Gamma funktion

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 23. maj 2021; checks kræver 9 redigeringer .

Gammafunktionen er en matematisk funktion . Den blev introduceret af Leonhard Euler , og gammafunktionen skylder sin betegnelse Legendre [1] .

Gammafunktionen er ekstremt udbredt i videnskaben. Blandt dets vigtigste anvendelsesområder er matematisk analyse , sandsynlighedsteori , kombinatorik , statistik , atomfysik , astrofysik , hydrodynamik , seismologi og økonomi . Især bruges gammafunktionen til at generalisere begrebet faktorial til sæt af reelle og komplekse argumentværdier.

Definitioner

Integral definition

Hvis den reelle del af det komplekse tal er positiv, er gammafunktionen defineret gennem det absolut konvergerende integral $z$

\Gamma (z)=\int \limits _{0}^{+\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt,\quad z\in \mathbb {C} ,\quad \mathrm {Re} (z)>0

Denne definition blev afledt af Legendre fra Eulers oprindelige definition (1730)

\Gamma (z)=\int \limits _{0}^{1}(-\ln {x})^{{z-1}}\,dx

gennem en ændring af variabel , og i dag er det Legendres definition, der er kendt som den klassiske definition af gammafunktionen. Ved at integrere den klassiske definition i dele er det let at se, at . ${\displaystyle x=e^{-t))$ $\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$

For en omtrentlig beregning af værdierne af gammafunktionen er den tredje formel mere bekvem, også opnået fra Eulers definition ved at anvende lighed og ændre variablen : $\Gamma (z)=\Gamma (z+1)/z$ $x=y^{2}$

\Gamma (z)={\frac {2^{z+1}}{z}}\int \limits _{0}^{1}y(-\ln {y})^{z} \,D y

Integralet i denne formel konvergerer ved , selvom det normalt bruges til positive reelle værdier af argumentet (værdier omkring 1 foretrækkes). I tilfælde af et reelt argument har integranden et enkelt ental punkt - en diskontinuerlig diskontinuitet ved , og hvis den forlænges på dette tidspunkt med værdien , bliver den kontinuerlig over hele intervallet . Således er integralet egenværdi, hvilket forenkler numerisk integration . $\mathrm {Re} (z)>-1$ $z>0$ $y=0$ $0$ $[0; en]$

Der er en direkte analytisk fortsættelse af den oprindelige formel til hele det komplekse plan , undtagen heltal, kaldet Riemann- Hankel integralet:

\Gamma (z)={\frac {1}{e^{i2\pi z}-1}}\int \limits _{L}\!t^{\,z-1}e^{ -t}\,dt,\quad z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} .

Her er en kontur enhver kontur på det komplekse plan, der går rundt om et punkt mod uret, hvis ender går til det uendelige langs den positive reelle akse. $L$ $t = 0$

Følgende udtryk tjener som alternative definitioner for gammafunktionen.

Gauss definition

Det gælder for alle komplekse tal undtagen 0 og negative heltal. $z$

\Gamma (z)=\lim \limits _{{n\to \infty }}{\frac {(n-1)!\,n^{z}}{z(z+1)(z+2) \cdots (z+n-1)}},\quad z\in {\mathbb {C}}\setminus \{0,-1,-2,\ldots \}.

Eulers definition

\Gamma (z)={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{n} }\right)^{\mathrm {z} }}{1+{\frac {\mathrm {z} }{n)))),\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{0,- 1,-2,\ldots\}.

Definition ifølge Weierstrass

\Gamma(z)=\frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{- 1} e^{z/n},\quad z\in\mathbb{C}\setminus\{0,-1,-2,\ldots\}.

hvor er Euler-Mascheroni-konstanten [1] . $\gamma=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln{n}\right)\ca. 0,57722$

Bemærk: nogle gange bruges et alternativ, den såkaldte pi-funktion , som er en generalisering af fakulteten og er relateret til gammafunktionen ved relationen . Det var denne funktion (og ikke -funktionen), som Gauss, Riemann og mange andre tyske matematikere fra det 19. århundrede brugte. $\Pi (z)=\Gamma (z+1)$ $\Gamma$

Egenskaber

For enhver positiv n gælder følgende:

\Gamma (n+1)=n!

