Binomial koefficient

Den binomiale koefficient er koefficienten foran udtrykket i udvidelsen af Newton binomialet i potenser af . Koefficienten ved er angivet eller og læser "binomial koefficient fra ved " (eller "antal kombinationer fra ved "): $(1+x)^{n}$ $x$ $x^{k}$ $\tekststil {\binom {n}{k))$ $\tekststil C_n^k$ $n$ $k$ $n$ $k$

(1+x)^{n}={\binom {n}{0}}+{\binom {n}{1}}x+{\binom {n}{2}}x^{2} +\ldots +{\binom {n}{n}}x^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}

for naturlige kræfter . $n$

Binomiale koefficienter kan også defineres for vilkårlige reelle eksponenter . I tilfælde af et vilkårligt reelt tal er de binomiale koefficienter defineret som koefficienterne for udvidelsen af et udtryk til en uendelig potensrække : $n$ $n$ $(1+x)^{n}$

{\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {n}{k))x^{k))

hvor, i tilfælde af ikke-negative heltal , alle koefficienter for at forsvinde, og derfor er denne udvidelse en endelig sum. $n$ $\tekststil {\binom {n}{k))$ $k>n$

I kombinatorik er den binomiale koefficient for ikke-negative heltal og fortolket som antallet af kombinationer af med , det vil sige som antallet af alle (ikke-strenge) delmængder ( stikprøver ) af størrelse i et -elementsæt . $\tekststil {\binom {n}{k))$ $n$ $k$ $n$ $k$ $k$ $n$

Binomiale koefficienter opstår ofte i problemer i kombinatorik og sandsynlighedsteori . En generalisering af binomiale koefficienter er multinomiale koefficienter .

Eksplicitte formler

Ved at beregne koefficienterne i potensrækkeudvidelsen kan man få eksplicitte formler for de binomiale koefficienter . $(1+x)^{n}$ $\tekststil {\binom {n}{k))$

For alle reelle tal og heltal : $n$ $k$

{\binom {n}{k}}={\begin{cases}{\frac {n(n-1)(n-2)\cdot \ldots \cdot (n-k+1)}{ k!}},&k\geqslant 0\\0,&k<0\end{cases}}

hvor angiver faktoren af . $k!$ $k$

For ikke-negative heltal og formlerne er også gyldige: $n$ $k$

{\binom {n}{k}}={\begin{cases}{\frac {n!}{k!(nk)!}}),&0\leqslant k\leqslant n\\0,&k > n\end{cases}}

For heltals negative eksponenter er de binomiale ekspansionskoefficienter : $(1+x)^{-n}$

{\binom {-n}{k}}={\begin{cases}(-1)^{k}\cdot {\frac {(n+k-1)!}{k!(n- 1)!}},&k\geqslant 0\\0,&k<0\end{cases}}

Pascals trekant

Identitet:

{n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}

giver dig mulighed for at arrangere de binomiale koefficienter for ikke-negative heltal , i form af Pascals trekant, hvor hvert tal er lig med summen af to højere: $n$ $k$

{\begin{matrix}n=0:&&&&&1&&&&\\n=1:&&&&1&&1&&&\\n=2:&&&1&&2&&1&&\\\n=3:&&1&&3&&3&&1&\\n=4:&1&&4&4&6&&4&&ts &\ts &vs \vdots &&\vdots &\end{matrix}}

Den trekantede tabel foreslået af Pascal i hans Afhandling om den aritmetiske trekant (1654) adskiller sig fra den, der er skrevet her, ved en drejning på 45°. Tabeller til visning af binomiale koefficienter var kendt før ( Tartaglia , Omar Khayyam ).

Hvis i hver linje i Pascals trekant alle tallene er divideret med (dette er summen af alle tallene på linjen ), så vil alle linjerne, når de går til det uendelige, have form af en normalfordelingsfunktion . $2^{n}$ $n$

Egenskaber

Generering af funktioner

For en fast værdi er den genererende funktion af sekvensen af binomiale koefficienter : $n$ ${\tbinom {n}{0)),\;{\tbinom {n}{1)),\;{\tbinom {n}{2)),\dots$

\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {n}{k}}x^{k}=(1+x)^{n}

For en fast værdi er den genererende funktion af koefficientsekvensen : $k$ ${\tbinom {0}{k)),\;{\tbinom {1}{k)),\;{\tbinom {2}{k)),\dots$

\sum _{n}{\binom {n}{k}}y^{n}={\frac {y^{k}}{(1-y)^{k+1}}}

Den todimensionelle genererende funktion af de binomiale koefficienter for heltal er: $\tbinom{n}{k}$ $n,k$

\sum _{n,k}{\binom {n}{k}}x^{k}y^{n}={\frac {1}{1-y-xy}}

, eller .

