Determinant

Determinanten ( determinanten ) i lineær algebra er en skalarværdi, der karakteriserer den orienterede "udvidelse" eller "komprimering" af et multidimensionelt euklidisk rum efter matrixtransformation; giver kun mening for kvadratiske matricer . Standardnotationen for determinanten af en matrix er , , [1] . $EN$ $\det(A)$ $|A|$ $\Delta (A)$

Determinanten af en kvadratisk dimensionsmatrix defineret over en kommutativ ring er et element i ringen . Denne værdi bestemmer mange egenskaber af matrixen , især matrixen er inverterbar , hvis og kun hvis dens determinant er et inverterbart element i ringen . I tilfældet hvornår er et felt , er determinanten af matricen lig med nul, hvis og kun hvis rangeringen af matrixen er mindre end , det vil sige, når systemerne af rækker og kolonner i matrixen er lineært afhængige . $EN$ $n\ gange n$ $R$ $R$ $EN$ $R$ $R$ $EN$ $EN$ $n$ $EN$

Historie

Teorien om determinanter opstod i forbindelse med problemet med løsning af lineære ligningssystemer .

Forfatterne af den gamle kinesiske lærebog " Matematik i ni bøger " [2] kom tæt på begrebet determinanten .

I Europa findes determinanterne for 2×2-matricer i Cardano i det 16. århundrede. For højere dimensioner blev definitionen af determinanten givet af Leibniz i 1693. Den første udgivelse er af Kramer . Teorien om determinanter blev skabt af Vandermonde , Laplace , Cauchy og Jacobi . Udtrykket "determinant" i sin moderne betydning blev introduceret af O. Cauchy (1815), selvom K. Gauss tidligere (1801) kaldte diskriminanten af en kvadratisk form for "determinant".

Den japanske matematiker Seki Takakazu introducerede selvstændigt determinanter i 1683 [3] .

Definitioner

Gennem permutationer

For en kvadratisk matrix af størrelse beregnes dens determinant med formlen: $A=(a_{ij})$ $n\ gange n$ $\det A$

\det A=\sum _{\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}(-1)^{N(\alpha _{1}, \alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}\cdot a_{1\alpha _{1}}a_{2\alpha _{2}}\dots a_{n\alpha _{n }}

hvor summering udføres over alle permutationer af tal , og angiver antallet af inversioner i permutationen . ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n))$ $1,2,\prikker ,n$ $N(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})$ ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n))$

Determinanten omfatter således termer, som også kaldes "determinantens termer". $n!$

Tilsvarende formel:

\det A=\sum _{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n}=1}^{n}\varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_ {n}}\cdot a_{1i_{1}}a_{2i_{2}}\dots a_{ni_{n}}

hvor koefficienten - Levi-Civita symbolet - er lig med: $\varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n))$

0, hvis ikke alle indekser er forskellige,

{\displaystyle i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n))

1, hvis alle indekser er forskellige, og substitutionen er lige,

{\displaystyle i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n))

{\begin{pmatrix}1&2&\dots &n\\i_{1}&i_{2}&\dots &i_{n}\end{pmatrix}}\in S_{n}

−1 hvis alle indekser er forskellige og substitutionen er ulige.

{\displaystyle i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n))

{\begin{pmatrix}1&2&\dots &n\\i_{1}&i_{2}&\dots &i_{n}\end{pmatrix}}\in S_{n}

Aksiomatisk konstruktion (egenskabsbaseret definition)

Begrebet en determinant kan introduceres på grundlag af dens egenskaber. Determinanten for en reel matrix er nemlig en funktion , der har følgende tre egenskaber [4] : $\det :\mathbb {R} ^{n\times n}\rightarrow \mathbb {R}$

$\det(A)$ er en skæv-symmetrisk funktion af rækkerne (kolonnerne) i matrixen . $EN$
$\det(A)$ er en multilineær funktion af rækker (kolonner) af matrix . $EN$
$\det(E)=1$ , hvor er identitetsmatrixen . $E$ $n\ gange n$

Værdien af matrixdeterminanten

For en førsteordens matrix er værdien af determinanten lig med det eneste element i denne matrix:

\Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}\end{vmatrix}}=a_{11}

Matricer 2 x 2

For en matrix beregnes determinanten som: $2 gange 2$

\Delta ={\begin{vmatrix}a&c\\b&d\end{vmatrix}}=ad-bc

Denne matrix A kan ses som en lineær matrix, der transformerer enhedskvadratet til et parallelogram med hjørner (0, 0) , ( a , b ) , ( a + c , b + d ) og ( c , d ) .

Den absolutte værdi af determinanten er lig med arealet af dette parallelogram og afspejler således den faktor, som områder skaleres med i A -transformationen . $|ad-bc|$

Værdien af fortegnsdeterminanten ( det orienterede område af parallelogrammet) angiver ud over skaleringsfaktoren også, om transformationen A udfører en refleksion.

Matricer 3 x 3

Matrixdeterminanten kan beregnes med formlen: $3 gange 3$

\Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\ end{vmatrix}}=a_{11}{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}-a_{12}{\begin{vmatrix }a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}+a_{13}{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31} &a_{32}\end{vmatrix}}=

=a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{ 31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}

For en mere bekvem beregning af tredjeordens determinant kan du bruge Sarrus- reglen eller trekantsreglen.

Determinanten af en matrix sammensat af vektorer er lig med deres blandede produkt i det højre kartesiske koordinatsystem og er ligesom det todimensionale tilfælde et orienteret volumen af et parallelepipedum spændt ud af . $\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c}$ $\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c}$

N × N matricer

Generelt for matricer af højere orden (over orden 2) kan determinanten beregnes ved at anvende følgende rekursive formel: $n\ gange n$

\Delta =\sum _{j=1}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}{\bar {M}}_{j}^{1}

, hvor er en ekstra minor til elementet . Denne formel kaldes rækkeudvidelse .

