Aritmetisk funktion

En aritmetisk funktion er en funktion defineret på mængden af naturlige tal og tager værdier fra mængden af komplekse tal . $\mathbb {N}$ $\mathbb {C}$

Definition

Som det følger af definitionen, er en aritmetisk funktion enhver funktion

f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {C}

Navnet aritmetisk funktion skyldes, at der i talteorien er mange funktioner i et naturligt argument , der udtrykker visse aritmetiske egenskaber . Derfor, uformelt set, forstås en aritmetisk funktion som en funktion , der "udtrykker en eller anden aritmetisk egenskab" af et naturligt tal (se eksempler på aritmetiske funktioner nedenfor ). $f(n)$ $n$ $f(n)$ $n$

Mange aritmetiske funktioner, der tages i betragtning i talteorien, er faktisk heltalsbedømte.

Operationer og relaterede koncepter

Summen af en aritmetisk funktion er en funktion defineret som $f$ $F:[0,+\infty )\to \mathbb {C}$

F(x)=\sum _{n\leq x}f(n).

Denne operation er den "diskrete analog" af det ubestemte integral; i dette tilfælde, selvom den oprindelige funktion kun blev defineret på , viser det sig at være praktisk at betragte dens sum som defineret på hele den positive halvakse (og den er selvfølgelig stykkevis konstant). $\mathbb {N}$

Dirichlet-konvolutionen af to aritmetiske funktioner f og g er den aritmetiske funktion h defineret af reglen

h(n)=\sum _{d|n}f(d)g(n/d).

En aritmetisk funktion f kan forbindes med dens "genererende funktion" - Dirichlet-serien

\Phi _{f}(s)=\sum _{n}f(n)n^{-s}.

I dette tilfælde svarer Dirichlet-foldningen af to aritmetiske funktioner til produktet af deres genererende funktioner.

Punktvis multiplikation med logaritme,

f\mapsto f',\quad f'(n)=f(n)\cdot \ln n,

er en afledning af algebraen af aritmetiske funktioner: med hensyn til foldning opfylder den Leibniz-reglen,

(f*g)'=f'*g+f*g'.

Overgang til genereringsfunktionen gør denne operation til almindelig differentiering.

Bemærkelsesværdige aritmetiske funktioner

Antal divisorer

En aritmetisk funktion er defineret som antallet af positive divisorer af et naturligt tal : $\tau \colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}$ $n$

\tau (n)=\sum _{d|n}1

Hvis og er coprime , så kan hver divisor af et produkt være unikt repræsenteret som et produkt af divisorer og divisorer af , og omvendt er hvert sådant produkt en divisor af . Det følger heraf, at funktionen er multiplikativ : $m$ $n$ $mn$ $m$ $n$ $mn$ $\tau$

\tau (mn)=\tau (m)\tau (n)

Hvis er den kanoniske nedbrydning af det naturlige , så på grund af multiplikativiteten $n=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{s_{i))$ $n$

\tau (n)=\tau (p_{1}^{s_{1)))\tau (p_{2}^{s_{2)))\ldots \tau (p_{r}^{ s_{r)))

Da de positive divisorer af et tal er tal , så $p_{i}^{s_{i))$ $s_{i}+1$ $1,p_{i},\ldots ,p_{i}^{s_{i))$

\tau (n)=(s_{1}+1)(s_{2}+1)\ldots (s_{r}+1)

Antallet af divisorer af et stort heltal n vokser i gennemsnit som [1] . Se mere præcist Dirichlet-formlen . $\ln n$

Summen af divisorerne

Funktionen er defineret som summen af divisorer af et naturligt tal : $\sigma \colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}$ $n$

\sigma (n)=\sum _{d|n}d

Ved at generalisere funktionerne og for et vilkårligt, generelt set kompleks , kan man bestemme summen af de -te potenser af positive divisorer af et naturligt tal : $\tau (n)$ $\sigma(n)$ $k$ $\sigma _{k}(n)$ $k$ $n$

{\displaystyle \sigma _{k}(n)=\sum _{d|n}d^{k))

Ved at bruge Iverson-notation kan man skrive

\sigma _{k}(n)=\sum _{d}d^{k}[\,d|n\,]

Funktionen er multiplikativ: ${\displaystyle \sigma _{k))$

m\perp n\Rightarrow ~\sigma _{k}(mn)=\sigma _{k}(m)\sigma _{k}(n)

Hvis er den kanoniske nedbrydning af det naturlige , så $n=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{s_{i))$ $n$

\sigma _{k}(n)=\prod _{i=1}^{r}{\frac {p_{i}^{(s_{i}+1)k}-1}{p_ {i}^{k}-1}}

Summen af divisorerne for n vokser i gennemsnit som en lineær funktion af cn, hvor konstanten c fundet af Euler er [1] . $c=\zeta (2)=\pi ^{2}/6$

Euler funktion

Euler-funktionen , eller totient , er defineret som antallet af positive heltal, der ikke overstiger , coprime til . $\varphi (n)$ $n$ $n$

Ved at bruge Iverson-notation kan man skrive:

\varphi (n)=\sum _{1\leq k\leq n}[k\perp n]

Euler-funktionen er multiplikativ:

m\perp n\Rightarrow ~\varphi (mn)=\varphi (m)\varphi (n)

I eksplicit form er værdien af Euler-funktionen udtrykt med formlen:

\varphi (n)=n\left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)\left(1-{\frac {1}{p_{2}}}\ højre)\dots \left(1-{\frac {1}{p_{r))}\right)

hvor er forskellige primdelere . ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{r))$ $n$

Möbius funktion

Möbius-funktionen kan defineres som en aritmetisk funktion, der opfylder følgende relation: $\mu(n)$

\sum _{d|n}\mu (d)={\begin{cases}1,&n=1\\0,&n>1\end{cases))

Det vil sige, at summen af værdierne af Möbius-funktionen over alle divisorer af et positivt heltal er lig med nul hvis , og er lig hvis . $n$ $n>1$ $en$ $n=1$

Det kan vises, at kun én funktion opfylder denne ligning, og den kan udtrykkeligt gives ved følgende formel:

\mu (n)={\begin{cases}(-1)^{r},&n=p_{1}p_{2}\ldots p_{r}\\0,&p^{2}| n\\1,&n=1\end{cases}}

Her er forskellige primtal, og er et primtal. Med andre ord er Möbius-funktionen lig, hvis ikke kvadratfri (det vil sige delelig med kvadratet af et primtal), og ellers lig (plus eller minus vælges afhængigt af pariteten af antallet af primtalsdelere ). $p_{i}$ $s$ $\mu(n)$ $0$ $n$ $\pm 1$ $n$

Möbius-funktionen er en multiplikativ funktion . Betydningen af Möbius-funktionen i talteorien skyldes Möbius-inversionsformlen .

Noter

↑ 1 2 V. og Arnold. Dynamik, statistik og projektiv geometri af Galois-felter. - M. : MTSNMO, 2005. - S. 70. - 72 s.

Se også

Multiplikativ funktion

Litteratur

Vinogradov I.M. Grundlæggende om talteori . - M. - L. : GITTL, 1952. - 180 s.
Nesterenko Yu. V. Talteori : en lærebog for studerende. højere lærebog virksomheder. - M . : Publishing Center "Academy", 2008. - 272 s. - ISBN 978-5-7695-4646-4 .
Chandrasekharan K. Introduktion til analytisk talteori = Introduktion til analytisk talteori. - M . : "Mir", 1974. - 188 s.