {1}{10^{s}}}+\ldots

Ved at trække den anden fra den første fjerner vi alle elementer med en divisor på 2:

\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=1+{\frac {1}{3^{s}}}+{\ frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{9^{s}}}+{\frac {1}{ 11^{s}}}+{\frac {1}{13^{s}}}+\ldots

Gentag for følgende:

{\frac {1}{3^{s}}}\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)={\frac {1 }{3^{s}}}+{\frac {1}{9^{s}}}+{\frac {1}{15^{s}}}+{\frac {1}{21^{ s))}+{\frac {1}{27^{s}}}+{\frac {1}{33^{s}}}+\ldots

Træk fra igen, vi får:

\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta ( s)=1+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{11^{s}}}+ {\frac {1}{13^{s}}}+{\frac {1}{17^{s}}}+\ldots ,

hvor alle elementer med divisor 2 og/eller 3 fjernes.

Som du kan se, sigtes højre side gennem en sigte. Gentager vi i det uendelige får vi:

\ldots \left(1-{\frac {1}{11^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{7^{s}}}\right)\ venstre(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\ frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=1.

Vi deler begge sider med alt undtagen , vi får: $\zeta (s)$

\zeta (s)={\frac {1}{\left(1-{\dfrac {1}{2^{s}}}\right)\left(1-{\dfrac {1}{ 3^{s}}}\right)\left(1-{\dfrac {1}{5^{s}}}\right)\left(1-{\dfrac {1}{7^{s}} }\right)\left(1-{\dfrac {1}{11^{s}}}\right)\ldots }}),

som kan skrives kortere som et uendeligt produkt over alle primtal p :

\zeta (s)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s))}.

For at gøre beviset strengt, er det kun nødvendigt at kræve, at når , den sigtede højre side nærmer sig 1, hvilket umiddelbart følger af konvergensen af Dirichlet-serien for . $\operatorname {Re} s>1$ $\zeta (s)$

Denne lighed er en af de vigtigste egenskaber ved zeta-funktionen.

Egenskaber

Hvis vi tager den asymptotiske ekspansion for delsummer af formen ${N\rightarrow +\infty }$ $\sum \limits _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{s}}}=\zeta (s)+{\frac {1}{1-s}} N^{1-s}+{\frac {1}{2}}N^{-s}-{\frac {1}{12}}sN^{-1-s}+\dots$ ,

gyldig for , vil det også forblive sandt for alle , undtagen for dem (disse er de trivielle rødder af zeta-funktionen ). Herfra kan følgende formler fås for : ${\rm {Re}}\,s>1$ $s$ $2-s\in {\mathbb {N} }$ $\zeta (s)$

$\zeta (s)=\lim \limits _{N\rightarrow +\infty }\left(\sum \limits _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{s ))}-{\frac {N^{1-s}}{1-s}}\right)$ , at , bortset fra ; ${\rm {Re}}\,s>0$ $s=1$
$\zeta (s)=\lim \limits _{N\rightarrow +\infty }\left(\sum \limits _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{s ))}-{\frac {N^{1-s}}{1-s}}-{\frac {1}{2}}N^{-s}\right)$ , med , undtagen eller ; ${\rm {Re}}\,s>-1$ $s=1$ $0$
$\zeta (s)=\lim \limits _{N\rightarrow +\infty }\left(\sum \limits _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{s ))}-{\frac {N^{1-s}}{1-s}}-{\frac {1}{2}}N^{-s}+{\frac {1}{12}} sN^{-1-s}\right)$ , med , undtagen eller osv. ${\rm {Re}}\,s>-2$ $s=1$ $0$ $-en$

Der er eksplicitte formler for værdierne af zeta-funktionen ved lige heltal: $\zeta (2m)=(-1)^{m+1}{\frac {(2\pi )^{2m}}{2(2m)!}}B_{2m}$ , hvor er Bernoulli nummeret . $\displaystyle B_{{2m}}$

Især ( omvendt kvadratrække ),

\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}

\zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{90)),\ \ \zeta (6)={\frac {\pi ^{6}}{945)),\ \ \zeta (8)={\frac {\pi ^{8}}{9450)),\ \ \zeta (10)={\frac {\pi ^{10}}{93555}}