Gammafunktionens hovedegenskab er dens rekursive ligning

\Gamma (z+1)=z\Gamma (z),

som under en fast startbetingelse entydigt definerer en logaritmisk konveks løsning, det vil sige selve gammafunktionen ( entydighedssætning ) [2] .

For gammafunktionen er Euler-komplementformlen gyldig:

\Gamma(1-z)\Gamma(z)={\pi\over\sin\pi z}

Gauss multiplikationsformlen er også gyldig:

\Gamma (z)\Gamma \left(z+{\frac {1}{n}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {n-1}{n}}\right)=n^ {{{\frac {1}{2}}-nz}}\cdot (2\pi )^{{{\frac {n-1}{2}}}}\Gamma (nz),

Et særligt tilfælde af denne formel for n=2 blev opnået af Legendre:

\Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\ Gamma(2z).

Gammafunktionen har ingen nuller i hele det komplekse plan. er meromorf på det komplekse plan og har simple poler ved punkter [1] $\Gamma(z)$ $z=0,\;-1,\;-2,\;-3,\;\ldots$

Gamma-funktionen har en første-ordens pol i for enhver naturlig og nul; fradraget på dette tidspunkt gives som følger: $z=-n$ $n$

\operatørnavn{\mathrm{Res}}_{z=-n}\,\Gamma(z)=\frac{(-1)^n}{n!}

En nyttig egenskab, der kan opnås fra grænsedefinitionen:

\overline{\Gamma(z)} = \Gamma(\overline{z})

Gammafunktionen kan differentieres et uendeligt antal gange, og , hvor , omtales ofte som "psy-funktionen" eller digamma-funktionen . Gammafunktionen og betafunktionen er relateret til følgende forhold: $\Gamma^\prime(x)=\psi(x)\Gamma(x)$ $\psi(x)$

\Beta(x,\;y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}

Logaritme af gammafunktionen

Af en række årsager, sammen med gamma-funktionen, betragtes logaritmen af gamma-funktionen ofte - antiderivatet af digamma-funktionen . Det har følgende integrerede repræsentationer:

\ln \Gamma (z)\,=\,\left(z-{{\frac {1}{\,2\,}}}\right)\!\ln z-z+{{\frac {1} {\,2\,}}}\ln 2\pi +\!\int \limits _{0}^{{\,\infty }}\!\venstre[{\frac {1}{e^{x }-1}}-{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{2}}\right]{\frac {e^{{-xz}}}{x}}\,dx \,,\qquad \operatørnavn {Re}{z}>0

\ln \Gamma (z)\,=\,\left(z-{{\frac {1}{\,2\,}}}\right)\!\ln z-z+{{\frac {1} {\,2\,}}}\ln 2\pi +2\!\int \limits _{0}^{{\,\infty }}\!{\frac {\,\operatørnavn {arctg}(x /z)\,}{e^{{2\pi x}}-1}}\,dx\,,\qquad \operatørnavn {Re}{z}>0

givet af Jacques Binet i 1839 (disse formler kaldes ofte henholdsvis den første og anden Binet-formel for logaritmen af gammafunktionen) [3] . Noget forskellige integralformler for logaritmen af gammafunktionen dukkede også op i Malmstens , Lerchs og flere andres arbejde. Således opnåede Malmsten en formel svarende til Binets første formel [3]

\ln \Gamma (z)\,=\int \limits _{0}^{{\,\infty }}\!\venstre[z-1-{\frac {1-e^{{-(z- 1)x}}}{1-e^{{-x}}}}\right]{\frac {e^{{-x}}}{x}}\,dx\,,\qquad \operatørnavn { Re}{z}>0

og Lerkh viser, at alle integraler af formen

\int \limits _{0}^{{\,\infty }}\!{\frac {\,e^{{2\pi x}}\!\cos \varphi -1\,}{e^{ {4\pi x}}-2e^{{2\pi x}}\!\cos \varphi +1}}\operatørnavn {arctg}{\frac {u}{x}}\;dx\,,\ qquad 0<u\leqslant 1\,,\quad 0<\varphi <2\pi u

også reducere til logaritmerne af gammafunktionen. Især en formel, der ligner Binets anden formel med en "konjugeret" nævner, har følgende form:

