Nøjagtige øvre og nedre grænser

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 1. oktober 2021; checks kræver 9 redigeringer .

Den nøjagtige øvre grænse (øvre grænse) og den nøjagtige nedre grænse (nedre grænse) er generaliseringer af begreberne henholdsvis maksimum og minimum af en mængde.

De nøjagtige øvre og nedre grænser for et sæt er normalt angivet (læs supremum x ) og (læs infimum x ). $x$ $\sup X$ $\inf X$

Anvendte definitioner

Majorant , eller øvre grænse (grænse) , af et numerisk sæt er et talsådan, at. $x$ $-en$ $\forall x\in X\Højrepil x\leqslant a$

Den minorante , eller nedre grænse (grænse) , af et numerisk sæt er et tal sådan, at . $x$ $b$ $\forall x\in X\Højrepil x\geqslant b$

På samme måde introduceres lignende begreber for en delmængde af et ikke-numerisk delvist ordnet sæt . Disse begreber vil blive brugt nedenfor.

Definitioner

Den nøjagtige øvre grænse (mindste øvre grænse) , eller supremum ( latin supremum - den højeste), af en delmængde af en delvist ordnet mængde (eller klasse ) er det mindste element , der er lig med eller større end alle elementer i sættet . Med andre ord er supremum den mindste af alle øvre ansigter. Udpeget . $x$ $M$ $M$ $x$ $\sup X$

Mere formelt:

S_{X}=\{y\in M\mid \forall x\in X\!:x\leqslant y\}

- sæt af øvre flader , det vil sige elementer lig med eller større end alle elementer ;

x

M

x

s=\sup(X)\iff S_{X}\ni s\;|\;\forall y\in S_{X}\!:s\leqslant y.

Den nøjagtige nedre grænse (største nedre grænse) eller infimum ( lat. infimum - den laveste), delmængde af et delvist ordnet sæt (eller klasse ) er det største element , som er lig med eller mindre end alle elementer i sættet . Med andre ord er infimum den største af alle nedre grænser. Udpeget . $x$ $M$ $M$ $x$ $\inf X$

Noter

Disse definitioner siger intet om, hvorvidt og tilhører sættet eller ej: $\sup X$ $\inf X$ $x$

i tilfældet sige, at det er maksimum , det vil sige ;

s=\sup X\i X

s

x

s=\max X

i tilfælde siges at være minimum af , dvs.

i=\inf X\i X

jeg

x

i=\min X

Ovenstående definitioner er ikke-prædikative (henviser til sig selv), da det definerede koncept i hver af dem er et element i det sæt, hvorigennem det er defineret. Fortalere for konstruktivisme i matematik modsætter sig brugen af sådanne definitioner, idet de forhindrer eller fjerner elementer af den " onde cirkel " i deres teorier med forskellige metoder.
Ved estimering af ukendte konstanter bruges udtrykkene "øvre grænse" og "nedre grænse", mens den øvre grænse er den nedre grænse af et kendt sæt, og den nedre grænse er den øvre grænse . Fra engelsk kan udtrykket "upper bound" oversættes både som "upper bound" og som "upper bound", hvilket nogle gange fører til forvirring. Situationen er den samme med udtrykket "lavgrænse".

Eksempler

Der er intet minimum på sættet af alle rationelle tal større end fem, men der er et infimum. sådan et sæt er lig med fem. Infimum er ikke et minimum, da fem ikke hører til dette sæt. Hvis vi derimod definerer mængden af alle naturlige tal større end fem, så har et sådant sæt et minimum, og det er lig med seks. Generelt set har enhver ikke-tom delmængde af sættet af naturlige tal et minimum. $\inf$
For et sæt ${\displaystyle S=\left\{{\frac {1}{k}}\mid k\in \mathbb {N} \right\}=\left\{1,\;{\frac {1}{2 )),\;{\frac {1}{3)),\;\ldots \right\))$

\sup S=1

; .

