Luke sekvens

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 3. oktober 2020; verifikation kræver 1 redigering .

I matematik er Lucas-sekvenser en familie af par af andenordens lineære tilbagevendende sekvenser , først betragtet af Edouard Luca .

Lucas-sekvenser er par af sekvenser og opfylder den samme gentagelsesrelation med koefficienterne P og Q : $\{U_{n}(P,Q)\}$ $\{V_{n}(P,Q)\}$

U_{0}(P,Q)=0,\quad U_{1}(P,Q)=1,\quad U_{n+2}(P,Q)=P\cdot U_{n+ 1 }(P,Q)-Q\cdot U_{n}(P,Q),\,n\geq 0

V_{0}(P,Q)=2,\quad V_{1}(P,Q)=P,\quad V_{n+2}(P,Q)=P\cdot V_{n+ 1 }(P,Q)-Q\cdot V_{n}(P,Q),\,n\geq 0

Eksempler

Nogle Luke-sekvenser har deres egne navne:

$\{U_{n}(1,-1)\}$ - Fibonacci-tal
$\{V_{n}(1,-1)\}$ - Lucas numre
$\{U_{n}(2,-1)\}$ — Pell-numre
$\{V_{n}(2,-1)\}$ - Pell-Luc numre
$\{U_{n}(3,2)\}$ - Mersenne-numre
$\{V_{2^{n}}(3,2)\}$ — Fermat-numre
$\{U_{n}(1,-2)\}$ er Jacobstahl-numrene
$\{U_{n}(2x,1)\}$ — Chebyshev-polynomier af anden art
${\displaystyle \{V_{n}(2x,1)\))$ — Chebyshev polynomier af den første slags ganget med 2

Eksplicitte formler

Det karakteristiske polynomium af Lucas-sekvenser er : $\{U_{n}(P,Q)\}$ $\{V_{n}(P,Q)\}$

x^{2}-P\cdot x+Q.

Dens diskriminant antages at være ikke-nul. Rødder af det karakteristiske polynomium $D=P^{2}-4Q$

\alpha ={\frac {P+{\sqrt {D}}}{2}}

og

\beta ={\frac {P-{\sqrt {D}}}{2}}

kan bruges til at opnå eksplicitte formler:

U_{n}(P,Q)={\frac {\alpha ^{n}-\beta ^{n)){\alpha -\beta ))={\frac {\alpha ^{n} -\beta ^{n}}{\sqrt {D}}}

og

V_{n}(P,Q)=\alpha ^{n}+\beta ^{n}.

Vieta-formler kan også udtrykkes i formen : $P$ $Q$

P=\alpha +\beta ,

Q=\alpha \cdot \beta .

Degenereret kasus

Diskriminanten forsvinder for et eller andet antal . I dette tilfælde og henholdsvis: $D$ $P=2S,Q=S^{2}$ $S$ $\alpha =\beta =S$

U_{n}(2S,S^{2})=nS^{n-1},

V_{n}(2S,S^{2})=2S^{n}.

Egenskaber

{\displaystyle DU_{n}=V_{n+1}-QV_{n-1}=2V_{n+1}-PV_{n))

{\displaystyle V_{n}=U_{n+1}-QU_{n-1}=2U_{n+1}-PU_{n))

U_{n+m}=U_{n}U_{m+1}-QU_{m}U_{n-1}={\frac {U_{n}V_{m}+U_{m}V_ {n}}{2}}

{\displaystyle V_{n+m}=V_{n}V_{m}-Q^{m}V_{nm))

U_{2n}=U_{n}V_{n}={\frac {U_{n+1}^{2}-Q^{2}U_{n-1}^{2}}{P }}

V_{2n}=V_{n}^{2}-2Q^{n}

U_{2n+1}=U_{n+1}^{2}-QU_{n}^{2}

Links

V. P. Palamodov. På polynomier, der danner en tilbagevendende sekvens af 2. orden // Matematisk uddannelse . Anden serie. - 1957. - Udgave. 1 . — S. 139-147 .
Grant Arakelyan . Matematik og historie om det gyldne snit . — M.: Logos, 2014, 404 s. - ISBN 978-5-98704-663-0.