Fibonacci-tal

Fibonacci-tal (stavning - Fibonacci [2] ) - elementer i en numerisk rækkefølge

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 10746, … i OEIS ),

hvor de to første tal er 0 og 1, og hvert efterfølgende tal er lig med summen af de to foregående tal [3] . Opkaldt efter middelaldermatematikeren Leonardo af Pisa (kendt som Fibonacci ) [4] .

Sandt nok i nogle bøger, især i ældre[ hvad? ] , udelades udtrykket lig med nul — så starter Fibonacci-sekvensen med [5] [6] . $F_{0}$ $F_{1}=F_{2}=1$

Mere formelt er sekvensen af Fibonacci-tal givet ved en lineær gentagelsesrelation : $\{F_{n}\}$

{\displaystyle F_{0}=0,\quad F_{1}=1,\quad F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2))

, hvor .

\ n\geqslant 2,\ n\i \mathbb {Z}

Nogle gange betragtes Fibonacci-tal også for negative værdier som en tosidet uendelig sekvens, der opfylder den samme gentagelsesrelation. Følgelig er udtryk med negative indeks lette at opnå ved at bruge den tilsvarende "bagudgående" formel : $n$ $F_{n}=F_{n+2}-F_{n+1}$

n	…	−10	−9	−8	−7	−6	−5	−4	−3	−2	−1	0	en	2	3	fire	5	6	7	otte	9	ti	…
$F_{n}$	…	−55	34	−21	13	−8	5	−3	2	−1	en	0	en	en	2	3	5	otte	13	21	34	55	…

Det er let at se det . ${\displaystyle F_{-n}=(-1)^{n+1}F_{n))$

Oprindelse

Fibonacci-sekvensen var velkendt i det gamle Indien [7] [8] [9] , hvor den blev brugt i metriske videnskaber ( prosodi , med andre ord versifikation) meget tidligere, end den blev kendt i Europa [8] [10] [ 11] .

Et mønster med længden n kan konstrueres ved at lægge S til et mønster med længden n − 1 , eller L til et mønster med længden n − 2 — og prosodister har vist, at antallet af mønstre med længden n er summen af de to foregående tal i rækkefølgen [9] . Donald Knuth diskuterer denne effekt i The Art of Programming .

I Vesten blev denne sekvens udforsket af Leonardo af Pisa, kendt som Fibonacci , i hans værk The Book of the Abacus (1202) [12] [13] . Han betragter udviklingen af en idealiseret (biologisk urealistisk) population af kaniner, hvor betingelserne er som følger: indledningsvis givet et nyfødt par kaniner (han og hun); fra den anden måned efter deres fødsel begynder kaniner at parre sig og producerer desuden et nyt par kaniner hver måned; kaniner dør aldrig [14] [15] , og fremsætter antallet af kaninpar på et år som den ønskede værdi.

I begyndelsen af den første måned er der kun ét nyfødt par (1) .
I slutningen af den første måned, stadig kun et par kaniner, men allerede parret (1).
I slutningen af den anden måned føder det første par et nyt par og parrer sig igen (2).
I slutningen af den tredje måned føder det første par endnu et nyt par og parrer sig, det andet par parrer sig kun (3).
I slutningen af den fjerde måned føder det første par endnu et nyt par og parrer sig, det andet par føder et nyt par og parrer sig, det tredje par parrer sig kun (5).

Ved udgangen af den . måned vil antallet af par kaniner være lig med antallet af par i den foregående måned plus antallet af nyfødte par, hvilket vil være det samme som antallet af par for to måneder siden, dvs. [16] . Dette problem kan også have været det første til at modellere eksponentiel befolkningstilvækst . $n$ ${\displaystyle F_{n}=F_{n-2}+F_{n-1))$

Navnet "Fibonacci-sekvens" blev først brugt af det 19. århundredes teoretiker Eduard Lucas [17] .

