Hurwitz zeta funktion

I matematik er Hurwitz zeta-funktionen , opkaldt efter Adolf Hurwitz , en af de mange zeta-funktioner , der er generaliseringer af Riemann-zeta-funktionen . Formelt kan det defineres som en potensrække for komplekse argumenter s , for Re( s ) > 1, og q , Re( q ) > 0:

\zeta (s,q)=\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {1}{(q+n)^{{s}}}}.

Denne serie er absolut konvergent for givne værdier af s og q . Riemann zeta-funktionen er et specialtilfælde af Hurwitz zeta-funktionen for q = 1.

Analytisk fortsættelse

Hurwitz zeta-funktionen tillader en analytisk fortsættelse til en meromorf funktion , defineret for alle komplekse s , for s ≠ 1. I punktet s = 1 har den en simpel pol med en rest på 1. Det konstante led i Laurent-seriens ekspansion i nærheden af punktet s = 1 er:

\lim _{{s\to 1}}\venstre[\zeta (s,q)-{\frac {1}{s-1}}\right]={\frac {-\Gamma '(q)} {\Gamma (q)}}=-\psi (q)

hvor Γ( x ) er gammafunktionen og ψ( x ) er digammafunktionen .

Rækkerepræsentationer

En konvergent potensrækkerepræsentation for q > −1 og et vilkårligt kompleks s ≠ 1 blev opnået i 1930 af Helmut Hasse [1]

\zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _ {{k=0}}^{n}(-1)^{k}{n \vælg k}(q+k)^{{1-s}}.

Denne serie konvergerer ensartet på enhver kompakt delmængde af det komplekse s -plan til en hel funktion . Den indre sum kan repræsenteres som den n'te endelige forskel for , dvs .: $q^{{1-s}}$

\Delta ^{n}q^{{1-s}}=\sum _{{k=0}}^{n}(-1)^{{nk}}{n \choose k}(q+k )^{{1-s}}

hvor Δ er den endelige differensoperator . På denne måde

\zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n +1}}\Delta ^{n}q^{{1-s}}

={\frac {1}{s-1}}{\log(1+\Delta ) \over \Delta }q^{{1-s}}.

Integrale repræsentationer

Hurwitz zeta-funktionen har en integreret repræsentation i form af Mellin-transformationen :

\zeta (s,q)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{{s-1}}e^{{ -qt}}}{1-e^{{-t}}}}dt

for Re( s )>1 og Re( q ) >0.

Hurwitz formel

\zeta (1-s,x)={\frac {1}{2s}}\venstre[e^{{-i\pi s/2}}\beta (x;s)+e^{{i\ pi s/2}}\beta (1-x;s)\right]

hvor

\beta (x;s)=2\Gamma (s+1)\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi inx)}{(2\pi n )^{s}}}={\frac {2\Gamma (s+1)}{(2\pi )^{s}}}{\mbox{Li}}_{s}(e^{{2 \pi ix}})

Denne repræsentation af Hurwitz zeta-funktionen er gyldig for 0 ≤ x ≤ 1 og s >1. Her er polylogaritmen . ${\text{Li}}_{s}(z)$

Funktionel ligning

Denne funktionelle ligning relaterer værdierne af Hurwitz zeta-funktionen til venstre og højre for den rette linje Re( s )=1/2 i det komplekse s -plan. For naturlig m og n, således at m ≤ n:

\zeta \left(1-s,{\frac {m}{n}}\right)={\frac {2\Gamma (s)}{(2\pi n)^{s}}}\sum _ {{k=1}}^{n}\left[cos\left({\frac {\pi s}{2}}-{\frac {2\pi km}{n}}\right)\;\ zeta \left(s,{\frac {k}{n}}\right)\right]

sandt for alle værdier af s .

Taylor-serien

Den afledte af Hurwitz zeta-funktionen med hensyn til det andet argument er også udtrykt i form af Hurwitz zeta-funktionen:

{\frac {\partial }{\partial q}}\zeta (s,q)=-s\zeta (s+1,q).

Så Taylor-serien er:

\zeta (s,x+y)=\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!)}}{\frac {\partial ^{k } }{\partial x^{k))}\zeta (s,x)=\sum _{{k=0))^{\infty }{s+k-1 \vælg s-1}(-y ) ^{k}\zeta (s+k,x).

Laurent-serien

Laurent- udvidelsen Hurwitz zeta-funktionen kan bruges til at bestemme -konstanterne som vises i udvidelsen:

\zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{ n!}}\gamma _{n}(q)\;(s-1)^{n}.

Fourier transformation

Den diskrete Fourier-transformation med hensyn til variablen s af Hurwitz zeta-funktionen er Legendre chi-funktionen [2]

Forbindelse med Bernoulli polynomier

Funktionen defineret ovenfor generaliserer Bernoulli polynomier : $\beta (x;n)$

B_{n}(x)=-Re\venstre[(-i)^{n}\beta (x;n)\højre]

På den anden side,

\zeta (-n,x)=-{B_{{n+1}}(x) \over n+1}.

Især når : $n=0$

\zeta (0,x)={\frac {1}{2}}-x.