\sum _{n=0}^{\infty}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}y^{n}={ \frac {1}{1-y-xy}}

Delbarhed

Af Lukas-sætningen følger det:

koefficienten er ulige i den binære notation af tallet, enheder står ikke i de cifre, hvor der er nuller i tallet; $\tekststil {\binom {n}{k))$ $\iff$ $k$ $n$
koefficienten er ikke et multiplum af et primtal i -ær repræsentation af tallet , alle bits overstiger ikke de tilsvarende bits af tallet ; $\tekststil {\binom {n}{k))$ $s$ $\iff$ $s$ $k$ $n$
i en sekvens af binomiale koefficienter : $\tekststil {\binom {n}{0)),\;{\binom {n}{1)),\;\ldots ,\;{\binom {n}{n))$
- alle tal er ikke multipla af et givet primtal kan repræsenteres som , hvor er et naturligt tal ; $s$ $\iff$ $n$ $mp^{k}-1$ $m<p$
- alle tal undtagen det første og sidste er multipla af det givne primtal ; $s$ $\iff$ $n=p^{k}$
- antallet af ulige tal er lig med potensen af to, hvis eksponent er lig med antallet af enheder i tallets binære notation ; $n$
- lige og ulige tal kan ikke være ens;
- antallet af tal, der ikke er multipla af et primtal , er lig med , hvor tallene er cifrene i tallets -ary-notation ; og tallet , hvor er kønsfunktionen , er længden af den givne post. $s$ $(a_{1}+1)\cdots (a_{m}+1)$ ${\displaystyle a_{1},\;\ldots ,a_{m))$ $s$ $n$ $\textstyle m=\lgulv \log _{p}{n}\rgulv +1$ $\lgulv\cdot\rgulv$

Grundlæggende identiteter

${n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}$ .
${\binom {n}{k}}=(-1)^{k}{\binom {-n+k-1}{k}}$ .
${n \vælg k}={n \vælg nk}$ (symmetriregel).
${n \choose k}={\frac {n}{k}}{n-1 \choose k-1}$ (parentes).
${n \choose {\color {Grøn}m}}{{\color {Grøn}m} \choose n-{\color {Grøn}k}}={n \choose {\color {Grøn}k }}{{\color {Grøn}k} \choose n-{\color {Grøn}m}}$ (udskiftning af indeks).
${\displaystyle (nk){n \choose k}=n{n-1 \choose k))$ .

Newtons binomiale og konsekvenser

${\displaystyle {n \choose 0}+{n \choose 1}+\ldots +{n \choose n}=2^{n))$ , hvor . $n\in \mathbb {N}$
$\sum _{i+j=m}{\binom {n}{j}}{\binom {n}{i}}(-1)^{j}={\begin{cases}{\ binom {n}{m/2)),&{\text{if}}\ m\equiv 0{\pmod {2)),\\0,&{\text{if}}\ m\equiv 1{ \pmod {2}}.\end{cases}}$
$\sum_{j=k}^{n} \binom{n}{j} (-1)^j = (-1)^k \binom{n-1}{k-1}$ .
${n \choose 0}-{n \choose 1}+\ldots +(-1)^{n}{n \choose n}=0$ , hvor . $n\in \mathbb {N}$
En stærkere identitet: , hvor . ${\displaystyle {n \choose 0}+{n \choose 2}+\ldots +{n \choose 2\lfloor n/2\rfloor }=2^{n-1))$ $n\in \mathbb {N}$
$\sum _{{k=-a}}^{{a}}(-1)^{{k}}{2a \choose k+a}^{3}={\frac {(3a)!}{ (a!)^{3}}}$ ,

men mere generelt

\sum _{k=-a}^{a}(-1)^{k}{a+b \choose a+k}{b+c \choose b+k}{c+a \choose c+k}={\frac {(a+b+c)!}{a!\,b!\,c!}}