Binets formel

Binets formel udtrykker eksplicit værdien som en funktion af n : $F_{n}$

F_{n}={\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\ varphi -(-\varphi )^{-1}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{2\varphi -1}},

hvor - det gyldne snit og og er rødderne til den karakteristiske ligning Generelt findes der en lignende formel for enhver lineær tilbagevendende sekvens , som er Fibonacci-sekvensen. $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ $\varphi$ $(-\varphi )^{-1}=1-\varphi$ $x^{2}-x-1=0.$

Begrundelse

[atten]

Lad os transformere den karakteristiske ligning til formen, gange begge dele med : - og erstatte i denne sum med , hvilket vi kan gøre i kraft af den karakteristiske ligning. Vi får Så fortsætter vi med at gange med og transformere , efter den oprindelige ligning: $x^{2}-x-1=0$ $x^{2}=x+1,$ $x$ $x^{3}=x^{2}+x$ $x^{2}$ $x+1$ $x^{3}=x^{2}+x=(x+1)+x=2x+1.$ $x$ $x^{2}$

${\begin{aligned}x^{4}&=2x^{2}+x=2(x+1)+x=\\&=3x+2,\\x^{5}&= 3x^{2}+2x=3(x+1)+2x=\\&=5x+3,\\x^{6}&=5x^{2}+3x=5(x+1)+3x =\\&=8x+5,\\x^{7}&=8x^{2}+5x=8(x+1)+5x=\\&=13x+8,\\&\cdots \end {aligned}}$

Der dannes således en generel ligning: For at gøre denne ligning til en sand lighed og herfra udtrykke selve Fibonacci-tallene, skal du erstatte rødderne og $x^{n}=F_{n}x+F_{n-1}.$ $\varphi$ $-\varphi ^{-1}\colon$

${\begin{cases}\varphi ^{n}=F_{n}\varphi +F_{n-1},\\(-\varphi )^{-n}=-F_{n}\varphi ^{-1}+F_{n-1},\end{cases}}$

$\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}=F_{n}[\varphi -(-\varphi )^{-1}],\qquad \varphi ^{n}+ (-\varphi )^{-n}\cdot \varphi ^{2}=F_{n-1}(1+\varphi ^{2}),$

$\color {Sort}{\tfrac {1}{\sqrt {5}}}\left(({\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}})^{n}- ({\tfrac {1-{\sqrt {5}}}{2}})^{n}\right)=F_{n},\qquad {\tfrac {1}{\sqrt {5}}}\ venstre(({\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}})^{n-1}-({\tfrac {1-{\sqrt {5}}}{2}})^ {n-1}\right)=F_{n-1}.$

Sammenhæng og generalisering

Det følger af Binet-formlen, at tallet for alle er en afrunding , det vil sige især for asymptotikerne $n\geqslant 0$ $F_{n}$ ${\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}},$ $F_{n}=\left\lfloor {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}\right\rceil .$ $n\til\infty$ $F_{n}\sim {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}.$

Binets formel kan analytisk fortsættes som følger:

F_{z}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left(\varphi ^{z}-{\frac {\cos {\pi z}}{\varphi ^{z}}} \ret).

I dette tilfælde gælder forholdet for ethvert komplekst tal z . $F_{z+2}=F_{z+1}+F_{z}$

Identiteter

$F_{1}+F_{2}+F_{3}+\dots +F_{n}=F_{n+2}-1.$ [tyve]

Bevis

Vi beviser formlen ved induktion på n :

Grundlag for induktion: $n=0\colon$

$F_{0}=F_{2}-1=0.$

Induktionstrin: lad udsagnet for er sandt: $n$

$F_{1}+F_{2}+F_{3}+...+F_{n}=F_{n+2}-1.$

Så skal vi bevise påstanden for $n+1\colon$

$F_{1}+F_{2}+F_{3}+...+F_{n}+F_{n+1}=F_{n+3}-1.$

Vi lægger ud på og

F_{n+3}

F_{n+2}

F_{n+1}\colon

F_{1}+F_{2}+F_{3}+...+F_{n}+F_{n+1}=F_{n+2}+F_{n+1}-1

Vi forkorter begge dele med

F_{n+1}\colon

F_{1}+F_{2}+F_{3}+...+F_{n}=F_{n+2}-1,

Q.E.D. ∎

$F_{1}+F_{3}+F_{5}+\dots +F_{2n-1}=F_{2n}.$ [20] [21]