\ln \Gamma (z)=-{\biggl (}z-{{\frac {1}{2}}}{\biggr )}\cdot \left\{1-\ln {\biggl (}z- {{\frac {1}{2}}}{\biggr )}\!\right\}+{{\frac {1}{2}}}\ln 2\pi -\,2\!\int \ grænser _{0}^{{\infty }}\!{\frac {\operatørnavn {arctg}{\big [}x/{\big (}z-{\tfrac {1}{2)){\big )}{\big ]}}{e^{{2\pi x}}+1}}\,dx,\qquad \operatørnavn {Re}{z}>{\frac {1}{2}}

(se øvelse 40 i [4] )

Derudover opnåede Malmsten også en række integralformler for logaritmen af gammafunktionen indeholdende hyperbolske funktioner med logaritmen i integranden (eller tilsvarende logaritmen af logaritmen med polynomier). I særdeleshed,

\ln \Gamma (z)=\,{\frac {1}{2}}\ln \pi \,-\,{\frac {1}{2}}\ln \sin \pi z\,-\ ,{\frac {2z-1}{2}}\ln 2\pi \,-\,{\frac {\sin 2\pi z}{2\pi }}\!\int \limits _{0} ^{\infty }\!\!{\frac {\,\ln {x}\,}{\,\operatørnavn {ch}{x}-\cos 2\pi z\,}}\,dx\, ,\qquad 0<\operatørnavn {Re}z<1

(se øvelse 2, 29-t, 30 tommer [4] )

Yaroslav Blagushin viste, at for et rationelt argument , hvor og er positive heltal, som ikke overstiger , gælder følgende repræsentation: $z=k/n$ $k$ $n$ $k$ $n$

\ln \Gamma {\biggl (}\!{\frac {k}{n}}\!{\biggr )}={\frac {(n-2k)\ln 2\pi }{2n}}+{ \frac {1}{2}}\venstre\{\ln \pi -\ln \sin {\frac {\pi k}{n}}\right\}+

+{\frac {1}{\pi }}\!\sum _{{r=1}}^{{n-1}}{\frac {\gamma +\ln {r}}{r}}\ cdot \sin {\frac {2\pi rk}{n}}-{\frac {1}{2\pi }}\sin {\frac {2\pi k}{n}}\cdot \!\int \limits _{0}^{\infty }\!\!{\frac {\,e^{{-nx}}\!\cdot \ln {x}\,}{\,\operatørnavn {ch}{ x}-\cos {\dfrac {2\pi k}{n}}\,}}\,dx\,,\qquad k\neq {\frac {n}{2}}

(se bilag C [5] og også øvelse 60 og 58 [4] )

Desuden, og i mere generelle tilfælde, reducerer integraler, der indeholder hyperbolske funktioner med en logaritme (eller arctangens) i integranden, ofte til logaritmerne af gammafunktionen og dens afledte , inklusive det komplekse argument, se f.eks. eks. 4-b, 7-a og 13-b i [4] .

Logaritmen af gammafunktionen er også tæt forbundet med den analytiske fortsættelse af den generaliserede zetafunktion

\ln \Gamma (z)=\zeta '(0,z)-\zeta '(0)=\zeta '(0,z)+{\frac {1}{2}}\ln 2\pi

Dette vigtigste forhold, afledt af Lerkh , giver dig mulighed for at få et stort antal integralrepræsentationer for logaritmen af gammafunktionen gennem de kendte formler for den generaliserede zetafunktion .