{\bar {M}}_{j}^{1}

a_{1j}

Det er let at bevise, at matrixdeterminanten ikke ændres under transponering (med andre ord, en lignende udvidelse i den første kolonne er også gyldig, det vil sige, den giver det samme resultat som udvidelsen i den første række):

\Delta =\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}{\bar {M}}_{1}^{i}

Bevis

Lad . ${\tilde {\Delta }}=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}{\bar {M}}_{1}^{i}$

Lad os bevise det ved induktion. Det kan ses, at dette er sandt for matrixen: ${\tilde {\Delta ))=\Delta$ $2 gange 2$

{\tilde {\Delta _{2}}}=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}{\bar {M}}_{1} ^{i}=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}=\Delta _{2}

Antag, at for matricen af orden - sandt. $n-1$ ${\tilde {\Delta ))_{n-1}=\Delta _{n-1}$

{\tilde {\Delta _{n}}}=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}{\bar {M}}_{1} ^{i}=a_{11}{\bar {M}}_{1}^{1}+\sum _{i=2}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1 }{\bar {M}}_{1}^{i}=a_{11}{\bar {M}}_{1}^{1}+\sum _{i=2}^{n}( -1)^{i+1}a_{i1}\sum _{j=2}^{n}(-1)^{j}a_{1j}{\bar {M}}_{1j}^{ i1}=

=a_{11}{\bar {M}}_{1}^{1}+\sum _{i=2}^{n}\sum _{j=2}^{n}(-1)^ {i+j+1}a_{i1}a_{1j}{\bar {M}}_{1j}^{i1}

{\Delta _{n}}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}{\bar {M}}_{j}^{1} =a_{11}{\bar {M}}_{1}^{1}+\sum _{j=2}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}{\bar {M}}_{j}^{1}=a_{11}{\bar {M}}_{1}^{1}+\sum _{j=2}^{n}(-1)^ {1+j}a_{1j}\sum _{i=2}^{n}(-1)^{i}a_{i1}{\bar {M}}_{j1}^{1i}=

=a_{11}{\bar {M}}_{1}^{1}+\sum _{j=2}^{n}\sum _{i=2}^{n}(-1)^ {i+j+1}a_{1j}a_{i1}{\bar {M}}_{j1}^{1i}={\tilde {\Delta _{n}}}

■

En lignende udvidelse for enhver række (kolonne) er også gyldig:

\Delta =\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}{\bar {M}}_{j}^{i}

Bevis

Lad . ${\tilde {\Delta }}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}{\bar {M}}_{j}^{i}$

Lad os bevise det ved induktion. Det kan ses, at dette er sandt for matrixen: ${\tilde {\Delta ))=\Delta$ $2 gange 2$

{\tilde {\Delta _{2}}}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}{\bar {M}}_{j} ^{i}=-a_{21}a_{12}+a_{22}a_{11}=\Delta _{2}

Antag, at for matricen af orden - sandt. $n-1$ ${\tilde {\Delta ))_{n-1}=\Delta _{n-1}$

{\tilde {\Delta _{n}}}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}{\bar {M}}_{j} ^{i}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\left(\sum _{k<j}(-1)^{1+ k}a_{1k}{\bar {M}}_{jk}^{i1}+\sum _{k>j}(-1)^{k}a_{1k}{\bar {M}}_ {jk}^{i1}\right)

Lad os samle koefficienterne for : ${\bar {M}}_{j_{0}k_{0}}^{i\,\,1}$

j_{0}>k_{0}\colon \;(-1)^{i+j_{0}}a_{ij_{0}}(-1)^{1+k_{0}}a_{1k_{ 0}}+(-1)^{i+k_{0}}a_{ik_{0}}(-1)^{j_{0}}a_{1j_{0}}=(-1)^{i +j_{0}+k_{0}+1}(a_{ij_{0}}a_{1k_{0}}-a_{ik_{0}}a_{1j_{0}})=

=(-1)^{i+j_{0}+k_{0}+1}M_{j_{0}k_{0}}^{1\,\,i}

j_{0}<k_{0}\colon \;(-1)^{i+j_{0}}a_{ij_{0}}(-1)^{k_{0}}a_{1k_{0} }+(-1)^{i+k_{0}}a_{ik_{0}}(-1)^{j_{0}+1}a_{1j_{0}}=(-1)^{i +j_{0}+k_{0}+1}(a_{ik_{0}}a_{1j_{0}}-a_{ij_{0}}a_{1k_{0}})=

=(-1)^{i+j_{0}+k_{0}+1}M_{j_{0}k_{0}}^{1\,\,i}

{\tilde {\Delta _{n))}=\sum _{j\neq k}(-1)^{i+j+k+1}M_{jk}^{1i}{\bar {M} }_{jk}^{1i}

\Delta =\sum _{j=1}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}{\bar {M}}_{j}^{1}=\sum _{j =1}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}\venstre(\sum _{k<j}(-1)^{i+k-1}a_{ik}{\ bar {M}}_{jk}^{1i}+\sum _{k>j}(-1)^{i+k-2}a_{ik}{\bar {M}}_{jk}^ {1i}\right)