Derudover er værdien , hvor er polygamma-funktionen ; $\zeta (3)=-{\frac {\psi ^{(2)}(1)}{2))$ $\psi$
Lidt er kendt om værdierne af zeta-funktionen ved ulige heltalpunkter: det antages, at de er irrationelle og endda transcendentale , men indtil videre (2019) er kun irrationaliteten af tallet ζ(3) blevet bevist ( Roger Apéry , 1978), og også at der blandt værdierne ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) er mindst en irrationel mere [1] .
På $\operatørnavn {Re} \,s>1$
- ${\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}$ , hvor er Möbius-funktionen $\displaystyle \mu(n)$
- ${\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)))=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s }}}$ , hvor er Liouville-funktionen $\displaystyle \lambda (n)$
- $\zeta ^{2}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\tau (n)}{n^{s))}$ , hvor er antallet af divisorer af tallet $\displaystyle \tau (n)$ $\displaystyle n$
- ${\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)))=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^ {s}}}$
- ${\frac {\zeta ^{2}(s)}{\zeta (2s)))=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{\nu (n )}}{n^{s}}}$ , hvor er antallet af primtalsdelere af tallet $\displaystyle \nu(n)$ $\displaystyle n$
- ${\frac {\zeta ^{3}(s)}{\zeta (2s)))=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\tau (n^{2 })}{n^{s}}}$
- ${\frac {\zeta ^{4}(s)}{\zeta (2s)))=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(\tau (n)) ^{2}}{n^{s}}}$
På $\operatørnavn {Re} \,s>2$
- ${\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)))=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^ {s}}}$ , hvor er Euler-funktionen $\displaystyle \varphi (n)$
$\displaystyle \zeta (s)$ har en simpel pol ved punktet med rest lig med 1. $\displaystyle s=1$
Zeta-funktionen ved opfylder ligningen: $\displaystyle s\neq 0,s\neq 1$ $\zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\pi s \over 2}\right)\Gamma (1-s)\zeta (1-s)$ ,

hvor er Euler gamma-funktionen . Denne ligning kaldes Riemanns funktionelle ligning , selvom sidstnævnte hverken er dens forfatter eller den, der først strengt beviste den [2] .

\displaystyle \gamma (z)

Til funktion $\xi (s)={\frac {1}{2}}\pi ^{-s/2}s(s-1)\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\ zeta(r)$ ,

introduceret af Riemann til forskning og kaldet Riemanns x-funktion , har denne ligning formen:

\displaystyle \zeta (s)

\displaystyle \ \xi (s)=\xi (1-s)

Nuller for zeta-funktionen

Som det følger af Riemann funktionelle ligning, har funktionen i halvplanet kun simple nulpunkter ved negative lige punkter: . Disse nuller kaldes de "trivielle" nuller i zeta-funktionen. Yderligere, for alvor . Derfor er alle "ikke-trivielle" nuller i zeta-funktionen komplekse tal. Derudover har de egenskaben symmetri i forhold til den reelle akse og i forhold til den lodrette og ligger i et bånd kaldet det kritiske bånd . Ifølge Riemann-hypotesen er de alle på den kritiske linje . $\operatørnavn {Re} \,s<0$ $\zeta (s)$ $0=\zeta (-2)=\zeta (-4)=\zeta (-6)=\prikker$ $\zeta (s)\neq 0$ $s\in(0,1)$ $\operatørnavn {Re} \,s={\frac {1}{2}}$ $0\leqslant \operatørnavn {Re} \,s\leqslant 1$ $\operatørnavn {Re} \,s={\frac {1}{2}}$

Konkrete værdirepræsentationer

ζ(2)

Fra formlen , hvor er Bernoulli-tallet , får vi det . $2\zeta (2m)=(-1)^{m+1}{\frac {(2\pi )^{2m}}{(2m)!}}B_{2m}$ $\displaystyle B_{{2m}}$ $\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

