Cassini identitet

Cassini - identiteten er en identitet, der angiver, at følgende relation gælder for det th Fibonacci-nummer : $n$

{\displaystyle F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n))

. [en]

Den catalanske identitet generaliserer dette forhold:

{\displaystyle F_{n}^{2}-F_{nr}F_{n+r}=(-1)^{nr}F_{r}^{2))

Cassini-formlen blev opdaget i 1680 [2] af Giovanni Cassini , dengang direktør for Paris Observatory, og bevist af Robert Simson i 1753. I 1879 generaliserede Eugène Catalan resultatet.

Et hurtigt bevis på Cassini-identiteten kan gives ved at repræsentere venstre side af identiteten som determinanten af en 2×2 Fibonacci-matrix, hvilket viser, at denne matrix er den te potens af en matrix med determinant −1 [1] : $n$

F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=\det \left[{\begin{matrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{ n}&F_{n-1}\end{matrix}}\right]=\det \left[{\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}}\right]^{n}=\left( \det \left[{\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}}\right]\right)^{n}=(-1)^{n}

Noter

↑ 1 2 Knuth, 1976 .
↑ R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. konkret matematik. - Moskva: Mir, 1998. - S. 324, kapitel 6.6 Fibonacci-numre.

Litteratur

D. Knut. Kunsten at programmere computer. - Moskva: Mir, 1976. - V. 1 Grundlæggende algoritmer. - S. 114 (afsnit 1.2.8).
R. Simson, H. Philip. En forklaring af en obskur passage i Albert Girards kommentar til Simon Stevins værker. - 1753. - T. 48 , Nr. 0 . — S. 368–376 . - doi : 10.1098/rstl.1753.0056 .
M. Werman, D. Zeilberger. Et bijektivt bevis på Cassinis Fibonacci-identitet // Diskret matematik . - 1986. - T. 58 , no. 1 . - S. 109 . - doi : 10.1016/0012-365X(86)90194-9 .

Cassini identitet

Noter

Litteratur

Links