Bevis

Vi beviser formlen ved induktion på n :

Grundlag for induktion: $n=1\colon$

$F_{1}=F_{2}=1.$

Induktionstrin: Lad udsagnet være sandt: $n$

$F_{1}+F_{3}+F_{5}+\dots +F_{2n-1}=F_{2n}.$

Så skal vi bevise påstanden for $n+1\colon$

$F_{1}+F_{3}+F_{5}+\dots +F_{2n-1}+F_{2n+1}=F_{2n+2}.$

Vi lægger ud på og

F_{2n+2}

F_{2n+1}

F_{2n}\colon

F_{1}+F_{3}+F_{5}+\dots +F_{2n-1}+F_{2n+1}=F_{2n+1}+F_{2n}.

Vi forkorter begge dele med

F_{2n+1}\colon

F_{1}+F_{3}+F_{5}+\dots +F_{2n-1}=F_{2n}.

Q.E.D. ∎

$F_{2}+F_{4}+F_{6}+\dots +F_{2n}=F_{2n+1}-1.$ [20] [22]

Denne identitet kan bevises ved at trække den første fra den anden:

{\begin{alignedat}{2}(F_{1}+F_{2}+\dots +F_{{\color {Red}2}n})-(F_{1}+F_{3} +\dots +F_{2n-1})&=F_{{\color {Red}2}n+2}-1-F_{2n},\\F_{2}+F_{4}+\dots + F_{2n}&=F_{2n+1}-1.\\\end{aligned}}

$F_{n+1}F_{n+2}-F_{n}F_{n+3}=(-1)^{n}.$ [23]
$F_{1}^{2}+F_{2}^{2}+F_{3}^{2}+\dots +F_{n}^{2}=F_{n}F_{n+ one }$ (se fig.).
$F_{n}^{2}+F_{n+1}^{2}=F_{2n+1}.$ [tyve]
$F_{2n}=F_{n+1}^{2}-F_{n-1}^{2}.$ [tyve]
$F_{3n}=F_{n+1}^{3}+F_{n}^{3}-F_{n-1}^{3}.$ [24]
$F_{5n}=25F_{n}^{5}+25(-1)^{n}F_{n}^{3}+5F_{n}.$
$F_{n+1}=C_{n}^{0}+C_{n-1}^{1}+C_{n-2}^{2}+\dots$ [25] , hvor er binomiale koefficienter . $C_{n}^{k}$

Og mere generelle formler:

$F_{n+m}=F_{n-1}F_{m}+F_{n}F_{m+1}=F_{n+1}F_{m+1}-F_{n-1 }F_{m-1}.$ [26]
$F_{(k+1)n}=F_{n-1}F_{kn}+F_{n}F_{kn+1}.$
$F_{n}=F_{l}F_{n-l+1}+F_{l-1}F_{nl}.$
Fibonacci-tallene er repræsenteret ved værdierne af kontinuanterne på et sæt enheder: dvs. $F_{n+1}=K_{n}(1,\dots ,1),$ $F_{n+1}=\det {\begin{pmatrix}1&1&0&\cdots &0\\-1&1&1&\ddots &\vdots \\0&-1&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots & \ddots &\ddots &1\\0&\cdots &0&-1&1\end{pmatrix}}$ , såvel som $\ F_{n+1}=\det {\begin{pmatrix}1&i&0&\cdots &0\\i&1&i&\ddots &\vdots \\0&i&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &i\\0&\cdots &0&i&1\end{pmatrix}},$

hvor matricerne har størrelse og hvor i er den imaginære enhed .

n\ gange n

Fibonacci-tal kan udtrykkes i form af Chebyshev-polynomier : $F_{n+1}=(-i)^{n}U_{n}\venstre({\frac {-i}{2}}\right),$ $F_{2n+2}=U_{n}\venstre({\frac {3}{2}}\højre).$
For enhver n , ${\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n- 1}\end{pmatrix}}.$
Som en konsekvens giver optælling af determinanterne Cassini-identiteten : [27] [28]

(-1)^{n}=F_{n+1}F_{n-1}-F_{n}^{2}.