Forholdet til Jacobi theta-funktionen

Hvis er Jacobi theta-funktionen , så $\vartheta (z,\tau )$

\int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (z,it)-1\right]t^{{s/2}}{\frac {dt}{t}}=\pi ^{ {-(1-s)/2}}\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\venstre[\zeta (1-s,z)+\zeta (1-s) ,1-z)\højre]

Denne formel er sand for Re( s ) > 0 og enhver kompleks z , der ikke er et heltal. For et heltal z = n er formlen forenklet:

\int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (n,it)-1\right]t^{{s/2}}{\frac {dt}{t}}=2\ \pi ^{{-(1-s)/2}}\ \Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)=2\ \pi ^{{- s/2}}\ \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)

hvor ζ( s ) er Riemann zeta-funktionen. Det sidste udtryk er den funktionelle ligning for Riemann zeta-funktionen.

Forbindelse med Dirichlet L -funktionen

For rationelle værdier af argumentet kan Hurwitz zeta-funktionen repræsenteres som en lineær kombination af Dirichlet L-funktioner og omvendt. Hvis q = n / k for k > 2, ( n , k ) > 1 og 0 < n < k , så

\zeta (s,n/k)=\sum _{\chi }\overline {\chi}(n)L(s,\chi),

summeringen udføres over alle Dirichlet-tegn modulo k . Og tilbage

L(s,\chi )={\frac {1}{k^{s}}}\sum _{{n=1}}^{k}\chi (n)\;\zeta \left(s, {\frac {n}{k}}\right).

især er følgende fremstilling sand:

k^{s}\zeta (s)=\sum _{{n=1}}^{k}\zeta \venstre(s,{\frac {n}{k}}\right),

generalisere

\sum _{{p=0}}^{{q-1}}\zeta (s,a+p/q)=q^{s}\,\zeta (s,qa).

(Sandt for naturlig q og ikke-naturlig 1 − qa .)

Rationelle værdier af argumenter

Hurwitz zeta-funktionen forekommer i forskellige interessante forhold for rationelle værdier af argumenterne. [2] Især for Euler-polynomier : $E_{n}(x)$

E_{{2n-1}}\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{n}{\frac {4(2n-1)!}{(2\pi q)^{{2n))))\sum _{{k=1}}^{q}\zeta \left(2n,{\frac {2k-1}{2q}}\right)\cos {\ frac {(2k-1)\pi p}{q}}

E_{{2n}}\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{n}{\frac {4(2n)!}{(2\pi q)^{ {2n+1}}}}\sum _{{k=1}}^{q}\zeta \left(2n+1,{\frac {2k-1}{2q}}\right)\sin {\ frac {(2k-1)\pi p}{q}}

Udover

\zeta \left(s,{\frac {2p-1}{2q}}\right)=2(2q)^{{s-1}}\sum _{{k=1}}^{q}\ venstre[C_{s}\left({\frac {k}{q}}\right)\cos \left({\frac {(2p-1)\pi k}{q}}\right)+S_{ s}\left({\frac {k}{q}}\right)\sin \left({\frac {(2p-1)\pi k}{q}}\right)\right]

rette til . Her og er udtrykt i form af Legendre chi-funktionen som $1\leq p\leq q$ $C_{\nu}(x)$ $S_{\nu}(x)$ $\chi _{\nu }$

C_{\nu}(x)=\operatørnavn {Re}\,\chi _{\nu}(e^{{ix)))

S_{\nu}(x)=\operatørnavn {Im}\,\chi _{\nu}(e^{{ix}}).

Ansøgninger

Hurwitz zeta-funktionen optræder i forskellige grene af matematikken. Det findes oftest i talteori , hvor dets teori er mest udviklet. Hurwitz zeta-funktionen findes også i teorien om fraktaler og dynamiske systemer . Hurwitz zeta-funktionen bruges i matematisk statistik , opstår i Zipfs lov . I elementærpartikelfysik forekommer det i Schwinger- formlen [3] , som giver et nøjagtigt resultat for parproduktionsindekset i Dirac-ligningen for et stationært elektromagnetisk felt .

Særlige tilfælde og generaliseringer

Hurwitz zeta-funktionen er relateret til polygamma-funktionen :

\psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}m!\zeta (m+1,z).

Lerch zeta-funktionen generaliserer Hurwitz zeta-funktionen:

\Phi (z,s,q)=\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}}

det er

\zeta (s,q)=\Phi (1,s,q).

Noter

↑ Helmut Hasse. Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ-Reihe (tysk) // Mathematische Zeitschrift. - 1930. - Bd. 32 , nr. 1 . - doi : 10.1007/BF01194645 .
↑ 1 2 Djurdje Cvijovic, Jacek Klinowski. Værdier af Legendre chi og Hurwitz zeta fungerer ved rationelle argumenter // Math . Komp.. - 1999. - Nr. 68 . — S. 1623-1630 .
↑ J. Schwinger. Om måleinvarians og vakuumpolarisering // Fysisk gennemgang. - 1951. - T. 82 , nr. 5 . — S. 664–679 . - doi : 10.1103/PhysRev.82.664 .

Litteratur

Milton Abramowitz og Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions , (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4 .
Victor S. Adamchik, Derivatives of the Hurwitz Zeta Function for Rational Arguments , Journal of Computational and Applied Mathematics, 100 (1998), pp. 201-206.
Linas Vepstas, Bernoulli-operatøren, Gauss-Kuzmin-Wirsing-operatøren og Riemann Zeta
Istvan Mezo og Ayhan Dil, Hyperharmonisk serie, der involverer Hurwitz zeta-funktion (link ikke tilgængelig) , Journal of Number Theory, (2010) 130 , 2, 360-369.