Lad os samle koefficienterne for : ${\bar {M}}_{j_{0}k_{0}}^{i\,\,1}$

j_{0}>k_{0}\colon \;(-1)^{1+j_{0}}a_{1j_{0}}(-1)^{i+k_{0}-1}a_{ ik_{0}}+(-1)^{1+k_{0}}a_{1k_{0}}(-1)^{i+j_{0}-2}a_{ij_{0}}=( -1)^{j_{0}+i+k_{0}}(a_{1j_{0}}a_{ik_{0}}-a_{1k_{0}}a_{ij_{0}})=

=(-1)^{i+j_{0}+k_{0}+1}M_{j_{0}k_{0}}^{1\,\,i}

j_{0}<k_{0}\colon \;(-1)^{1+j_{0}}a_{1j_{0}}(-1)^{i+k_{0}-2}a_{ ik_{0}}+(-1)^{1+k_{0}}a_{1k_{0}}(-1)^{i+j_{0}-1}a_{ij_{0}}=( -1)^{k_{0}+i+j_{0}}(a_{1k_{0}}a_{ij_{0}}-a_{1j_{0}}a_{ik_{0}})=

=(-1)^{i+j_{0}+k_{0}+1}M_{j_{0}k_{0}}^{1\,\,i}

{\Delta _{n}}=\sum _{j\neq k}(-1)^{i+j+k+1}M_{jk}^{1i}{\bar {M}}_{jk }^{1i}={\tilde {\Delta _{n))}

■

Generaliseringen af ovenstående formler er udvidelsen af determinanten ifølge Laplace (Laplaces sætning ), som gør det muligt at beregne determinanten for alle rækker (søjler): $k$

\Delta =\sum _{1\leqslant j_{1}<\ldots <j_{k}\leqslant n}(-1)^{i_{1}+\ldots +i_{k}+j_{ 1}+\ldots +j_{k}}M_{j_{1}\ldots j_{k}}^{i_{1}\ldots i_{k}}{\bar {M}}_{j_{1} \ldots j_{k}}^{i_{1}\ldots i_{k}}

Alternative beregningsmetoder

Dodgson kondensationsmetode , baseret på den rekursive formel:

{\displaystyle \Delta ={\frac {{\bar {M}}_{1}^{1}{\bar {M}}_{k}^{k}-{\bar {M}}_{ 1}^{k}{\bar {M}}_{k}^{1}}{{\bar {M}}_{1,k}^{1,k))))

Grundlæggende egenskaber for determinanter

Følgende egenskaber afspejler hovedresultaterne af teorien om determinanter, hvis anvendelse går langt ud over grænserne for denne teori:

$\det E=1$ (Determinanten af identitetsmatrixen er 1);
$\det cA=c^{n}\det A$ (Determinanten er en homogen potensfunktion på rummet af matricer af størrelse ); $n$ $n\ gange n$
$\det A^{T}=\det A$ (Determinanten af en matrix ændres ikke, når den transponeres);
$\det(AB)=\det A\cdot \det B$ (Determinanten af produktet af matricer er lig med produktet af deres determinanter og er kvadratiske matricer af samme orden); $EN$ $B$
${\displaystyle \det A^{-1}=(\det A)^{-1))$ , og matrixen er inverterbar, hvis og kun hvis dens determinant er inverteret ; $EN$ $\det A$
Der er en ikke-nul-løsning til ligningen, hvis og kun hvis (eller det skal være en ikke-triviel nuldivisor, hvis ikke er en integralring). $AX=0$ $\detA=0$ $\det A$ $R$

Determinant som funktion af rækkerne (kolonnerne) i matrixen

Når man studerer teorien om determinanter, er det nyttigt at huske på, at denne teori er baseret på teknikken til at manipulere rækker og søjler af matricer udviklet af K.F. Gaussisk (gaussiske transformationer). Essensen af disse transformationer er reduceret til lineære operationer på rækker (kolonner) og deres permutation. Disse transformationer afspejles i determinanten på en ret simpel måde, og når man studerer dem, er det praktisk at "partitionere" den oprindelige matrix i rækker (eller kolonner) og betragte determinanten som en funktion defineret over sæt af rækker (kolonner). Yderligere angiver bogstaverne rækkerne (kolonnerne) i matrixen . ${\hat {A}}_{i}$ $EN$

1. Determinanten er en multilineær funktion af rækker (kolonner) i en matrix. Multilinearitet betyder, at funktionen er lineær i hvert argument med faste værdier af de resterende argumenter:

\det({\hat {A}}_{1},\ldots ,\alpha {\hat {A}}_{i}+\beta {\hat {A'}}_{i}, \ldots ,{\hat {A}}_{n})=\alpha \det({\hat {A}}_{1},\ldots,{\hat {A}}_{i},\ldots ,{\hat {A}}_{n})+\beta \det({\hat {A}}_{1},\ldots ,{\hat {A'}}_{i},\ldots , {\hat {A}}_{n})

2. Determinanten er en skæv-symmetrisk funktion af rækkerne (kolonner) i matrixen, det vil sige, når to rækker (kolonner) af matrixen byttes om, multipliceres dens determinant med −1:

\det(\ldots ,{\hat {A}}_{i},\ldots ,{\hat {A}}_{j},\ldots )=-\det(\ldots,{\hat {A}}_{j},\ldots ,{\hat {A}}_{i},\ldots )

3. Hvis to rækker (kolonner) i en matrix er ens, så er dens determinant lig med nul:

{\hat {A}}_{i}={\hat {A}}_{j}\Longrightarrow \det(\ldots ,{\hat {A}}_{i},\ldots ,{ \hat {A}}_{j},\ldots )=0

Kommentar. Egenskaber 1-3 er determinantens hovedegenskaber som funktion af rækker (kolonner), de kan nemt bevises direkte fra definitionen. Egenskab 2 (skæv-symmetri) er en logisk konsekvens af egenskab 1 og 3. Egenskab 3 er en logisk konsekvens af egenskab 2, hvis element 2 (dvs. 1 + 1) i ringen ikke falder sammen med nul og ikke er en nuldeler. Egenskaber 1 og 3 indebærer også følgende egenskaber: $R$