Vandermonde konvolution og konsekvenser

Konvolution af Vandermonde :

{\displaystyle \sum _{k}{r \choose m+k}{s \choose nk}={r+s \choose m+n))

hvor en . Denne identitet opnås ved at beregne koefficienten ved i udvidelsen under hensyntagen til identiteten . Summen overtages alle heltal for hvilke . For vilkårlige reelle tal vil antallet af ikke-nul-led i summen være endeligt. $m,n\in \mathbb {Z} ,$ $r,s\in \mathbb {R}$ ${\displaystyle x^{m+n))$ ${\displaystyle (1+x)^{r}(1+x)^{s))$ ${\displaystyle (1+x)^{r+s}=(1+x)^{r}(1+x)^{s))$ $k$ $\textstyle {r \choose m+k}{s \choose nk}\neq 0$ $r$ $s$

Vandermonde-konvolution følger:

{n \choose 0}{a \choose a}-{n \choose 1}{a+1 \choose a}+\ldots +(-1)^{n}{n \choose n}{a+n \ vælg a}=(-1)^{n}{a \vælg n}

Mere generel identitet:

\sum _{{i=0}}^{{p}}(-1)^{i}{p \choose i}\prod _{{m=1}}^{{n}}{i+s_ {m} \choose s_{m}}=0

hvis .

\sum _{{m=1}}^{n}{s_{m}}<p

En anden konsekvens af foldning er følgende identitet: . ${\displaystyle {n \choose 0}^{2}+{n \choose 1}^{2}+\ldots +{n \choose n}^{2}={2n \choose n))$

Andre identiteter

${\frac {4}{n}}\sum _{k=1}^{n}k^{2}{\binom {2n}{n+k}}=2^{2n}$ , hvor er et naturligt tal. $n$
$\sum _{k=1}^{n}{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}{n \choose k}=\sum _{k=1}^ {n}{\frac {1}{k}}=H_{n}$ -th harmoniske tal . $n$
Seriens multisektion giver en identitet, der udtrykker summen af binomiale koefficienter med et vilkårligt trin og offset som en endelig sum af led: $(1+x)^{n}$ $s$ $t$ $(0\leqslant t<s)$ $s$

{\binom {n}{t}}+{\binom {n}{t+s}}+{\binom {n}{t+2s}}+\ldots ={\frac {1}{ s}}\sum _{j=0}^{s-1}\left(2\cos {\frac {\pi j}{s}}\right)^{n}\cos {\frac {\pi (n-2t)j}{s}}

Der er også ligheder:

{\begin{alignedat}{2}{\binom {n}{3}}&={\frac {n(n-1)(n-2)}{\color {Grøn}2}}- \sum _{i=2}^{n-1}{(ni)(n-i+1)}=\\&=n(n-1)(n-2)-\sum _{i=2 }^{n-1}{(ni)({\color {Grøn}2}n-i+1)}=\\&=3{\binom {n}{3}}-2{\binom {n }{3}};\\\end{aligned}}

{\begin{aligned}{2}{\binom {n}{4}}&={\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{\color {Grøn }2}}-\sum _{i=3}^{n-1}{(ni)\left(n(n-1)-\sum _{i_{0}=1}^{i-2} i_{0}\right)}=\\&=n(n-1)(n-2)(n-3)-\sum _{i=3}^{n-1}{(ni)\venstre ({\color {Grøn}2}n(n-1)-\sum _{i_{0}=1}^{i-2}i_{0}\right)}=\\&=24{\binom {n}{4}}-23{\binom {n}{4}};\\\end{aligned}}

{\begin{aligned}{2}{\binom {n}{5}}&={\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)} {\farve {Grøn}2}}-\\&-\sum _{i=4}^{n-1}{(ni)\venstre(n(n-1)(n-2)-\sum _ {i_{0}=1}^{i-3}\sum _{i_{1}=1}^{i_{0}}i_{1}\right)}=\\&=n(n-1 )(n-2)(n-3)(n-4)-\\&-\sum _{i=4}^{n-1}{(ni)\venstre({\farve {Grøn}2} n(n-1)(n-2)-\sum _{i_{0}=1}^{i-3}\sum _{i_{1}=1}^{i_{0}}i_{1 }\right)}=\\&=120{\binom {n}{5}}-119{\binom {n}{5}}.\end{aligned}}

