Konveks kombination

Konveks kombination er et af nøglebegreberne for konveks geometri ; en lineær kombination af punkter (som kan være vektorer , skalarer eller punkter i et affint rum ) hvor alle koefficienter er ikke-negative , og deres sum er 1 [1] [2] .

Mere formelt, givet et begrænset antal punkter i et vektorrum over et felt, der indeholder feltet med reelle tal [1] , er den konvekse kombination af disse punkter $x_{1},x_{2},\dots,x_{n}$

{\displaystyle \alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n))

hvor de reelle tal opfylder betingelserne og . $\alpha_i$ $\alpha _{i}\geqslant 0$ $\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}=1$

Især ligger enhver konveks kombination af to punkter på segmentet mellem disse punkter.

Alle konvekse kombinationer af punkter ligger inde i det konvekse skrog af disse punkter.

Der er delmængder af et vektorrum, der er lukket under en konveks kombination, men ikke lukket under en lineær. For eksempel er et interval konveks, men lineære kombinationer af punkter i dette interval giver hele linjen. Et andet eksempel er et konveks sæt af sandsynlighedsfordelinger . $[0,1]$

Andre objekter

Ligesom en konveks kombination af vektorer er en konveks kombination af sandsynlighedsfordelinger en vægtet sum (hvor de samme begrænsninger er opfyldt som ovenfor) af sandsynlighedsfordelinger med en sandsynlighedstæthed $x$ $Y_{i}$ $\alpha_i$ $f_{X}(x)=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}f_{Y_{i}}(x)$ .

Relaterede builds

En keglekombination er en lineær kombination med ikke-negative koefficienter.
Aritmetiske vægtede gennemsnit er funktionelt det samme som den konvekse kombination, men der bruges forskellig notation. Koefficienterne ( vægtene ) i det vægtede gennemsnit kræver ikke, at summen af vægtene er lig med én. I stedet divideres den lineære kombination med summen af vægtene.
Affine kombinationer ligner konvekse kombinationer, men det kræves ikke, at koefficienterne er ikke-negative. I lyset af dette defineres affine kombinationer på et vektorrum over ethvert felt .

Uligheder

Konvekse kombinationer af reelle tal adlyder simple, men ofte brugte uligheder [1] .

Hvis et sæt reelle tal er givet , finder estimaterne sted for enhver af deres konvekse kombinationer med koefficienter : ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n))$ $a_{1},\dots ,a_{n}\geqslant 0,a_{1}+\dots +a_{n}=1$

\min _{1\leqslant i\leqslant n}x_{i}\leqslant \sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}\leqslant \max _{1\leqslant i\leqslant n}x_{i}

Forskellige klassiske uligheder kan udledes ved at overveje simple konvekse funktioner , for eksempel: $f(\cdot )$

f{\Big (}\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}{\Big )}\leqslant \sum _{i=1}^{n}a_{ i}f(x_{i})

hvor . $a_{i}\geqslant 0,a_{1}+\dots +a_{n}=1$

Anvendelse af den sidste ulighed på en strengt konveks funktion fører til en ulighed mellem aritmetiske og geometriske middelværdier med vægte: $f(x)=-log~x$

\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}\geqslant \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{a_{i)),\ ,x_{i}\geqslant 0

Når alle er lig med 1/n, kommer vi frem til uligheden mellem det aritmetiske og geometriske middelværdi: $a_{i}$

{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\geqslant {\Big (}\prod _{i=1}^{n}x_{ i}{\Big )}^{1/n},\,x_{i}\geqslant 0

Se også

Noter

↑ 1 2 3 R. Horn, C. Johnson. Matrix Analyse . - M .: Mir, 1989. - S. 630 -637. - ISBN 5-03-001042-4 .
↑ E. E. Tyrtyshnikov. 13.5 Konvekse mængder // Matrixanalyse og lineær algebra: Lærebog. - Moskva: Moscow University (e-bog), 2005. - S. 90.