4. Den fælles faktor for elementerne i enhver række (søjle) af determinanten kan tages ud af determinantens fortegn (en konsekvens af egenskab 1). 5. Hvis mindst én række (søjle) i matrixen er nul, så er determinanten lig med nul (en konsekvens af egenskab 4). 6. Hvis to (eller flere) rækker (kolonner) i en matrix er lineært afhængige, så er dens determinant lig med nul (en konsekvens af egenskaberne 1 og 3). 7. Når du tilføjer en lineær kombination af andre rækker (kolonner) til en række (kolonne), ændres determinanten ikke (en konsekvens af egenskaberne 1 og 6).

En kendsgerning af fundamental betydning er universaliteten af determinanten som en multilineær skæv-symmetrisk funktion af fuld rang, hvis argumenter er elementer i et endeligt-dimensionelt vektorrum (eller -modul med en endelig basis). Det følgende $V$ $R$ $V$

Sætning. Lade være et frit -modul af rang ( -dimensionelle vektorrum over , hvis er et felt). Lad være en -vurderet funktion på med egenskaber 1-3. Så, når du vælger grundlaget for rummet , er der en konstant sådan, at ligheden for alle værdier er sand:

V

R

n

n

R

R

\varphi (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})

R

V^{n}

{\displaystyle E_{1},E_{2},\dots ,E_{n))

V

c_{0}=\varphi (E_{1},E_{2},\dots,E_{n})

{\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n))

\varphi (X_{1},X_{2},\dots,X_{n})=c_{0}\det({\hat {X}}_{1},{\hat {X} }_{2},\dots ,{\hat {X}}_{n})

hvor er en kolonne af vektorens koordinater i forhold til basis . ${\hat {X}}_{i}$ $X_{i}$ ${\displaystyle E_{1},E_{2},\dots ,E_{n))$

Bevis

Lad os udvide vektorerne i henhold til grundlaget : . Så vil følgende kolonner svare til dem: . ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n))$ ${\displaystyle E_{1},E_{2},\dots ,E_{n))$ ${\displaystyle X_{i}=\sum _{j=1}^{n}x_{ij}E_{j))$ ${\hat {X}}_{i}=\sum _{j=1}^{n}x_{ij}{\hat {E}}_{j}$

På grund af funktionens multilinearitet $\varphi$ $\varphi (X_{1},X_{2},\dots,X_{n})=\varphi (\sum _{i_{1}=1}^{n}x_{1i_{1)) E_{i_{1}},\sum _{i_{2}=1}^{n}x_{2i_{2}}E_{i_{2}},\dots ,\sum _{i_{n}= 1}^{n}x_{ni_{n}}E_{i_{n}})=\sum _{i_{1},i_{2},\dots ,i_{n}=1}^{n} \varphi (E_{i_{1}},E_{i_{2}},\dots ,E_{i_{n}})\cdot x_{1i_{1}}x_{2i_{2}}\dots x_{ ni_{n}}$

I kraft af egenskab 3, hvis der er sammenfaldende indeks blandt dem, så ${\displaystyle i_{1},i_{2},\dots ,i_{n))$

\varphi (E_{i_{1)),E_{i_{2)),\dots ,E_{i_{n)))=0

Ellers får vi på grund af skæv symmetri (egenskab 2):

\varphi (E_{i_{1}},E_{i_{2}},\dots ,E_{i_{n}})=\varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{ n}}\varphi (E_{1},E_{2},\dots ,E_{n})

Således hvor . ■ $\varphi (X_{1},X_{2},\dots,X_{n})=c_{0}\det({\hat {X}}_{1},{\hat {X} }_{2},\dots ,{\hat {X}}_{n})$ $c_{0}=\varphi (E_{1},E_{2},\dots,E_{n})$

En af de vigtigste konsekvenser af determinantens universalitet er følgende teorem om determinantens multiplikativitet.

Sætning. Lad være en matrix af størrelse . Så for enhver matrix af størrelse .

EN

n\ gange n

\det(AX)=\det A\cdot \det X

x

n\ gange n

Bevis

Overvej en skæv-symmetrisk multilineær form på kolonnerummet . Ifølge den beviste sætning er denne form lig med , hvor . ■ $R^{n}$ $\varphi ({\hat {X}}_{1},{\hat {X}}_{2},\dots,{\hat {X}}_{n})=\det(A {\hat {X}}_{1},A{\hat {X}}_{2},\dots ,A{\hat {X}}_{n})=\det(AX)$ $c_{0}\det({\hat {X}}_{1},{\hat {X}}_{2},\dots ,{\hat {X}}_{n})= c_{0}\det X$ $c_{0}=\varphi (E_{1},E_{2},\dots,E_{n})=\det({\hat {A}}_{1},{\hat {A }}_{2},\dots ,{\hat {A}}_{n})=\det A$

Determinant og orienteret volumen

Lad være tre vektorer i rummet . De genererer et parallelepipedum, hvis toppunkter ligger i punkter med radiusvektorer . Denne boks kan være degenereret, hvis vektorerne er koplanære (de ligger i samme plan, er lineært afhængige). ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ $\mathbb {R} ^{3}$ ${\vec {0}},{\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}},{\vec {a}}+{\vec {b}} ,{\vec {c}}+{\vec {a}},{\vec {b}}+{\vec {c}},{\vec {a}}+{\vec {b}}+{ \vec {c}}$ ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$