Hvor kommer det fra:

{\binom {n}{3}}={\frac {\sum \limits _{i=2}^{n-1}{(ni)(2n-i+1))){2} }={\frac {\sum \limits _{i=2}^{n-1}{(ni)\left(2A_{n}^{1}-{\binom {i-1}{1)) \right)}}{2}};

{\binom {n}{4}}={\frac {\sum \limits _{i=3}^{n-1}{(ni)\left(2n(n-1)-\sum \limits _{i_{0}=1}^{i-2}i_{0}\right)}}{23}}={\frac {\sum \limits _{i=3}^{n-1 }{(ni)\left(2A_{n}^{2}-{\binom {i-1}{2}}\right)}}{23}};

{\begin{alignedat}{2}&{\binom {n}{5}}={\frac {\sum \limits _{i=4}^{n-1}{(ni)\venstre (2n(n-1)(n-2)-\sum \limits _{i_{0}=1}^{i-3}\sum \limits _{i_{1}=1}^{i_{0 }}i_{1}\right)}}{119}}=\\&={\frac {\sum \limits _{i=4}^{n-1}{(ni)\left(2A_{n }^{3}-{\binom {i-1}{3}}\right)}}{119}};\\\end{aligned}}

{\binom {n}{k}}={\frac {\sum \limits _{i=k-1}^{n-1}{(ni)\left(2A_{n}^{k -2}-{\binom {i-1}{k-2}}\right)}}{k!-1}}

hvor er antallet af placeringer fra til . $A_{n}^{k}$ $n$ $k$

Matrix relationer

Hvis vi tager en kvadratisk matrix, tæller elementerne langs benene i Pascals trekant og roterer matricen med et hvilket som helst af de fire hjørner, så er determinanten af disse fire matricer ±1 for enhver , og determinanten for matricen med toppunktet på trekanten i øverste venstre hjørne er 1. $N$ $N$

I matricen gentager tallene på diagonalen antallet af rækker i Pascals trekant ( ). Det kan dekomponeres til et produkt af to strengt diagonale matricer: den nederste trekantede og den, der opnås fra den ved transponering: ${\begin{bmatrix}{\tbinom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}$ $i+j=\mathrm {Konst}$ $i,j=0,1,\dots$

{\begin{bmatrix}{\binom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}=UU^{T}

hvor . Den inverse matrix k har formen: $U={\begin{bmatrix}{\tbinom {i}{j}}\end{bmatrix}}$ $U$

U^{-1}={\begin{bmatrix}(-1)^{i+j}{\binom {i}{j}}\end{bmatrix}}

Det er således muligt at dekomponere den inverse matrix k til et produkt af to strengt diagonale matricer: den første matrix er øvre trekantet, og den anden opnås fra den første ved at transponere, hvilket giver os mulighed for at give et eksplicit udtryk for omvendte elementer: ${\begin{bmatrix}{\tbinom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}$

{\begin{bmatrix}{\binom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}_{{m,n}}^{{-1}}=\sum _{{k=0}} ^{{p}}(-1)^{{m+n}}{\binom {k}{m}}{\binom {k}{n}}

, hvor , , , .

jeg

j

m

n=0\dots p

Elementerne i en invers matrix ændres, når dens størrelse ændres, og i modsætning til en matrix er det ikke nok at tildele en ny række og kolonne. Matricens søjle er et gradspolynomium i argumentet , derfor danner de første p-kolonner et komplet grundlag i rummet af vektorer med længden +1, hvis koordinater kan interpoleres med et polynomium af samme eller mindre grad . Den nederste række af matricen er ortogonal til enhver sådan vektor. ${\begin{bmatrix}{\tbinom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}$ $j$ ${\begin{bmatrix}{\tbinom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}$ $j$ $jeg$ $s$ $p-1$ ${\begin{bmatrix}{\binom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}_{{m,n}}^{{-1}}$

{\begin{bmatrix}{\binom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}_{{p,n}}^{{-1}}=\sum _{{k=0}} ^{{p}}(-1)^{{p+n}}{\binom {k}{p}}{\binom {k}{n}}=(-1)^{{p+n} }{\binom {p}{n}}