Fourierrækken for logaritmen af gammafunktionen har følgende form

\ln \Gamma (x)=\venstre({\frac {1}{2}}-x\right)(\gamma +\ln 2)+(1-x)\ln \pi -{\frac {1 }{2}}\ln \sin \pi x+{\frac {1}{\pi }}\sum _{{n=1}}^({\infty }}{\frac {\sin 2\pi nx \cdot \ln {n}}{n}}\,,\qquad 0<x<1

Denne formel tilskrives normalt Ernst Kummer , som udledte den i 1847 (i den autoritative litteratur [3] [6] [7] kaldes denne serie endda Kummer-serien for logaritmen af gammafunktionen). Det er dog for nylig blevet opdaget, at denne formel blev opnået allerede i 1842 af Carl Malmsten (se Yaroslav Blagushin [4] [8] ).

Ud over Fourier-serieudvidelser er der andre serieudvidelser. En af de mest kendte er Stirling -serien.

\ln \Gamma (z)=\venstre(z-{\frac {1}{\,2\,}}\right)\!\ln z-z+{\frac {1}{\,2\,} }\ln 2\pi +\sum _{{n=1}}^{N}{\frac {B_{{2n}}}{2n(2n-1)z^{{2n-1}}}} +O(z^{{-2N-1)))\,,\qquad |\arg z|<{\frac {\pi }{2))

I sin standardversion

\ln \Gamma (z)=z\ln z+O(z)

hvor koefficienterne betyder Bernoulli-tallene . $B_{2n}$

Fra definitionen af gammafunktionen ifølge Weierstrass følger en anden vigtig repræsentation [9]

\ln \Gamma (z)=-\gamma z-\ln z+\sum _{{n=1}}^{\infty }\left[{\frac {z}{n}}-\ln \!\ venstre(1+{\frac {z}{n}}\right)\right]

Private værdier

Heltals- og halvheltalsargumenternes gammafunktion udtrykkes i form af elementære funktioner . I særdeleshed

\Gamma(1)=0!=1

\Gamma(2)=1!=1

\Gamma(3)=2!=2

\Gamma(4)=3!=6

\Gamma(5)=4!=24

\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}.

\Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}.

\Gamma \left({\tfrac {5}{2}}\right)={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}.

\Gamma \left({\tfrac {7}{2}}\right)={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}.

\Gamma \left(-{\tfrac {1}{2}}\right)=-2{\sqrt {\pi )).

\Gamma \left(-{\tfrac {3}{2}}\right)={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi )).

\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+n\right)={(2n)! \over 4^{n}n!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}\,{\sqrt {\pi }}= {\sqrt {\pi }}\cdot \left[{n-{\frac {1}{2}} \choose n}n!\right]

\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}-n\right)={(-4)^{n}n! \over (2n)!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}\,{\sqrt {\pi }}= {\sqrt {\pi }}/\left[{-{\frac {1}{2}} \choose n}n!\right]

Søgningen efter værdien af gammafunktionen i punkterne 1/4 og 1/3 var genstand for detaljeret forskning af Euler, Gauss og Legendre, men de formåede ikke at beregne disse værdier i en lukket form [1] .

Der er følgende repræsentationer i ikke-lukket form for Γ(1/4)

\Gamma ({\tfrac 14})={\sqrt {\frac {(2\pi )^{({\frac {3}{2))))}{{\mathrm {AGM))({\sqrt 2},1)}}}

\Gamma ({\tfrac 14})=(2\pi )^{({\frac {3}{4))))\prod _{{k=1))^{\infty }{\mathrm {th }}\venstre({\frac {\pi k}{2}}\højre)

\Gamma ({\tfrac 14})=A^{3}e^{{-{\frac {G}{\pi }}}}{\sqrt {\pi }}2^{{{\frac {1 }{6}}}}\prod _{{k=1}}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{2k}}\right)^{{k(-1)^{ k}}}

hvor AGM er den aritmetisk-geometriske middelværdifunktion , G er den catalanske konstant , og A er Glaisher-Kinkelin-konstanten .