\infS=0

Sættet af positive rationale tal har ikke en mindste øvre grænse i , men et nøjagtigt infimum . $\mathbb {Q} _{+}=\{x\in \mathbb {Q} \mid x>0\}$ $\mathbb {Q}$ $\inf \mathbb {Q} _{+}=0$
Mængden af rationelle tal, hvis kvadrat er mindre end to, har ikke nøjagtige øvre og nedre grænser i , men hvis det betragtes som en delmængde af mængden af reelle tal , så ${\displaystyle X=\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}<2\))$ $\mathbb {Q}$

\sup X={\sqrt {2}}

og .

\inf X=-{\sqrt {2}}

Kantsætning

Ordlyd

En ikke -tom delmængde af de reelle tal , afgrænset ovenfor, har en mindst øvre grænse; det analoge , afgrænset nedefra, er infimum. Det vil sige, at der er sådanne , at: $EN$ $B$ ${\bar {a}}$ ${\underline {b))$

{\bar {a))=\sup A:{\begin{cases}\forall a\in A\Rightarrow a\leqslant {\bar {a)),\\\forall {\bar {a} }'<{\bar {a}}\,\,\eksisterer en\i A:a>{\bar {a}}';\end{cases}}\ \ \ \ (1)

{\underline {b}}=\inf B:{\begin{cases}\forall b\in B\Rightarrow b\geqslant {\underline {b)),\\\forall {\underline {b} }'>{\understreget {b}}\,\,\eksisterer b\i B:b<{\understreget {b}}';\end{cases}}\ \ \ \ (2)

Bevis

For et ikke-tomt sæt afgrænset ovenfra. For et sæt afgrænset nedefra udføres argumenterne på lignende måde. $x$

Lad os repræsentere alle tal i form af uendelige decimalbrøker : , hvor er et ciffer. $x\i X$ $x={\overline {x_{0},x_{1}\dots x_{m}\dots ))$ ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {N} \cup \{0\};\;\forall i\in \mathbb {N} ,\,x_{i))$

Sættet er ikke-tomt og afgrænset ovenfra per definition . Da og er afgrænset ovenfra, er der et begrænset antal elementer, der er større end nogle (ellers ville induktionsprincippet indebære ubegrænsethed fra oven). Lad os vælge blandt disse . $X_{0}=\{x_{0}\mid \forall {\overline {x_{0},x_{1}\ldots x_{m}\ldots }}\in X\}$ $x$ $X_{0}\subset \mathbb {N} \cup \{0\}$ $X_{0}$ ${\tilde {x}}_{0}\in X_{0}$ $X_{0}$ ${\displaystyle a_{0}=\max X_{0))$

Sættet er ikke tomt og består ikke af mere end ti elementer, så der findes . $X_{1}=\{{\overline {a_{0},x_{1}}}\midt \forall {\overline {a_{0},x_{1}\ldots x_{m}\ldots }}\i X\}$ $a_{1}=\max X_{1}$

Antag, at et decimaltal for et eller andet tal er konstrueret sådan, at , og (decimalrepræsentationen af ethvert element i den oprindelige opsætning til den -. decimal ikke overstiger , og der er mindst 1 element, hvis decimalnotation begynder med ). $m$ ${\displaystyle {\overline {a_{0},a_{1}\dots a_{m))))$ $\exists x\in X:x={\overline {a_{0},a_{1}\ldots a_{m}\ldots ))$ ${\displaystyle \forall x\in X:x={\overline {x_{0},x_{1}\ldots x_{m}\ldots }}\Rightarrow {\overline {x_{0},x_{1} \ldots x_{m))}\leqslant {\overline {a_{0},a_{1}\ldots a_{m))))$ $m$ ${\displaystyle {\overline {a_{0},a_{1}\dots a_{m))))$ ${\displaystyle a_{0},a_{1}\dots a_{m))$

Betegn (det sæt af elementer , der begynder i decimalnotation med ). Per definition af nummer er sættet ikke- tomt. Det er endeligt, så der findes et tal , der har de samme egenskaber som . $X_{m+1}=\{{\overline {a_{0},\ldots a_{m+1))}\midt \forall {\overline {a_{0},\ldots a_{m+ 1 }\ldots }}\i X\}$ $x$ ${\displaystyle a_{0},a_{1}\dots a_{m}a_{m+1))$ ${\displaystyle {\overline {a_{0},a_{1}\ldots a_{m))))$ $X_{m+1}$ ${\overline {a_{0},a_{1}\dots a_{m}a_{m+1}}}=\max X_{m+1}$ $er$