\sum _{{n=0}}^{{p}}(-1)^{{p+n}}{\binom {p}{n}}{P}_{{a}}(n) =0

for , hvor er et polynomium af grad .

a<p

{Pande)

-en

Hvis en vilkårlig længdevektor kan interpoleres med et polynomium af grad , så er prikproduktet med rækker (nummereret fra 0) af matrixen nul. Ved at bruge identiteten ovenfor og enheden af prikproduktet i den nederste række af matricen og den sidste kolonne i matrixen får vi: $p+1$ $i<p$ $i+1,i+2,\prikker ,s$ ${\begin{bmatrix}{\binom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}_{{m,n}}^{{-1}}$ ${\begin{bmatrix}{\binom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}_{{m,n}}^{{-1}}$ ${\begin{bmatrix}{\tbinom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}$

\sum _{n=0}^{p}(-1)^{p+n}{\binom {p}{n}}{n}^{p}=p!

For en eksponent større kan du indstille den rekursive formel: $s$

\sum _{n=0}^{p}(-1)^{p+n}{\binom {p}{n}}{n}^{p+a}=p!{P} _{2a}(p)={f}_{a}(p)

hvor er polynomiet

{P}_{2a+2}(p)=\sum _{x=1}^{p}x{P}_{2a}(x);\quad a\geqslant 0;\quad { P}_{0}(p)=1

For at bevise det, etablerer vi først en identitet:

{f}_{a}(p+1)=\sum _{x=0}^{a}{(p+1)}^{x+1}{f}_{ax}(p )

Hvis du vil finde en formel, der ikke er for alle eksponenter, så:

{P}_{2a}(p)={\frac {p}{{2}^{a}}}{\binom {p+a}{a}}{Q}_{a-1 }(p);\quad a>0

Den højeste koefficient er 1, det vil tage a-1 værdier for at finde de andre koefficienter: ${Q}_{{a-1}}(p)$

{Q}_{{a-1}}(p)=p(p+1){T}_{{a-3}}(p)

for .

a\equiv 1{\pmod {2));a\geqslant 3

Asymptotik og skøn

${\binom {2n}{n}}\sim {\frac {2^{2n}}{\sqrt {\pi n}}}$ .
$\sum _{{k=0}}^{{m}}{\binom {n}{k}}\leqslant {\frac {n}{(n/2-m)^{2}}}2^ {{n-3}}$ at ( Chebyshevs ulighed ). $m<{\frac {n}{2))$
$\sum \limits _{{k=0}}^{{m}}{\binom {n}{k}}\leqslant 2^{{nH({\frac {m}{n}})))}$ , at ( entropi-estimat ), hvor er entropi . $m\leq {\frac {n}{2}}$ $H(x)=-x\log _{2}x-(1-x)\log _{2}(1-x)$
$\sum _{{k=0}}^{{n/2-\lambda }}{\binom {n}{k}}\leqslant 2^{n}e^{{-2\lambda ^{2} /n}}$ ( Chernovs ulighed ).

Det følger direkte af Stirlings formel , at for er sandt . $\alpha \in(0;1)$ $C_{n}^{{\alpha n}}\sim {\sqrt {{\frac {1}{2\pi \alpha (1-\alpha )n))))\venstre({{\frac {1 }{\alpha }}}\right)^{{\alpha n}}\left({{\frac {1}{1-\alpha }}}\right)^{{(1-\alpha )n} }=\venstre({{\frac {1}{\alpha ^{\alpha }{(1-\alpha )}^{{(1-\alpha )))}}+o(1)}\right) ^{{n}}$

Heltalspolynomier

De binomiale koefficienter , ... er heltalspolynomier af , det vil sige, de tager heltalsværdier for heltalsværdier på , - dette er let at forstå, for eksempel fra Pascals trekant. Desuden danner de et grundlag for heltalsbedømte polynomier, hvor alle heltalsbetydende polynomier er udtrykt som lineære kombinationer med heltalskoefficienter. [en] ${\tbinom {x}{0}}=1,{\tbinom {x}{1}}=x,{\tbinom {x}{2}}={\tfrac {x^{2}} {2}}-{\tfrac {x}{2}}$ $x$ $x$