Andre rækkerepræsentationer

Nedenfor er andre serier, hvis sum er [3] : $\zeta (2)$

{\begin{aligned}\zeta (2)&=3\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}{\binom {2k}{k }}}}\\\end{aligned}}}

{\begin{aligned}\zeta (2)&=\sum _{i=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {(i-1 )!(j-1)!}{(i+j)!}}\end{aligned}}

Der er også repræsentationer for formen af Bailey-Borwain-Pluff-formlen , som i nogle talsystemer gør det muligt at beregne det th fortegn i dens rekord uden at beregne de foregående [3] : $\zeta (2)$ $k$

{\begin{aligned}\zeta (2)={\frac {27}{4}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{64^{k} }}\venstre[{\frac {16}{(6k+1)^{2}}}-{\frac {24}{(6k+2)^{2}}}-{\frac {8}{ (6k+3)^{2))}-{\frac {6}{(6k+4)^{2))}+{\frac {1}{(6k+5)^{2))}\ højre]\end{aligned}}

{\begin{aligned}\zeta (2)={\frac {4}{9}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{729^{k} }}\venstre[{\frac {243}{(12k+1)^{2}}}-{\frac {405}{(12k+2)^{2}}}-{\frac {81}{ (12k+4)^{4))}-{\frac {27}{(12k+5)^{2))}-\højre.\\-\venstre.{\frac {72}{(12k+ 6 )^{2))}-{\frac {9}{(12k+7)^{2))}-{\frac {9}{(12k+8)^{2))}-{\frac { 5}{(12k+10)^{2}}}+{\frac {1}{(12k+11)^{2}}}\right]\end{aligned}}

Integrale repræsentationer

Nedenfor er formler for involvering af integraler opnået ved hjælp af Riemann zeta-funktionen [4] [5] [6] : $\zeta (2)$

{\begin{aligned}\zeta (2)&=-\int _{0}^{1}{\frac {\log x}{1-x}}\,dx\\[6pt]& =\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx\\[6pt]&=\int _{0}^{1}{\ frac {(\log x)^{2}}{(1+x)^{2}}}\,dx\\[6pt]&=2+2\int _{1}^{\infty }{\ frac {\lfloor x\rfloor -x}{x^{3}}}\,dx\\[6pt]&=\exp \left(2\int _{2}^{\infty }{\frac {\ pi (x)}{x(x^{2}-1)}}\,dx\right)\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1 }{\frac {dx\,dy}{1-xy}}\\[6pt]&={\frac {4}{3}}\int _{0}^{1}\int _{0}^ {1}{\frac {dx\,dy}{1-(xy)^{2}}}\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1 }{\frac {1-x}{1-xy}}\,dx\,dy+{\frac {2}{3}}.\end{aligned}}

Fortsat brøker

Nogle af de fortsatte brøkrepræsentationer blev opnået i forbindelse med lignende repræsentationer for Apérys konstant, hvilket gjorde det muligt at bevise dens irrationalitet. $\zeta (2)$ $\zeta (3)$

\zeta (2)={\cfrac {2}{1+{\cfrac {1^{4}}{3+{\cfrac {2^{4}}{5+{\cfrac {3^ {4}}{7+{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{4}}{(2n-1)+\dots }})))))))))))) ))))

[7]

\zeta (2)=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{2}}{1+{\cfrac {1\cdot 2}{1+{\cfrac {2 ^{2}}{1+{\cfrac {2\cdot 3}{1+{\cfrac {3^{2}}{1+{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^ {2}}{1+{\cfrac {n\cdot (n+1)}{1+\dots }}}}}}}}}}}}}}}}

[7]

\zeta (2)={\cfrac {5}{3+{\cfrac {1^{4}}{25+{\cfrac {2^{4}}{69+{\cfrac {3^ {4}}{135+{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{4}}{(11n^{2}-11n+3)+\dots }}}}}}} }}}}}

[otte]

\zeta (2)={\frac {5}{3}}+{\cfrac {1}{25+{\cfrac {1^{4}}{69+{\cfrac {2^{4 }}{135+{\cfrac {3^{4}}{223+{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{4}}{(11n^{2}+11n+3 )+\dots }}}}}}}}}}}}

[9]

ζ(3)

