Aksiom for afhængigt valg

Aksiomet for afhængigt valg er en af svækkelsen af valgaksiomet . Normalt betegnet som . Aksiomet for afhængigt valg følger af det fulde valgaksiom og medfører aksiomet om tælleligt valg , således i . $\mathbf {DC}$ $\mathbf {ZF}$ $\mathbf {AC} _{\omega }<\mathbf {DC} <\mathbf {AC}$

Udsagn: hvis et vilkårligt ikke-tomt sæt med en venstre-komplet-relation er givet (relationen kaldes venstre-komplet, hvis for nogen eksisterer , at ), så er der en sekvens af elementer , sådan at [1] : $x$ $R$ $R$ $x$ $y$ $xRy$ $x_{n}$ $x$

\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}Rx_{n+1}

Følgende udsagn er ækvivalente i aksiomet for afhængigt valg: Baers kategorisætning [2] ; Löwenheim-Skolem-sætning [3] [4] ; Zorns lemma for endelige kæder . Zorn-lemmaet for endelige kæder har to ækvivalente formuleringer: $\mathbf {ZF}$

hvis alle kæder i et delvist ordnet sæt er endelige, så har sættet et maksimumelement. [1] ;
hvis alle velordnede kæder i et delvist ordnet sæt er endelige, så har sættet et maksimumelement. [5]

(Selvom den anden formulering er stærkere end den første, er de ækvivalente i .) $\mathbf {ZF}$

Generaliseringer

Aksiom for afhængigt valg for transfinite sekvenser: hvis vi i formuleringen af aksiomet for afhængigt valg ikke kun tillader tællelige sekvenser, men også transfinite, kan vi opnå en styrkelse af dette aksiom.

Lad være noget ordinært. Funktionen kaldes en transfinit sekvens af type . Angiv med sættet af alle sekvenser af typen mindre end . Det afhængige valgaksiom for transfinite sekvenser er formuleret for en bestemt initial ordinal og betegnes som . $\gamma$ $x_{\alpha }\colon \gamma \to X$ $\gamma$ $S_{\gamma }$ $\gamma$ $\lambda$ ${\displaystyle \mathbf {DC} _{\lambda ))$

Lad et ikke-tomt sæt og venstre fuldstændig binær relation gives . Hævder derefter , at der er en transfinit sekvens af typen , således at [5] . $x$ $R\subset S_{\gamma }\ gange X$ ${\displaystyle \mathbf {DC} _{\lambda ))$ $\{a_{n}\}_{n\in \lambda }$ $\lambda$ $\forall \mu <\lambda \colon \{a_{n}\}_{n\in \mu }Ra_{\mu }$

Aksiomet svarer til . Generaliseringer for store ordinaler er strengt taget stærkere end det, men svagere end det fulde aksiom af valg :. Opfyldelsen for alle indledende ordtaler svarer til det komplette aksiom af valg: [6] . ${\displaystyle \mathbf {DC} _{\omega ))$ $\mathbf {DC}$ $\mathbf {DC} <\mathbf {DC} _{\omega _{1}}<\mathbf {DC} _{\omega _{2}}<\ldots <\mathbf {AC}$ ${\displaystyle \mathbf {DC} _{\lambda ))$ $(\forall \lambda \colon \mathbf {DC} _{\lambda })\Leftrightarrow \mathbf {AC}$

For aksiomerne er der tilsvarende ækvivalente svækkelser af Zorns lemma: ${\displaystyle \mathbf {DC} _{\lambda ))$

hvis alle kæder i et delvist bestilt sæt er fuldstændigt ordnede, har en ordretype mindre end og har en øvre grænse, så har sættet et maksimumelement [5] ; $\lambda$
hvis enhver velordnet kæde i et delvist ordnet sæt har en ordretype mindre end og har en øvre grænse, så har sættet et maksimumelement [5] . $\lambda$

Noter

↑ 12 Wolk , 1983 , s. 365.
↑ Blair, 1977 .
↑ Moore, 1982 , s. 325.
↑ Boolos, 1989 , s. 155.
↑ 1 2 3 4 Wolk, 1983 , s. 366.
↑ Wolk, 1983 , s. 367.

Litteratur

Wolk Elliot S. Om princippet om afhængige valg og nogle former for Zorns lemma (engelsk) // Canadian Mathematical Bulletin : journal. - 1983. - Bd. 26 , nr. 3 . — S. 365–367 . - doi : 10.4153/CMB-1983-062-5 .
Blair Charles E. Baires kategorisætning indebærer princippet om afhængige valg // Bull. Acad. Polon. sci. Ser. sci. Matematik. Astron. Phys. : magasin. - 1977. - T. 25 , nr. 10 . — S. 933–934 .
Moore Gregory H. Zermelos Axiom of Choice: Dens oprindelse, udvikling og indflydelse. - Springer, 1982. - ISBN 0-387-90670-3 .
Boolos George S., Jeffrey Richard C. Beregnelighed og logik. — 3. - Cambridge University Press, 1989. - ISBN 0-521-38026-X .