Generaliseringer

I den klassiske integraldefinition af gammafunktionen er grænserne for integration fastlagt. Den ufuldstændige gammafunktion betragtes også , som er defineret af et lignende integral med en variabel øvre eller nedre integrationsgrænse. Der skelnes mellem den øverste ufuldstændige gammafunktion, ofte betegnet som gammafunktionen af to argumenter:

\Gamma(a,z)=\int\limits_{\mathrm z}^\infty\!{e^{-t}t^{a-1}\,dt}

og den nederste ufuldstændige gammafunktion, på samme måde betegnet med det lille bogstav "gamma":

\gamma(a,z)=\int\limits_0^{\mathrm z}\!{e^{-t}t^{a-1}\,dt}

Nogle gange er den ufuldstændige gammafunktion defineret som [10] :

I(z,a)={\frac {1}{\Gamma (a)))\int \limits _{0}^{\mathrm {z} }\!{e^{-t}t ^{a-1}\,dt}

Beregning af integraler

En vigtig anvendelse af gamma-funktionen er reduktionen til den af integraler af følgende form, hvor er konstante parametre $a,\alpha ,\beta$

\int _{0}^{\infty }x^{\alpha }\exp(-ax^{\beta})\,dx=a^{-{\frac {\alpha +1}{\ beta ))}\cdot {\frac {1}{\beta }}\Gamma \left({\frac {\alpha +1}{\beta }}\right)

Bevis

Efter indstilling af parameteren:

\int _{0}^{\infty }x^{\alpha }\exp(-ax^{\beta})\,dx=a^{-{\frac {\alpha +1}{\ beta ))}\int _{0}^{\infty }\left(a^{1/\beta}x\right)^{\alpha }\exp {\Big [}-(a^{1/\ beta }x)^{\beta }{\Big ]}\,d\left(a^{1/\beta}x\right)

Differentielle injektioner:

a^{-{\frac {\alpha +1}{\beta ))}\int _{0}^{\infty }\kappa ^{\alpha }\exp(-\kappa ^{\beta })\,d\kappa ={\dfrac {a^{-{\frac {\alpha +1}{\beta }}}}{\beta }}\int _{0}^{\infty }\kappa ^{\alpha +1-\beta }\exp(-\kappa ^{\beta })\,d\kappa ^{\beta }

Og variable substitutioner:

{\dfrac {a^{-{\frac {\alpha +1}{\beta }}}}{\beta }}\int _{0}^{\infty }\varkappa ^{{\frac {\alpha +1}{\beta }}-1}\exp(-\varkappa )\,d\varkappa =a^{-{\frac {\alpha +1}{\beta }}}\cdot {\ frac {1}{\beta }}\Gamma \left({\frac {\alpha +1}{\beta }}\right)

■

Især for integraler af den gaussiske type, der er almindeligt forekommende i fysikanvendelser:

\int _{0}^{\infty }x^{\alpha }\exp(-x^{2}/a^{2})\,dx=a^{\alpha +1}\cdot {\frac {1}{2}}\Gamma \left({\frac {\alpha +1}{2}}\right)

Og Euler-integraler:

\int _{0}^{\infty }x^{\alpha }\exp(-x/a)\,dx=a^{\alpha +1}\cdot \Gamma \left(\alpha + 1\right)

Se også

Liste over objekter opkaldt efter Leonhard Euler
K-funktion
Barnes G-funktion
beta funktion
Gamma-fordeling
Ufuldstændig gammafunktion