Forbundet med Cassinis lighed er en mere generel udtalelse opkaldt efter Eugène Catalan : $F_{n}^{2}-F_{nr}F_{n+r}=(-1)^{nr}F_{r}^{2}.$

$F_{n+1}={\frac {F_{n}+{\sqrt {5F_{n}^{2}+4(-1)^{n)))){2)).$
Denne erklæring er afledt af Cassini-identiteten ved hjælp af det grundlæggende forhold mellem Fibonacci-tal: ${\displaystyle (-1)^{n}=F_{n+1}(F_{n+1}-F_{n})-F_{n}^{2))$ $\Langvenstrehøjrepil$ $0={\color {Rød}F_{n+1}}^{2}-{\color {Rød}F_{n+1}}F_{n}-(F_{n}^{2} +(-1)^{n}).$

Egenskaber

Den største fælles divisor af to Fibonacci-tal er lig med Fibonacci-tallet med indeks lig med den største fælles divisor af indeksene, dvs. $(F_{m},F_{n})=F_{(m,n)}.$
- $F_{m}$ er deleligt med hvis og kun hvis det er deleligt med (undtagen ). Især er deleligt med (det vil sige er lige) kun for er deleligt med kun for er deleligt med kun for osv. $F_{n}$ $m$ $n$ $n=2$ $F_{m}$ $F_{3}=2$ $m=3k;$ $F_{m}$ $F_{4}=3$ $m=4k;$ $F_{m}$ $F_{5}=5$ $m=5k$
- $F_{m}$ kan kun være primtal for primtal (med den ene undtagelse af ). For eksempel er tallet primtal, og dets indeks 13 er også primtal. Men selvom tallet er primtal, er tallet ikke altid primtal, og det mindste modeksempel er. Det vides ikke, om mængden af Fibonacci-tal, der er primtal, er uendelig. $m$ $m=4$ $F_{{13}}=233$ $m$ $F_{m}$ $F_{19}=4181=37\cdot 113.$
Fibonacci-talrækken er et specialtilfælde af den gensidige rækkefølge , dens karakteristiske polynomium har rødder og $x^{2}-x-1$ $\varphi$ $-{\frac {1}{\varphi )).$
Nøglen er egnede fraktioner af især det gyldne snit , ${\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}$ $\phi \colon$ $\lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\varphi .$
Summen af binomiale koefficienter på diagonalerne i Pascals trekant er Fibonacci-tal på grund af formlen $F_{n+1}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{nk \choose k}.$
I 1964 beviste J. Cohn ( JHE Cohn ) [29] at de eneste perfekte kvadrater blandt Fibonacci-tallene er Fibonacci-tallene med indeks 0, 1, 2, 12: $F_{0}=0^{2}=0,$ $F_{1}=1^{2}=1,$ $F_{2}=1^{2}=1,$ $F_{12}=12^{2}=144.$
Den genererende funktion af Fibonacci-talrækken er: $x+x^{2}+2x^{3}+3x^{4}+5x^{5}+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }F_{n}x^{n }={\frac {x}{1-xx^{2}}}$
- Især 1 / 998,999 = 0,00 100 100 200 300 500 8 0 13 0 21 … _ _
Sættet af Fibonacci-tal falder sammen med sættet af ikke-negative værdier af polynomiet $z(x,y)=2xy^{4}+x^{2}y^{3}-2x^{3}y^{2}-y^{5}-x^{4}y +2y$

på mængden af ikke-negative heltal x og y [30] .

