Alternativ

Alternativ ( binær associativitet ) er en egenskab ved en binær operation , som er en svækket version af associativitet : for alle elementer $\cirk$ $x,\;y$

$\ (x \circ y) \circ y=x \circ (y \circ y)$ - rigtigt alternativ,
$\ y \circ (y \circ x)=(y \circ y) \circ x$ - venstre alternativ.

Enhver associativ operation er alternativ; det omvendte er ikke sandt generelt: for eksempel er multiplikation af oktonioner alternativ, men ikke associativ.

I enhver magma , hvis par af elementer genererer en associativ submagma, er den binære operation alternativ. Det omvendte er ikke sandt i det generelle tilfælde, men i tilfælde af ikke-associative ringe indebærer ringens alternativhed associativiteten af underringene genereret af hvert par af elementer (Artins sætning ).

Historisk set er det første eksempel på en alternativ struktur Cayley-tallene , som danner en alternativ krop ; vigtige anvendelser inden for fysik findes i alternative algebraer .

En anden mulighed for at svække associativitet er magtassociativitet . Nogle gange betragtes denne egenskab som svagere end alternativhed, da alternativitet under nogle yderligere betingelser indebærer magtassociativitet, men generelt er dette ikke tilfældet: for eksempel for et magma af elementer med alternativ multiplikation introduceret som følger: $e_{\star },e_{1},e_{2}\dots$

${\displaystyle e_{i}\circ e_{j}=e_{i+j))$ undtagen , ${\displaystyle e_{3}\circ e_{3}=e_{\star ))$
${\displaystyle e_{\star }\circ e_{i}=e_{i}\circ e_{\star }=e_{i+6))$ ,
${\displaystyle e_{\star }\circ e_{\star }=e_{12))$

magtassociativitet fejler:

((e_{1}\circ e_{1})\circ e_{1})\circ ((e_{1}\circ e_{1})\circ e_{1})=e_{3} \circ e_{3}=e_{\star }\neq e_{6}=e_{1}^{6}

Litteratur

Kurosh A.G. General Algebra . - M . : Mir , 1970. - 162 s.
Cohn P. Universal Algebra . - Moskva: Mir , 1968. - 351 s.
Alternative ringe og algebraer - artikel fra Encyclopedia of Mathematics . K. A. Zhevlakov