Noter

↑ 1 2 3 4 Davis, PJ Leonhard Eulers integral: En historisk profil af gammafunktionen // American Mathematical Monthly : journal . - 1959. - Bd. 66 , nr. 10 . - S. 849-869 . - doi : 10.2307/2309786 . — .
↑ Kingman, JFC A Convexity Property of Positive Matrices // The Quarterly Journal of Mathematics : journal. - 1961. - Bd. 12 , nr. 1 . - S. 283-284 . - doi : 10.1093/qmath/12.1.283 . - .
↑ 1 2 3 Harry Bateman og Arthur Erdélyi Højere transcendentale funktioner [i 3 bind] . Mc Graw-Hill Book Company, 1955.
↑ 1 2 3 4 5 Iaroslav V. Blagouchine Genopdagelse af Malmstens integraler, deres evaluering ved hjælp af konturintegrationsmetoder og nogle relaterede resultater. The Ramanujan Journal, vol. 35, nr. 1, s. 21-110, 2014. Arkiveret 12. december 2017 på Wayback Machine PDF Arkiveret 7. maj 2021 på Wayback Machine
↑ Iaroslav V. Blagouchine En sætning til evalueringen i lukket form af den første generaliserede Stieltjes-konstant ved rationelle argumenter og nogle relaterede summeringer Journal of Number Theory (Elsevier), vol. 148, s. 537-592, 2015. . Hentet 1. februar 2018. Arkiveret fra originalen 24. september 2015. (ubestemt)
↑ ET Whittaker og GN Watson Et kursus i moderne analyse. En introduktion til den generelle teori om uendelige processer og om analytiske funktioner, med redegørelse for de vigtigste transcendentale funktioner (tredje udgave). Cambridge ved University Press, 1920.
↑ HM Srivastava og J. Choi -serien forbundet med Zeta og relaterede funktioner . Kluwer Academic Publishers. Holland, 2001
↑ Blagouchine, Iaroslav V. Erratum og tilføjelse til "Genopdagelse af Malmstens integraler, deres evaluering ved hjælp af konturintegrationsmetoder og nogle relaterede resultater" // Ramanujan J. : journal. - 2016. - Bd. 42 , nr. 3 . - s. 777-781 . - doi : 10.1007/s11139-015-9763-z .
↑ D.S. Kuznetsov. Særlige funktioner (2. udgave). Higher School, Moskva, 1965.
↑ Ufuldstændig gammafunktion - artikel fra Encyclopedia of Mathematics

Litteratur og referencer

V. Ya. Arsenin. Matematisk fysik: Grundlæggende ligninger og specialfunktioner , kapitel X, ss. 225-233. Nauka, Moskva , 1966.
M. A. Evgrafov. Analytiske funktioner , kapitel VI, ss. 267-273. Nauka, Moskva, 1968.
M. A. Evgrafov et al. Samling af problemer i teorien om analytiske funktioner , s. 307-316. Nauka, Moskva, 1969.
G. M. Fikhtengolts. Et kursus i differential- og integralregning (7. udg.), kapitel XIV, ss. 750-794. Nauka, Moskva, 1969.
A. I. Markushevich. Theory of analytic functions (2. udgave), bind 2, ss. 303-324. Nauka, Moskva, 1968.
N. N. Lebedev. Specialfunktioner og deres anvendelser (2. udg.), kap. I, ss. 11-27. FM, Moskva, 1963.
A. F. Nikiforov og V. B. Uvarov. Matematisk fysiks særlige funktioner , ss. 263-268. Nauka, Moskva, 1978.
Pagurova V. I. Tabeller over ufuldstændig gammafunktion. (Redaktør Ditkin V.A.). Moskva, Publishing House of Computing Center of the Academy of Sciences of the USSR, 1963. 236 s. [en]
R. Campbell. Les integrales eulériennes et leurs applications , Dunod, Paris, 1966.
M. Godefroy. Lafonction Gamma; Théorie, Histoire, Bibliographie , Gauthier-Villars, Paris, 1901.
E. Artin. Einführung in die Theorie der Gammafunktion , Teubner, Leipzig, 1931.
N. Nielson. Handbuch der Theorie der Gammafunktion , Teubner, Leipzig, 1906.

Ordbøger og encyklopædier	Brockhaus og Efron Britannica (online) Universalis
I bibliografiske kataloger	NDL : 00562231

↑ L. N. Bolshev, "V. I. Pagurova. Tabeller over den ufuldstændige gammafunktion. Review”, Zh. Vychisl. matematik. og mat. Fiz., 4:5 (1964), 977–978// http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=zvmmf&paperid=9070&option_lang=rus Arkiveret 9. august 2021 på Wayback Machine