Funktionen orienteret volumen er defineret som volumenet af boksen, der genereres af disse vektorer, og taget med et "+"-tegn, hvis det tredobbelte af vektorer er positivt orienteret, og med et "-"-tegn, hvis det er negativt orienteret. Funktionen er multilineær og skævsymmetrisk. Ejendom 3 er naturligvis tilfreds. For at bevise multilineariteten af denne funktion er det nok at bevise dens linearitet med hensyn til vektoren . Hvis vektorerne er lineært afhængige, vil værdien være nul uanset vektoren og derfor lineært afhængig af den. Hvis vektorerne er lineært uafhængige, angives med vektoren af enheden vinkelret på vektorplanet , sådan at . Så er det orienterede volumen af parallelepipedet lig med produktet af arealet af basen, bygget på vektorer og uafhængigt af vektoren , og den algebraiske værdi af projektionen af vektoren på normalen til basen, som er lig med til skalarproduktet og er en størrelse lineært afhængig af vektoren . Lineariteten med hensyn til er bevist, og lineariteten med hensyn til resten af argumenterne bevises tilsvarende. ${\rm {Vol}}({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})$ $({\vec {a)),{\vec {b)],{\vec {c)))$ ${\rm {Vol}}({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})$ $\vec a$ ${\vec {b)),{\vec {c}}$ ${\rm {Vol}}({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})$ $\vec a$ ${\vec {b)),{\vec {c}}$ ${\vec {n}}$ ${\vec {b)),{\vec {c}}$ ${\rm {Vol}}({\vec {n}},{\vec {b}},{\vec {c}})>0$ ${\vec {b)),{\vec {c}}$ $\vec a$ $\vec a$ $\langle {\vec {a)),{\vec {n}}\rangle$ $\vec a$ $\vec a$

Ved at anvende sætningen om determinantens universalitet som en skæv-symmetrisk multilineær funktion, opnår vi, at når vi vælger en ortonormal basis for rummet $({\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3})$ $\mathbb {R} ^{3}$

{\rm {Vol}}({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})={\rm {Vol}}({\vec {e} }_{1},{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3})\det {\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1} \\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1 }&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{pmatrix}}

hvor er koordinaterne for vektorerne i det valgte grundlag. $a_{i},b_{i},c_{i}$ $({\vec {a)),{\vec {b)],{\vec {c)))$

Således har determinanten af koefficientmatrixen af vektorer med hensyn til den ortonormale basis betydningen af det orienterede volumen af parallelepipedet bygget på disse vektorer.

Alt ovenstående overføres uden væsentlige ændringer til et rum af vilkårlig dimension. $\mathbb {R} ^{n}$

Determinant række/kolonne dekomponering og matrixinversion

Række/kolonne-dekomponeringsformlerne gør det muligt at reducere beregningen af determinanter til en rekursiv procedure, der bruger beregningen af determinanter af lavere orden. For at udlede disse formler grupperer og summerer vi i formlen for matricens determinant , under hensyntagen til ligheden , alle led, der ikke er nul, indeholder elementet . Dette beløb er: $C=(c_{ij})$ $\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n-1}n}=\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n-1}}$ $c_{nn}$

c_{nn}\sum _{i_{1},\dots i_{n-1}=1}^{n-1}\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n-1}n }c_{1i_{1}}\dots c_{n-1,i_{n-1}}=c_{nn}\sum _{i_{1},\dots i_{n-1}=1}^{ n-1}\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n-1}}c_{1i_{1}}\dots c_{n-1,i_{n-1}}=c_{nn}\det C_{n}^{n}

hvor er matrixen opnået ved at slette rækken med tallet og kolonnen med tallet . $C_{i}^{j}$ $C$ $jeg$ $j$

Da et vilkårligt element kan flyttes til det nederste højre hjørne af matricen ved at permutere den tilsvarende kolonne til højre og permutere den tilsvarende række ned til det nederste højre hjørne af matricen, og den ekstra matrix til det vil bevare sin form, så summen af alle led i udvidelsen af determinanten indeholdende , vil være lig med $c_{ij}$ $(nj)$ $(ni)$ $c_{ij}$

(-1)^{(ni)}(-1)^{(nj)}c_{ij}\det C_{i}^{j}=(-1)^{i+j}c_{ ij}\det C_{i}^{j}=c_{ij}A_{i}^{j}

Størrelsen kaldes det algebraiske komplement af matrixelementet . ${\displaystyle A_{i}^{j}=(-1)^{i+j}\det C_{i}^{j))$ $c_{ij}$

I betragtning af, at hvert led i udvidelsen af en determinant med en koefficient, der ikke er nul, indeholder nøjagtigt ét element fra den i-te række, kan vi udvide determinanten i form af vilkårene i denne række:

{\displaystyle \det C=\sum _{j=1}^{n}c_{ij}A_{i}^{j))

— Formlen for udvidelsen af determinanten i den i-te række

På samme måde, givet at hvert led i udvidelsen af en determinant med en koefficient, der ikke er nul, indeholder nøjagtigt ét element fra den jth kolonne, kan vi udvide determinanten i form af vilkårene i denne kolonne:

{\displaystyle \det C=\sum _{i=1}^{n}c_{ij}A_{i}^{j))

— Formlen for udvidelsen af determinanten i den j-te kolonne

Hvis elementerne i den k-te række i matricen kopieres til den i-te række, vil dens determinant blive lig med nul, og ifølge formlen for at udvide determinanten i den i-te række får vi: $C$

0=\sum _{j=1}^{n}c_{kj}A_{i}^{j}

— Formlen for den "falske" udvidelse af determinanten i den i-te linje ( ).

