Gaussisk konstant (matematik)

Gaussisk konstant (betegnelse - G) - en matematisk konstant er defineret som den reciproke af den aritmetisk-geometriske middelværdi af et par tal, nemlig fra enhed og kvadratroden af 2 :

G={\frac {1}{\operatørnavn {agm} \left(1,{\sqrt {2}}\right)))=0,8346268\dots

(sekvens A014549 i OEIS )

Konstanten er opkaldt efter Carl Friedrich Gauss , som i 1799 [1] opdagede det

G={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{4))))

til

G={\frac {1}{2\pi }}\mathrm {B} \left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}}\right)

hvor Β angiver betafunktionen .

Relation til andre konstanter

Gausskonstanten kan bruges til at udtrykke gammafunktionen, når den gives et argument : ${\frac {1}{4))$

\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt {2G{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}

Som et alternativ,

G={\frac {\left[\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)\right]^{2}}{2{\sqrt {2\pi ^{3 }}}}}

og da og er algebraisk uafhængige , er Gauss-konstanten transcendental . $\pi$ $\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)$

Gausskonstanten kan bruges til at bestemme lemniscatkonstanter.

Gauss og andre bruger ækvivalenten [2] [3]

\varpi =\pi G

som er en lemniscatkonstant kendt i teorien om lemniscatfunktioner.

John Todd bruger dog en anden terminologi - i sin artikel kaldes tal og lemniscatkonstanter, hvoraf den første $EN$ $B$

A={\frac {\pi G}{2}}={\frac {\varpi }{2}}={\frac {1}{4}}\mathrm {B} \left({\ frac {1}{4)),{\frac {1}{2}}\right)

og den anden konstant:

B={\frac {1}{2G}}={\frac {1}{4}}\mathrm {B} \left({\frac {1}{2)),{\frac {3 }{4}}\right).

De opstår, når man finder længden af lemniscatbuen . og Theodor Schneider beviste deres transcendens i henholdsvis 1937 og 1941. [fire] $EN$ $B$

Formlen, der udtrykker G i form af Jacobi theta-funktionerne, er som følger:

G=\vartheta _{01}^{2}\left(e^{-\pi }\right)

Der er også serierepræsentationer med hurtig konvergens, såsom følgende:

G={\sqrt[{4}]{32}}e^{-{\frac {\pi }{3}}}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{-2n\pi (3n+1)}\højre)^{2}.

Konstanten kan også udtrykkes som et uendeligt produkt

G=\prod _{m=1}^{\infty }\tanh ^{2}\left({\frac {\pi m}{2}}\right).

Denne konstant viser sig i evalueringen af integralerne

{\frac {1}{G}}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {\sin(x))\,dx=\int _ {0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {\cos(x)))\,dx

{\displaystyle G=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{\sqrt {\cosh(\pi x)))))

Repræsenterer en konstant som en fortsat brøk:

G=[0,1,5,21,3,4,14,1,1,1,1,1,3,1,15,1,3,8,36,1,2,5, 2,1,1,2,2,6,9,1,1,1,3,1,\prikker ].

(sekvens A053002 i OEIS )

↑ Nielsen, Mikkel Slot. Bachelor konveksitet: problemer og løsninger. - Juli 2016. - S. 162. - ISBN 9789813146211 .
↑ Kobayashi, Hiroyuki & Takeuchi, Shingo (2019), Anvendelser af generaliserede trigonometriske funktioner med to parametre
↑ Asai, Tetsuya (2007), elliptiske gaussummer og Hecke L-værdier ved s=1
↑ Todd, John The lemniscate konstanter . A.C.M. D.L. (1975). Hentet 19. juli 2021. Arkiveret fra originalen 19. juli 2021. (ubestemt)

Transcendental ,
sandsynligvis transcendental

Andet hele

Andre numre