Produktet og kvotienten af to forskellige Fibonacci-numre bortset fra ét er aldrig et Fibonacci-tal.
Perioden med Fibonacci-tal modulo et naturligt tal kaldes Pisano-perioden og betegnes med . Pisano-perioder danner en sekvens: $n$ $\pin)$ $\pin)$ 1, 3, 8, 6, 20, 24, 16, 12, 24, 60, 10, 24, 28, 48, 40, 24, 36, … (sekvens A001175 i OEIS ).
- Især de sidste cifre i Fibonacci-tal danner en periodisk sekvens med et punktum , det sidste par cifre af Fibonacci-tal danner en sekvens med et punktum , de sidste tre cifre - med et punktum, de sidste fire - med et punktum, sidste fem - med menstruation mv. $\pi (10)=60$ $\pi (100)=300$ $\pi (1000)=1500,$ $\pi (10000)=15000,$ $\pi (100000)=150000$
Et naturligt tal er et Fibonacci-tal, hvis og kun hvis eller er et kvadrat [31] . $N$ $5N^{2}+4$ $5N^{2}-4$
Der er ingen aritmetisk progression af længde større end 3, bestående af Fibonacci-tal [32] .
Fibonacci-tallet er lig med antallet af tupler med længden n af nuller og ener, der ikke indeholder to tilstødende. I dette tilfælde er det lig med antallet af sådanne tuples startende fra nul og - startende fra en. $F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}$ $F_{{n+1}}$ $F_{n}$
Produktet af ethvert på hinanden følgende Fibonacci-tal er deleligt med produktet af de første Fibonacci-tal. $n$ $n$
Den uendelige sum af de reciproke af Fibonacci-tallene konvergerer, dens sum ("den reciproke af Fibonacci-konstanten ") er 3,359884...

Variationer og generaliseringer

tribonacci tal
Fibonacci-tal er et specialtilfælde af Lucas-sekvenser . $F_{n}=U_{n}(1,-1)$
- Desuden er deres komplement Lucas-tallene . $L_{n}=V_{n}(1,-1)$

I andre områder

Der er en opfattelse af, at næsten alle udsagn, der finder Fibonacci-tal i naturlige og historiske fænomener, er forkerte - dette er en almindelig myte, som ofte viser sig at være en upræcis tilpasning til det ønskede resultat [34] [35] .

I naturen

Phyllotaxis (bladarrangement) hos planter beskrives ved Fibonacci-sekvensen, hvis bladene (knopperne) på en etårig vækst (skud, stængel) har det såkaldte spiralbladsarrangement. I dette tilfælde er antallet af successivt arrangerede blade (knopper) i en spiral plus én, såvel som antallet af komplette omdrejninger af spiralen omkring den årlige vækstakse (skud, stængel) normalt udtrykt ved de første Fibonacci-tal.
Solsikkefrø , kogler , blomsterblade , ananasceller er også arrangeret efter Fibonacci-sekvensen [ 36] [37] [38] [39] .

I kunst

I poesi findes forholdet mellem det "gyldne snit" (gyldne forhold) oftere, forbundet gennem Binet-formlen med Fibonacci-tallene. For eksempel i Sh. Rustavelis digt " Ridderen i panterens hud " og i malerier af kunstnere [40] .

Fibonacci-numre findes dog både direkte i poesi og i musik [41]

I kodning

I kodningsteorien foreslås stabile såkaldte " Fibonacci-koder " [42] , og bunden af disse koder er et irrationelt tal.