En af de korteste repræsentationer er , vi får det , hvor er polygammafunktionen . $\zeta (3)=-{\frac {\psi ^{(2)}(1)}{2))$ $\zeta (3)\ca. 1,2020569031595942853997381615114499907649862923404988817922715553...$ $\psi$

Fortsat brøker

Den fortsatte fraktion for Apérys konstant (sekvens A013631 i OEIS ) er som følger:

\zeta (3)=[1;4,1,18,1,1,1,4,1,9,9,2,1,1,1,2,7,1,1,7, 11,1,1,1,\cdots ]=

=1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{18+{\cfrac {1}{1+\ldots ))))))) }}\;

Den første generaliserede fortsatte fraktion for Apéry-konstanten, som har en regelmæssighed, blev opdaget uafhængigt af Stieltjes og Ramanujan :

\zeta (3)=1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1^{3}}{1+{\cfrac {1^{3}}{12+{\cfrac { 2^{3}}{1+{\cfrac {2^{3}}{20+{\cfrac {3^{3}}{1+{\cfrac {3^{3}}{28+{\ cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{3}}{1+{\cfrac {n^{3}}{4(2n+1)+\dots }}}}}}} }}}}}}}}}}}}

Det kan konverteres til:

\zeta (3)=1+{\cfrac {1}{5-{\cfrac {1^{6}}{21-{\cfrac {2^{6}}{55-{\cfrac { 3^{6}}{119-{\cfrac {4^{6}}{225-{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{6}}{(2n^{3} +3n^{2}+11n+5)+\dots }}}}}}}}}}}}}}}

Aperi var i stand til at fremskynde konvergensen af den fortsatte fraktion for en konstant:

\zeta (3)={\frac {6}{5}}-{\cfrac {1^{6}}{117-{\cfrac {2^{6}}{535-{\cfrac { 3^{6}}{1436-{\cfrac {4^{6}}{3105-{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{6}}{(34n^{3} +51n^{2}+27n+5)+\dots }}}}}}}}}}}}}

[10] [9]

ζ(4)

Fra formlen , hvor er Bernoulli-tallet , får vi det . $2\zeta (2m)=(-1)^{m+1}{\frac {(2\pi )^{2m}}{(2m)!}}B_{2m}$ $\displaystyle B_{{2m}}$ $\zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{90}}$

ζ(5)

En af de korteste repræsentationer er , vi får det , hvor er polygammafunktionen . $\zeta (5)=-{\frac {\psi ^{(4)}(1)}{24))$ $\zeta (5)\ca. 1,0369277551433699263313654864570341680570809195019128119741926779...$ $\psi$

Generaliseringer

Der er et ret stort antal specielle funktioner forbundet med Riemann zeta-funktionen, som er forenet med det fælles navn for zeta-funktionen og er dens generaliseringer. For eksempel:

Hurwitz zeta funktion : $\zeta (s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }(k+q)^{-s},$

som falder sammen med Riemann zeta-funktionen for q = 1 (fordi summeringen starter fra 0, ikke fra 1).

Polylogaritme : $\mathrm {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{s}},$

hvilket er det samme som Riemann zeta-funktionen ved z = 1.

Lerch zeta funktion : $\Phi (z,s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}},$

som falder sammen med Riemann zeta-funktionen ved z = 1 og q = 1 (da summeringen er fra 0, ikke fra 1).

Kvanteanalog ( q -analog).

Lignende konstruktioner

I teorien om Gaussiske vejintegraler opstår problemet med regularisering af determinanter . En af tilgangene til dens løsning er indførelsen af zeta-funktionen af operatoren [11] . Lad være en ikke-negativt defineret selvadjoint operatør , som har et rent diskret spektrum . Desuden eksisterer der et reelt tal , således at operatøren har et spor . Derefter defineres zeta-funktionen af operatoren for et vilkårligt komplekst tal, der ligger i halvplanet og kan gives af en konvergent række $EN$ $\mathrm {spec} A=\mathrm {diag} \{\lambda _{1},\lambda _{2},\dots \}$ $\alfa >0$ $(I+A)^{-\alpha }$ $\zeta _{A}(r)$ $EN$ $s$ $\mathrm {Re} s>\alpha$

\zeta _{A}(s)=\sum _{\lambda _{n}\neq 0}{\frac {1}{\lambda _{n}^{s))}

Hvis funktionen defineret på denne måde tillader en analytisk fortsættelse til et domæne, der indeholder et område af punktet , så er det på grundlag heraf muligt at bestemme den regulariserede determinant af operatoren i overensstemmelse med formlen $s=0$ $EN$

\det \,'A=e^{-{\frac {d\zeta _{A}}{ds}}(0)}.