Samtidig tillader standardgrundlaget , ... ikke at udtrykke alle heltalspolynomier, hvis der kun bruges heltalskoefficienter, da det allerede har brøkkoefficienter ved potenser af . ${\displaystyle 1,x,x^{2))$ ${\tbinom {x}{2}}={\tfrac {x^{2}}{2}}-{\tfrac {x}{2}}$ $x$

Dette resultat generaliserer til polynomier i mange variabler. Nemlig, hvis et polynomium af grad har reelle koefficienter og tager heltalsværdier for variablernes heltal, så $R(x_1; \prikker, x_m)$ $k$

R(x_{1},\dots,x_{m})=P\venstre({\binom {x_{1}}{1}},\dots,{\binom {x_{1}}{ k)),\dots ,{\binom {x_{m}}{1)),\dots ,{\binom {x_{m}}{k}}\right)

hvor er et polynomium med heltalskoefficienter. [2] $P$

Beregningsalgoritmer

De binomiale koefficienter kan beregnes ved hjælp af den rekursive formel , hvis værdierne for er gemt på hvert trin . Denne algoritme er især effektiv, hvis du har brug for at få alle værdierne for en fast . Algoritmen kræver hukommelse ( når man beregner hele tabellen med binomiale koefficienter) og tid (forudsat at hvert tal optager en hukommelsesenhed, og operationer med tal udføres pr. tidsenhed), hvor — « » er stor . ${\tbinom {n}{k}}={\tbinom {n-1}{k}}+{\tbinom {n-1}{k-1}}$ $n$ $\tbinom{n}{k}$ $k={\overline {0,1,\;\ldots ,n))$ $\tbinom{n}{k}$ $n$ $På)$ $O(n^{2})$ $O(n^{2})$ $O$ $o$

Med en fast værdi kan de binomiale koefficienter beregnes ved en rekursiv formel med en begyndelsesværdi på . Denne metode kræver hukommelse og tid til at beregne værdien . $k$ ${\tbinom {n}{k}}={\tfrac {n}{nk}}\cdot {\tbinom {n-1}{k}}$ ${\tbinom {k}{k}}=1$ $\tbinom{n}{k}$ $O(1)$ $På)$

Hvis du vil beregne koefficienterne for en fast værdi , kan du bruge formlen for startbetingelsen . Ved hvert iterationstrin reduceres tælleren med (startværdien er ), og nævneren øges tilsvarende med (startværdien er ). Denne metode kræver hukommelse og tid til at beregne værdien . $\tbinom{n}{k}$ $n$ ${\tbinom {n}{k}}={\tfrac {n-k+1}{k}}\cdot {\tbinom {n}{k-1}}$ ${\tbinom {n}{0}}=1$ $en$ $n$ $en$ $en$ $\tbinom{n}{k}$ $O(1)$ $Okay)$

Noter

↑ Prasolov V. V. Kapitel 12. Heltalsværdige polynomier // Polynomier . — M .: MTsNMO , 1999, 2001, 2003.
↑ Yu. Matiyasevich. Hilberts tiende problem. - Videnskab, 1993.

Litteratur

Binomiale koefficienter // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 bind (82 bind og 4 yderligere). - Sankt Petersborg. , 1890-1907.
Fuks D., Fuks M. Aritmetik af binomiale koefficienter // Kvant . - 1970. - Nr. 6 . - S. 17-25 .
Kuzmin OV Pascals trekant og pyramide: egenskaber og generaliseringer // Soros Educational Journal . - 2000. - T. 6 , nr. 5 . - S. 101-109 .
Lando S. K. Skyggeregning // VIII Sommerskole "Moderne matematik". - Dubna, 2008.
Vinberg E. B. Overraskende aritmetiske egenskaber ved binomiale koefficienter // Matematisk uddannelse . - 2008. - Udgave. 12 . — s. 33–42 .
Donald Knuth , Ronald Graham , Oren Patashnik . konkret matematik. Matematisk grundlag for datalogi = Konkret matematik. En fond for datalogi. - 2. — M .: Mir ; Binomial. Videnlaboratoriet ; "Williams" , 1998-2009. - 703, 784 s. — ISBN 95-94774-560-7 , 78-5-8459-1588-7.