Hardy hierarki

Hardy-hierarkiet, foreslået af den engelske matematiker Godfrey Hardy i 1904, er en familie af funktioner , hvor der er en stor tællende ordinal , således at fundamentale sekvenser er tildelt alle grænseordtaler mindre end . Hardy-hierarkiet er defineret som følger: ${\displaystyle (H_{\alpha }:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} )_{\alpha <\mu ))$ $\mu$ $\mu$

$H_{0}(n)=n$
$H_{\alpha +1}(n)=H_{\alpha }(n+1)$
$H_{\alpha }(n)=H_{\alpha [n]}(n)$ , hvis og kun hvis er en grænseordinal, $\alfa$

hvor angiver det th element i den fundamentale sekvens, der er tildelt grænseordinalen . $\alpha[n]$ $n$ $\alfa$

Hver ikke-nul ordinal kan repræsenteres i unik Cantor normal form, hvor er den første transfinite ordinal, . ${\displaystyle \alpha <\varepsilon _{0}=\min\{\beta |\beta =\omega ^{\beta }\))$ $\alpha =\omega ^{\beta _{1}}+\omega ^{\beta _{2}}+\cdots +\omega ^{\beta _{k-1}}+\omega ^ {\beta _{k)),$ $\omega$ ${\displaystyle \alpha >\beta _{1}\geq \beta _{2}\geq \cdots \geq \beta _{k-1}\geq \beta _{k))$

Hvis , så er en grænseordinal og kan tildeles en grundlæggende sekvens som følger: $\beta _{k}>0$ $\alfa$

$\alpha [n]=\omega ^{\beta _{1}}+\omega ^{\beta _{2}}+\cdots +\omega ^{\beta _{k-1}}+ \left\{{\begin{array}{lcr}\omega ^{\gamma }n{\text{ if }}\beta _{k}=\gamma +1\\\omega ^{\beta _{ k [n]}{\text{ if }}\beta _{k}{\text{ - limit ordinal.}}\\\end{array}}\right.$

Hvis , så og . $\alpha =\varepsilon _{0}$ $\alpha [0]=0$ $\alpha [n+1]=\omega ^{\alpha [n]}$

Ved at bruge dette system af fundamentale sekvenser kan man definere Hardy-hierarkiet op til det første antal epsiloner . $\varepsilon_{0}$

For Hardy-hierarkiet hænger sammen med det hurtigt voksende hierarki ifølge ligestillingen ${\displaystyle \alpha </varepsilon _{0))$

$H_{\omega ^{\alpha }}(n)=f_{\alpha }(n)$

og på , "indhenter" Hardy-hierarkiet det hurtigt voksende hierarki, dvs. $\alpha =\varepsilon _{0}$

$f_{\varepsilon _{0}}(n-1)\leq H_{\varepsilon _{0}}(n)\leq f_{\varepsilon _{0}}(n+1)$ for alle . $n\geq 1$

Mere kraftfulde systemer med grundlæggende sekvenser kan findes på de følgende sider:

Ligestillingen gælder også for Hardy-hierarkiet . $H_{\alpha +\beta }(n)=H_{\alpha }(H_{\beta}(n))$

Se også

Links

Hardy,GH En sætning om de uendelige kardinaltal. Quarterly Journal of Mathematics (1904) vol.35 s.87–94

Store tal
Tal	google Shannon nummer Googolplex Skæv nummer Moser nummer Graham nummer TRÆ(3) Rayo nummer
Funktioner	Ackermann funktion Veblen funktion Psi-funktioner af Buchholz tetration Pentation Hyperoperator Hurtigt voksende hierarki Langsomt voksende hierarki Hardy hierarki
Notationer	Steinhaus-Moser notation Knuth pil notation Conway pil notation Massiv Bowers-notation