Historie

Som en funktion af en reel variabel blev zeta-funktionen introduceret i 1737 af Euler , som angav dens nedbrydning til et produkt. Derefter blev denne funktion overvejet af Dirichlet og, især med succes, af Chebyshev , da han studerede loven om fordeling af primtal. De mest dybtgående egenskaber ved zeta-funktionen blev imidlertid opdaget senere, efter Riemanns arbejde (1859), hvor zeta-funktionen blev betragtet som en funktion af en kompleks variabel.

Se også

Liste over alle zeta-funktioner

Noter

↑ Zudilin V. V. Om irrationaliteten af værdierne af zeta-funktionen ved ulige punkter // Uspekhi Mat . - 2001. - T. 56 , nr. 2 (338) . — S. 215–216 .
↑ Blagushin Ya. V. Historien om den funktionelle ligning af zeta-funktionen og forskellige matematikeres rolle i dens bevis // Seminarer om matematikkens historie i St. V. A. Steklov RAS. – 2018.
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Riemann Zeta-funktion \zeta(2) . Mathworld . Hentet 29. april 2018. Arkiveret fra originalen 29. april 2018. (ubestemt)
↑ Connon DF, nogle serier og integraler inklusive Riemann Zeta-funktionen, binomiale koefficienter og harmoniske tal (del I), arΧiv : 0710.4022 .
↑ Weisstein, Eric W. Dobbeltintegral . Mathworld . Hentet 29. april 2018. Arkiveret fra originalen 29. april 2018. (ubestemt)
↑ Weisstein, Eric W. Hadjicostas' formel . Mathworld . Hentet 29. april 2018. Arkiveret fra originalen 29. april 2018. (ubestemt)
↑ 12 Steven R. Finch Matematiske konstanter 1.4.4 . Hentet 10. august 2020. Arkiveret fra originalen 28. november 2020. (ubestemt)
↑ Fortsatte brøker for Zeta(2) og Zeta(3) . tpiezas: EN SAMLING AF ALGEBRAISKE IDENTITETER . Hentet 29. april 2018. Arkiveret fra originalen 29. april 2018. (ubestemt)
↑ 1 2 van der Poorten, Alfred (1979), Et bevis på at Euler gik glip af ... Apérys bevis på irrationaliteten af ζ (3) , The Mathematical Intelligencer bind 1 (4): 195–203, doi : 10.1007/BF043028 , < https://web.archive.org/web/20110706114957/http://www.maths.mq.edu.au/~alf/45.pdf >
↑ Steven R. Finch Matematiske konstanter 1.6.6 . Hentet 10. august 2020. Arkiveret fra originalen 28. november 2020. (ubestemt)
↑ Takhtajyan, 2011 , s. 348.

Litteratur

Derbyshire J. En simpel besættelse. Bernhard Riemann og det største uløste problem i matematik. — M.: Astrel, 2010. — 464 s. — ISBN 978-5-271-25422-2 . .
Takhtadzhyan L. A. Kvantemekanik for matematikere / Oversat fra engelsk af Ph.D. S. A. Slavnov . - Ed. 2. - M. -Izhevsk: Forskningscenter "Regular and Chaotic Dynamics", Izhevsk Institute of Computer Research, 2011. - 496 s. - ISBN 978-5-93972-900-0 .
Yanke E., Emde F., Losh F. Særlige funktioner: formler, grafer, tabeller / Pr. fra 6. reviderede tyske udgave, red. L. I. Sedova. - Ed. 3., stereotype. — M .: Nauka, 1977. — 344 s.