i\neq k

Tilsvarende for kolonner:

0=\sum _{j=1}^{n}c_{ik}A_{i}^{j}

— Formlen for den "falske" udvidelse af determinanten i den j-te kolonne ( )

j\ne k

Det er nyttigt at skrive de opnåede formler i matrixform. Lad os introducere en matrix af algebraiske tilføjelser til elementerne i matricen : . Derefter, ifølge de opnåede formler, $C$ $A=(A_{i}^{j})$

CA^{T}=A^{T}C=(\det C)\cdot E

Konsekvens 1 (Kriterium for inverterbarhed af matricer). En kvadratisk matrix er inverterbar, hvis og kun hvis er et inverterbart element i ringen , og . $C$ $\det C$ $R$ ${\displaystyle C^{-1}=(\det C)^{-1}\cdot A^{T))$

Konsekvens 2. Hvis produktet af matricer er nul , og matricen er kvadratisk, så . $CX=0$ $C$ $(\det C)\cdot X=0$

Løsning af systemer af lineære algebraiske ligninger ved hjælp af determinanter

Cramers formel gør det muligt at udtrykke løsningen af et system af lineære algebraiske ligninger som et forhold mellem determinanter, hvis nævner er determinanten for systemet, og tælleren er determinanten for systemmatricen, hvor kolonnen af koefficienter for den tilsvarende variabel erstattes af en kolonne af ligningernes højre side.

Cramers formel . Lad et system af lineære algebraiske ligninger være givet i matrixform:, hvorer koefficientmatrixen for størrelsessystemet,er kolonnen af højre side af systemets ligninger, og vektorener løsningen til dette system . Sågælder ligheden for enhver : $CX=B$ $C=(c_{ij})$ $n\ gange n$ ${\displaystyle B=(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})^{T))$ ${\displaystyle X=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})^{T))$ $\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n}\in R$

(\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+\dots +\lambda _{n}x_{n})\cdot (\det C)=-\ det {\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\dots &c_{1n}&b_{1}\\c_{21}&c_{22}&\dots &c_{2n}&b_{2}\\\ prikker &\dots &\dots &\dots &\dots \\c_{n1}&c_{n2}&\dots &c_{nn}&b_{n}\\\lambda _{1}&\lambda _{2}& \dots &\lambda _{n}&0\end{pmatrix}}

Bevis

Angiv med summen og indtast $\Lambda X$ ${\displaystyle \lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+\dots +\lambda _{n}x_{n))$

matrix og vektor .

D={\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\dots &c_{1n}&b_{1}\\c_{21}&c_{22}&\dots &c_{2n}&b_{2 }\\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\c_{n1}&c_{n2}&\dots &c_{nn}&b_{n}\\\lambda _{1}&\lambda _ {2}&\dots &\lambda _{n}&\Lambda X\end{pmatrix}}

X'={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\dots \\x_{n}\\-1\end{pmatrix}}

Derefter og ifølge konsekvens 2 fra det foregående afsnit . $DX'=0$ $(\det D)X'=0$

Men da en af komponenterne i vektoren er lig med -1, betyder det, at . Påstanden er bevist pga $X'$ $\det D=0$

\det D=\Lambda X\cdot (\det C)+\det {\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\dots &c_{1n}&b_{1}\\c_{21 }&c_{22}&\dots &c_{2n}&b_{2}\\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\c_{n1}&c_{n2}&\dots &c_{nn}&b_ {n}\\\lambda _{1}&\lambda _{2}&\dots &\lambda _{n}&0\end{pmatrix}}

■

Af denne formel følger det især, at hvis - ikke er degenereret (ikke er nul eller en nuldivisor), kan systemet højst have én løsning, og hvis determinanten også er inverterbar, så har systemet en unik løsning. $\det C$

En af de vigtigste sætninger i teorien om determinanter er følgende sætning om løsninger af et homogent system af lineære ligninger.

Sætning. Lad være et felt. Et homogent system af lineære ligninger har en ikke-triviel (ikke-nul) løsning, hvis og kun hvis determinanten af koefficientmatrixen er lig med nul: . $R$ $CX=0$ $\det C=0$

Bevis

Betingelsens nødvendighed er indeholdt i konsekvens 2 i det foregående afsnit. Lad os bevise nødvendigheden.

Hvis matrixen er nul, er enhver vektor en løsning. Lad være den maksimale ikke-degenererede mindre i matrixen af dimensioner . Uden tab af generalitet antager vi, at denne minor er dannet af de første r rækker og kolonner (ellers omnummererer vi variablerne og omarrangerer ligningerne i en anden rækkefølge). Lad os introducere vektorerne og . Derefter skrives de første ligninger af systemet i matrixform som følger: $C$ $x$ $C_{0}$ $C$ $r\ gange r$ ${\displaystyle X_{0}=(x_{1},x_{2},\dots,x_{r})^{T))$ ${\displaystyle X_{1}=(x_{r+1},\dots,x_{n})^{T))$

C_{0}X_{0}+C_{1}X_{1}=0

Da matricen er inverterbar, svarer enhver værdi til en enkelt vektor , der opfylder disse ligninger. Lad os vise, at i dette tilfælde vil de resterende ligninger blive opfyldt automatisk. Lad . $C_{0}$ $X_{1}$ $X_{0}=-C_{0}^{-1}C_{1}X_{1}$ $j>r$

Lad os introducere to matricer:

D_{1}={\begin{pmatrix}c_{11}&\dots &c_{1r}&c_{1r+1}x_{r+1}+\dots +c_{1n}x_{n}\ \c_{21}&\dots &c_{2r}&c_{2r+1}x_{r+1}+\dots +c_{2n}x_{n}\\\dots &\dots &\dots &\dots \ prikker \dots \dots \\c_{r1}&\dots &c_{rr}&c_{rr+1}x_{r+1}+\dots +c_{rn}x_{n}\\c_{j1}&\ prikker &c_{jr}&c_{jr+1}x_{r+1}+\dots +c_{jn}x_{n}\\\end{pmatrix}}

og .