Se også

Noter

↑ John Hudson Tiner. Udforsk matematikkens verden: Fra gamle optegnelser til de seneste fremskridt inden for computere . - New Leaf Publishing Group, 200. - ISBN 978-1-61458-155-0 . (Russisk)
↑ Se for eksempel T. V. Kropotova, V. G. Podolsky, P. E. Kashargin. Introduktion til højere matematik. — Kazan Federal University Institute of Physics.
↑ Lucas, 1891 , s. 3.
↑ Fibonacci-numre // Great Soviet Encyclopedia : [i 30 bind] / kap. udg. A. M. Prokhorov . - 3. udg. - M . : Sovjetisk encyklopædi, 1969-1978.
↑ Beck & Geoghegan (2010) .
↑ Bona, 2011 , s. 180.
↑ Goonatilake, Susantha (1998), Toward a Global Science , Indiana University Press, s. 126, ISBN 978-0-253-33388-9 , < https://books.google.com/books?id=SI5ip95BbgEC&pg=PA126 >
↑ 1 2 Singh, Parmanand (1985), De såkaldte Fibonacci-numre i det antikke og middelalderlige Indien , Historia Mathematica bind 12(3):229-244 , DOI 10.1016/0315-0860(85)90021-7
↑ 1 2 Knuth, Donald (2006), The Art of Computer Programming , bd. 4. Generering af alle træer - History of Combinatorial Generation, Addison-Wesley, s. 50, ISBN 978-0-321-33570-8 , < https://books.google.com/books?id=56LNfE2QGtYC&pg=PA50&dq=rhythms >
↑ Knuth, Donald (1968), The Art of Computer Programming , bind. 1, Addison Wesley, s. 100, ISBN 978-81-7758-754-8 , < https://books.google.com/books?id=MooMkK6ERuYC&pg=PA100 >
↑ Livio, 2003 , s. 197.
↑ Pisano, 2002 , s. 404-405.
↑ Fibonacci's Liber Abaci (Beregningsbog) . University of Utah (13. december 2009). Dato for adgang: 28. november 2018. (ubestemt)
↑ Hemenway, Priya. Guddommelig proportion : Phi i kunst, natur og videnskab . - New York: Sterling, 2005. - S. 20-21 . — ISBN 1-4027-3522-7 .
↑ Knott, Dr. Ron Fibonacci-tallene og det gyldne afsnit i naturen - 1 . University of Surrey (25. september 2016). Dato for adgang: 27. november 2018. (ubestemt)
↑ Knott, Ron Fibonacci's kaniner . University of Surrey Fakultet for Ingeniørvidenskab og Fysiske Videnskaber. (ubestemt)
↑ Gardner, Martin (1996), Mathematical Circus , The Mathematical Association of America, s. 153, ISBN 978-0-88385-506-5
↑ Kunsten at løse problemer . artofproblemsolving.com . Hentet: 9. maj 2021. (ubestemt)
↑ Fibonacci-numre // Encyclopedic Dictionary of a Young Mathematician / Comp. Savin A.P. - 2. udg. - M . : Pædagogik , 1989. - S. 312-314. — 352 s. — ISBN 5715502187 .
↑ 1 2 3 4 5 Sætningen er angivet i denne fil . (ubestemt)
↑ Punkt 23 . (ubestemt)
↑ Punkt 24 . (ubestemt)
↑ Følge af punkt 36 . (ubestemt)
↑ Punkt 30 . (ubestemt)
↑ 64 . (ubestemt)
↑ Punkt 55 . (ubestemt)
↑ bevis for Cassinis identitet . planetmath.org . Dato for adgang: 30. maj 2021. (ubestemt)
↑ Cassini-identiteten . (ubestemt)
↑ JHE Cohn . Firkantede Fibonacci-tal osv ., s. 109-113. Arkiveret fra originalen den 11. juli 2010. Hentet 1. juli 2010.
↑ P. Ribenboim. The New Book of Prime Number Records . - Springer, 1996. - S. 193.
↑ Ira Gessel. Opgave H-187 // Fibonacci Kvartalsvis. - 1972. - T. 10 . - S. 417-419 .
↑ V. Serpinsky . Opgave 66 // 250 Opgaver i elementær talteori . - M . : Uddannelse, 1968. - 168 s.
↑ Hutchison, Luke. Growing the Family Tree: The Power of DNA in Reconstructing Family Relationships // Proceedings of the First Symposium on Bioinformatics and Biotechnology (BIOT-04): tidsskrift. - 2004. - September.
↑ Fibonacci Flim-Flam . Arkiveret 23. april 2012 på Wayback Machine .
↑ Myten, der ikke vil forsvinde .
↑ Det gyldne snit i naturen .
↑ Fibonacci-tal .
↑ Fibonacci-tal .
↑ Akimov O.E. Videnskabens ende .
↑ Voloshinov A. V. Matematik og kunst. Moskva: Uddannelse, 2000. 400 s. ISBN 5-09-008033-X
↑ Matematik i poesi og musik
↑ Stakhov A., Sluchenkova A., Shcherbakov I. Da Vinci-koden og Fibonacci-serien. SPB. Forlag: Piter, 2006. 320 s. ISBN 5-469-01369-3