I henhold til induktionsprincippet viser det sig for enhver at være et bestemt ciffer , og derfor er en uendelig decimalbrøk entydig bestemt $n$ $a_n$

a\equiv {\overline {a_{0},a_{1}\ldots a_{n}\ldots }}\in \mathbb {R}

Lad os tage et vilkårligt tal . Ifølge konstruktionen af nummeret , for et hvilket som helst nummer det har og derfor . Da ræsonnementet er opfyldt , og den anden linje i definitionen viser sig at være opfyldt fra konstruktionen af . $x\in X,x={\overline {x_{0},x_{1}\dots x_{n}\dots }}$ $-en$ $n$ ${\displaystyle {\overline {x_{0},x_{1}\dots x_{n))}\leqslant {\overline {a_{0},a_{1}\dots a_{n))))$ $x\leqslant a$ $\forall x\in X$ $a=\sup X$ $-en$

Lad os vælge . Det er let at se, at mindst et ciffer i decimalnotationen er mindre end det tilsvarende i notationen . Overvej resultatet opnået af det første nummer af en sådan figur. Da det ikke er tomt, . $a'<a$ $en'$ $-en$ $X_{i}$ $\exists x\in X_{i}\subset X:x>a'$

Bevis ved hjælp af fuldstændighedsprincippet

For et ikke-tomt sæt afgrænset ovenfra skal du overveje — et ikke-tomt sæt af øvre grænser . Per definition, (sættet ligger til venstre for ). Ifølge kontinuiteten , . Per definition , under alle omstændigheder (ellers - ikke sættet af øvre grænser, men kun nogle af dets delmængde). Siden er det mindste element , altså . $x$ ${\overline {X}}$ $x$ ${\overline {x}}\geqslant x,\forall x\in X,\forall {\overline {x}}\in {\overline {X}}$ $x$ ${\overline {X}}$ $\exists c\in \mathbb {R} :\forall x\in X\leqslant c\leqslant \forall {\overline {x}}\in {\overline {X}}$ ${\overline {X}}$ $c\in {\overline {X}}$ ${\overline {X}}$ $c$ ${\overline {X}}$ $c=\sup X$

Lad os tjekke den anden linje i definitionen. Lad os vælge . Lad altså , hvilket betyder at , men , og er det mindste element af . En selvmodsigelse, altså . Generelt set er ræsonnementet korrekt . $c'<c$ $\ikke \eksisterer x\i X:x>c'$ $\forall x\in X:x\leqslant c'$ $c'\in {\overline {X}}$ $c'<c$ $c$ ${\overline {X}}$ $\exists x\in X:x>c'$ $\forall c'$

For et sæt afgrænset nedefra er argumenterne ens.

Egenskaber

Ved kantsætningen findes der for enhver delmængde afgrænset ovenfor . $\mathbb {R}$ $\op$
Ved kantsætningen findes der for enhver delmængde afgrænset nedenfor . $\mathbb {R}$ $\inf$
Et reelt tal er hvis og kun hvis: $s$ $\sup X$

s

der er en øvre grænse , det vil sige for alle elementer ,;

x

x\i X

x\leqslant s

for enhver der er , sådan at (det vil sige, du kan "komme tæt på" vilkårligt fra sættet , og for , det er indlysende at ).

\varepsilon >0

x\i X

x+\varepsilon >s

s

x

s\i X

s+\varepsilon >s

Et udsagn svarende til det sidste gælder også for den mindste nedre grænse.

Variationer og generaliseringer

Betydelig overlegenhed

Litteratur

Bogdanov Yu. S., Kastritsa OA, Syroid Yu. B. Matematisk analyse: Lærebog for universiteter. - M.: UNITI-DANA, 2003.- S. 11-14. ISBN 5-238-00500-8
Bogdanov Yu. S. Forelæsninger om matematisk analyse. Del 1. - Mn .: BSU Forlag, 1974. - S. 3-8.
W. Rudin. Grundlæggende om matematisk analyse. — M .: Mir, 1976. — 320 s.