D_{2}={\begin{pmatrix}c_{11}&\dots &c_{1r}&c_{1r+1}x_{r+1}+\dots +c_{1n}x_{n}\ \c_{21}&\dots &c_{2r}&c_{2r+1}x_{r+1}+\dots +c_{2n}x_{n}\\\dots &\dots &\dots &\dots \ prikker \dots \dots \\c_{r1}&\dots &c_{rr}&c_{rr+1}x_{r+1}+\dots +c_{rn}x_{n}\\c_{j1}&\ prikker &c_{jr}&-(c_{j1}x_{1}+\dots +c_{jr}x_{r})\\\end{pmatrix}}

I matricen er alle kolonner dele af kolonnerne fra matrixen , og den sidste kolonne er en lineær kombination af matrixkolonnerne med koefficienter , derfor er der på grund af lineariteten af determinanten over kolonnerne en lineær kombination af determinanter for de mindreårige i størrelsesmatrixen . Da er den største ikke-degenererede mindreårige i størrelse, har alle større mindreårige en nul-determinant, så . $D_{1}$ $C$ $C$ ${\displaystyle x_{r+1},\dots ,x_{n))$ $\det D_{1}$ $C$ $(r+1)\ gange (r+1)$ $C_{0}$ $\det D_{1}=0$

Det følger af forholdet , hvor er kolonnen . Derfor . $C_{0}X_{0}+C_{1}X_{1}=0$ $D_{2}Y=0$ $Y=(x_{1},\dots ,x_{r},1)^{T}\neq 0$ $\det D_{2}=0$

Så . Og siden , så er systemets j-te ligning også opfyldt. ■ $0=\det D_{1}-\det D_{2}=(\det C_{0})\cdot (c_{j1}x_{1}+c_{j2}x_{2}+\dots +c_{jn}x_{n})$ $\det C_{0}\neq 0$

Denne sætning bruges især til at finde egenværdier og egenvektorer for matricer.

Kriteriet for fuldstændighed og lineær uafhængighed af et system af vektorer

Nært forbundet med begrebet determinant er begrebet lineær afhængighed og fuldstændighed af vektorsystemer i et vektorrum.

Lad være et felt og være et vektorrum over med en endelig basis . Lad et andet sæt vektorer blive givet . Deres koordinater i forhold til det givne grundlag er ekspansionskoefficienterne . Lad os lave en (firkantet) matrix . Sætningen er sand: $R$ $V$ $R$ ${\vec {e_{1}}},{\vec {e_{2}}},\dots ,{\vec {e_{n}}}$ $n$ ${\vec {v_{1}}},{\vec {v_{2}}},\dots ,{\vec {v_{n}}}$ ${\displaystyle v_{ij))$ ${\vec {v_{i}}}=\sum v_{ij}{\vec {e_{j}}}$ $A=(v_{ij})$

Sætning (Kriterium for fuldstændighed og lineær uafhængighed af et system af vektorer).

(1) Systemet af vektorer er lineært afhængigt, hvis og kun hvis .

{\vec {v_{1}}},{\vec {v_{2}}},\dots ,{\vec {v_{n}}}

\detA=0

(2) Systemet af vektorer er komplet, hvis og kun hvis matrixen ikke er degenereret ( ).

{\vec {v_{1}}},{\vec {v_{2}}},\dots ,{\vec {v_{n}}}

EN

\det A\neq 0

Bevis

(1) Beviset er baseret på, at vektoren har en koordinatsøjle lig med , hvor . ${\displaystyle \sum x_{i}{\vec {v_{i))))$ $AX$ ${\displaystyle X=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})^{T))$

Hvis , så . Så og hvis er forskellig fra nul, så . $\sum x_{i}{\vec {v_{i))}=0$ $AX=0$ $(\det A)\cdot X=0$ $x$ $\detA=0$

Omvendt, hvis , er der en ikke-nul kolonne , sådan at . Det betyder, at . $\detA=0$ $x$ $AX=0$ $\sum x_{i}{\vec {v_{i))}=0$

(2) Hvis matrixen ikke er degenereret, er den inverterbar. Lade være en vilkårlig vektor, være en kolonne af dens koordinater ,. Så . En vilkårlig vektor kan således dekomponeres i et system af vektorer , hvilket betyder dens fuldstændighed. $EN$ ${\vec {u}}$ ${\displaystyle Y=(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n})^{T))$ ${\displaystyle X=A^{-1}Y=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})^{T))$ ${\vec {u}}=\sum x_{i}{\vec {v_{i}}}$ ${\vec {v_{1}}},{\vec {v_{2}}},\dots ,{\vec {v_{n}}}$

Lad omvendt matrixen være degenereret. Så eksisterer der en række koefficienter, der ikke er nul, sådan at . Det betyder, at enhver vektor, der kan nedbrydes i form af et system af vektorer , opfylder begrænsningen . Hvis en eller anden koefficient er ikke-nul, kan basisvektoren ikke udvides i dette system af vektorer, hvilket betyder, at den ikke er komplet. ■ $EN$ $C=(c_{1},c_{2},\dots ,c_{n})$ $CA=0$ ${\vec {u}}=\sum x_{i}{\vec {v_{i}}}$ ${\vec {v_{1}}},{\vec {v_{2}}},\dots ,{\vec {v_{n}}}$ $c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\dots +c_{n}x_{n}=0$ $c_{k}$ ${\displaystyle {\vec {e_{k))))$

Følge. I et vektorrum, der har en endelig basis af vektorer: $V$ $n$

(1) ethvert system, der består af mindre end vektorer, er ikke komplet;

n

(2) ethvert system, der består af mere end vektorer, er lineært afhængigt;

n

(3) hver basis i rummet indeholder nøjagtigt vektorer.