Litteratur

N. N. Vorobyov. Fibonacci-tal . - Nauka, 1978. - T. 39. - ( Populære forelæsninger om matematik ).
A. I. Markushevich. returnere sekvenser . - Fru. Forlaget for teknisk og teoretisk litteratur, 1950. - Vol. 1. - ( Populære forelæsninger om matematik ).
A. N. Rudakov. Fibonacci-tal og enkeltheden af tallet 2 127 − 1 // Matematisk uddannelse , tredje serie. - 2000. - T. 4 .
Donald Knuth . The Art of Computer Programming, bind 1. Basic Algorithms = The Art of Computer Programming, vol. 1. Grundlæggende algoritmer. - 3. udg. - M . : "Williams" , 2006. - S. 720. - ISBN 0-201-89683-4 .
Donald Knuth , Ronald Graham , Oren Patashnik . konkret matematik. Grundlaget for Datalogi = Konkret Matematik. En fond for datalogi. — M .: Mir ; Binomial. Knowledge Lab , 2006. - S. 703. - ISBN 5-94774-560-7 .
Grant Arakelyan. Matematik og historien om det gyldne snit. — M.: Logos, 2014. — S. 404. — ISBN 978-5-98704-663-0 .
Ball, Keith M (2003), 8: Fibonacci's Rabbits Revisited, Strange Curves, Counting Rabbits, and Other Mathematical Explorations , Princeton, NJ: Princeton University Press , ISBN 978-0-691-11321-0 .
Beck, Matthias & Geoghegan, Ross (2010), The Art of Proof: Basic Training for Deeper Mathematics , New York: Springer, ISBN 978-1-4419-7022-0 .
Bóna, Miklós (2011), A Walk Through Combinatorics (3. udgave), New Jersey: World Scientific, ISBN 978-981-4335-23-2 .
- Bóna, Miklós (2016), A Walk Through Combinatorics (4. reviderede udgave), New Jersey: World Scientific, ISBN 978-981-3148-84-0 .
Lemmermeyer, Franz (2000), Reciprocity Laws: From Euler to Eisenstein , Springer Monographs in Mathematics, New York: Springer, ISBN 978-3-540-66957-9 .
Livio, Mario . The Golden Ratio: Historien om Phi , verdens mest forbløffende tal . — Første handel paperback. — New York City: Broadway Books, 2003. - ISBN 0-7679-0816-3 .
Lucas, Édouard (1891), Théorie des nombres , bd. 1, Paris: Gauthier-Villars, Théorie des nombres in Google Books , < https://archive.org/details/thoriedesnombr01lucauoft > .
Pisano, Leonardo (2002), Fibonacci's Liber Abaci: A Translation into Modern English of the Book of Calculation , Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, Springer, ISBN 978-0-387-95419-6

Links

De første 300 Fibonacci-numre (engelsk) .
Fibonacci-tal i naturen (engelsk) .

Ordbøger og encyklopædier	Stor russer Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	NDL : 00923391

Sekvenser og rækker
Sekvenser	Numerisk rækkefølge Grundlæggende rækkefølge Lineær tilbagevendende sekvens Fibonacci-tal krøllede tal Faktoriel Barker-sekvens de bruijn rækkefølge
Rækker, grundlæggende	Rækkesum Resten af rækken Betinget konvergens Skiftende serie Række multisektion
Talserier ( operationer med talserier )	harmoniske serier Leibniz-serien En række omvendte firkanter En række gensidige primtal Dirichlet række Mercator serien Række Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funktionelle rækker	Taylor-serien Laurent-serien Fourier-serien Trigonometrisk Fourier-serie trigonometriske serier Wiener-serien
Andre rækketyper	Neumann-serien Puiseux række