V

n

Således er dimensionen af et vektorrum med en endelig basis veldefineret. $V$

Nogle særlige egenskaber ved determinanter

Matrixdeterminanten er lig med produktet af dens egenværdier .
Hvis en kvadratisk matrix udtrykker en lineær transformation , ændres dens determinant ikke, når grundlaget for det lineære rum ændres.

Algoritmisk implementering

Direkte metoder til beregning af determinanten kan baseres direkte på dens definition som en sum over permutationer eller på Laplace-udvidelsen i form af lavere ordens determinanter. Sådanne metoder er imidlertid meget ineffektive, da de kræver O ( n ! ) operationer for at beregne -. ordens determinant. Samtidig er de universelle, anvendelige i tilfælde, hvor elementerne i matrixen ikke er tal (funktioner, polynomier, differentialformer af lige grad osv.), og ikke kræver divisionsoperationer. $n$
En af de hurtigste numeriske metoder til beregning af determinanten er en simpel ændring af Gauss-metoden . Efter Gauss-metoden kan en vilkårlig matrix reduceres til en trinform (Øvre trekantet matrix) ved kun at bruge de følgende to operationer på matrixen - permutering af to rækker og tilføjelse af endnu en række til en af matrixrækkerne, ganget med et vilkårligt tal. Det følger af determinantens egenskaber, at den anden operation ikke ændrer matricens determinant, mens den første kun vender sit fortegn. Determinanten af en matrix reduceret til en trinvis form er lig med produktet af elementerne på dens diagonal, da den er trekantet , så determinanten af den oprindelige matrix er: $EN$ $\det A=(-1)^{s}\cdot \det A_{\mbox{ref)),$

hvor er antallet af rækkepermutationer udført af algoritmen, og er trinformen af matrixen opnået som et resultat af algoritmen. Kompleksiteten af denne metode, ligesom Gauss-metoden, er , for dens implementering er det nødvendigt at bruge divisionsoperationen.

s

A_{\mbox{ref}}

EN

O(n^{3})

Determinanten kan beregnes ved at kende LU-nedbrydningen af matrixen. Hvis , hvor og er trekantede matricer, så . Determinanten af en trekantet matrix er simpelthen produktet af dens diagonale elementer. $A=LU$ $L$ $U$ $\det A=(\det L)(\det U)$
Hvis en algoritme er tilgængelig, der udfører multiplikation af to ordensmatricer i tid , hvor for nogle , så determinanten af rækkefølgematricen kan beregnes i tid . [5] Dette betyder især, at ved hjælp af Coppersmith-Winograd-algoritmen til matrixmultiplikation kan determinanten beregnes i tid . $n$ $M(n)$ $M(n)\geqslant n^{a}$ $a>2$ $n$ $O(M(n))$ $O(n^{2,376})$

Særlige typer determinanter

Se også

Noter

↑ Bronstein I. N., Semendyaev K. A. Håndbog i matematik for ingeniører og studerende ved højere uddannelsesinstitutioner. — 13. udg., rettet. — M .: Nauka, 1986.
↑ E. I. Berezkina. Matematik i det gamle Kina. — M .: Nauka, 1980.
↑ HW Eves. En introduktion til matematikkens historie . — Saunders College Publishing, 1990.
↑ Skornyakov L. A. Elementer i algebra. - M .: Nauka, 1986. - S. 16-23. – Oplag 21.000 eksemplarer.
↑ JR Bunch og JE Hopcroft. Trekantet faktorisering og inversion ved hurtig matrixmultiplikation, Mathematics of Computation , 28 (1974) 231-236.

Litteratur

V. A. Ilyin , E. G. Poznyak Linear Algebra, Moskva: Nauka — Fizmatlit, 1999.
Beklemishev DV Kursus i analytisk geometri og lineær algebra. Moskva: Fizmatlit, 2000.
Kostrikin A.I. Introduktion til algebra. Del 1. Grundlæggende om algebra: Lærebog for gymnasier. Moskva: Fizmatlit, 2004.
Borevich ZI Determinanter og matricer. - M.: Nauka, 1988.

Ordbøger og encyklopædier	Flot dansk Fantastisk norsk Stor russer Brockhaus og Efron jorden rundt Lille Brockhaus og Efron Ny Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	BNF : 11975737s J9U : 987007550422505171 LCCN : sh85037299 NDL : 00562696 NKC : ph153485

Determinant

Historie

Definitioner

Gennem permutationer

Aksiomatisk konstruktion (egenskabsbaseret definition)

Værdien af ​​matrixdeterminanten

Matricer 2 x 2

Matricer 3 x 3

N × N matricer

Alternative beregningsmetoder

Grundlæggende egenskaber for determinanter

Determinant som funktion af rækkerne (kolonnerne) i matrixen

Determinant og orienteret volumen

Determinant række/kolonne dekomponering og matrixinversion

Løsning af systemer af lineære algebraiske ligninger ved hjælp af determinanter

Kriteriet for fuldstændighed og lineær uafhængighed af et system af vektorer

Nogle særlige egenskaber ved determinanter

Algoritmisk implementering

Særlige typer determinanter

Se også

Noter

Litteratur

Værdien af matrixdeterminanten