Felt (algebra)

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 14. juli 2022; checks kræver 4 redigeringer .

Et felt generelt algebra er et sæt, for hvis elementer operationerne af addition , idet der tages den modsatte værdi , multiplikation og division (undtagen division med nul ) er defineret, og egenskaberne for disse operationer er tæt på egenskaberne for almindelige numeriske operationer . Det enkleste felt er feltet med rationelle tal (brøker). Elementerne i et felt er ikke nødvendigvis tal, så selvom feltoperationsnavnene er taget fra aritmetic , kan definitionerne af operationerne være langt fra aritmetiske.

Feltet er hovedfaget for studiet af feltteori . Rationelle , reelle , komplekse tal, rationelle funktioner [1] og rester modulo et givet primtal danner felter .

Historie

Inden for rammerne af begrebet et felt , arbejdede Galois implicit i 1830, ved at bruge ideen om en algebraisk udvidelse af et felt, lykkedes det ham at finde en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for, at en ligning i en variabel kunne løses i radikale . Senere, ved hjælp af Galois-teorien , blev umuligheden af at løse sådanne klassiske problemer som at kvadrere en cirkel , tredelt en vinkel og fordoble en terning bevist .

En eksplicit definition af feltbegrebet tillægges Dedekind (1871), som brugte det tyske udtryk Körper (krop). Udtrykket "felt" ( engelsk felt ) blev introduceret i 1893 af den amerikanske matematiker Eliakim Hastings Moore [2] .

Da feltet er det tætteste af alle generelle algebraiske abstraktioner på almindelige tal, bruges feltet i lineær algebra som en struktur, der universaliserer begrebet en skalar , og hovedstrukturen af lineær algebra, det lineære rum , er defineret som en konstruktion over en vilkårlig Mark. Også feltteori udgør i vid udstrækning det instrumentelle grundlag for sådanne sektioner som algebraisk geometri og algebraisk talteori .

Formelle definitioner

Formelt er et felt en algebra over et sæt , der danner en kommutativ gruppe ved addition over med et neutralt element og en kommutativ gruppe ved multiplikation over ikke-nul elementer , med den fordelende egenskab multiplikation med hensyn til addition. $F$ $+$ $F$ ${\boldsymbol {0}}$ $F\setminus \{{\boldsymbol {0}}\}$

Hvis vi udvider definitionen, kaldes en mængde med de algebraiske operationer af addition og multiplikation indført på den ( , det vil sige ) et felt, hvis følgende aksiomer er sande: $F$ $+$ $*$ $+\kolon F\gange F\til F,\quad *\kolon F\gange F\til F$ $\foralt a,b\i F\quad (a+b)\i F,\;a*b\i F$ $\venstre\langle F,+,*\højre\rangle$

Kommutativitet af addition: . $\foralt a,b\in F\quad a+b=b+a$
Tilføjelse assosiativitet :. $\foralt a,b,c\i F\quad (a+b)+c=a+(b+c)$
Eksistensen af et nul-element: . $\eksisterer {\boldsymbol {0}}\i F\colon \forall a\i F\quad a+{\boldsymbol {0}}=a$
Eksistensen af det modsatte element: . $\forall a\i F\;\eksisterer (-a)\i F\kolon a+(-a)={\fedsymbol {0))$
Kommutativitet af multiplikation :. $\foralt a,b\in F\quad a*b=b*a$
Associativitet af multiplikation :. $\foralt a,b,c\i F\quad (a*b)*c=a*(b*c)$
Eksistensen af et enkelt element: . $\exists e\in F\setminus \{{\boldsymbol {0}}\}\colon \forall a\in F\quad a*e=a$
Eksistens af omvendt element for ikke-nul elementer: . $(\forall a\in F\colon a\neq {\boldsymbol {0)))\;\eksisterer a^{-1}\i F\colon a*a^{-1}=e$
Fordeling af multiplikation med hensyn til addition: . $\forall a,b,c\in F\quad (a+b)*c=(a*c)+(b*c)$

Aksiomerne 1-4 svarer til definitionen af en kommutativ gruppe ved addition over ; aksiomer 5-8 svarer til definitionen af en kommutativ gruppe ved multiplikation over ; aksiom 9 forbinder operationerne addition og multiplikation med en distributiv lov. $+$ $F$ $*$ $F\setminus \{{\boldsymbol {0}}\}$

Aksiomerne 1-7 og 9 er definitionen af en kommutativ ring med identitet.

Alle ovenstående aksiomer, med undtagelse af kommutativiteten af multiplikation, svarer også til definitionen af et legeme .

I forbindelse med andre strukturer (historisk opstår senere), kan et felt defineres som en kommutativ ring , der er en divisionsring . Strukturhierarkiet er som følger:

Kommutative ringe ⊃ Integritetsdomæner ⊃ Faktorielle ringe ⊃ Principielle ideelle domæner ⊃ Euklidiske ringe ⊃ Felter.

Relaterede definitioner

Over felter introduceres de grundlæggende generelle algebraiske definitioner på en naturlig måde: et underfelt er et undersæt, der i sig selv er et felt med hensyn til begrænsningen af operationer fra hovedfeltet til det, og en udvidelse er et felt, der indeholder det givne som et underfelt.

Felthomomorfien introduceres også på en naturlig måde: som en kortlægning sådan, at , og . I særdeleshed kan intet inverterbart element under homomorfismen gå til nul, da kernen i enhver felthomomorfi derfor er nul, det vil sige, at felthomomorfien er en indlejring . $f$ $f(a+b)=f(a)+f(b)$ $f(ab)=f(a)\cdot f(b)$ $f(1)=1$ $f(a)\cdot f(a^{-1})=f(a\cdot a^{-1})=1$

Karakteristikken for feltet er den samme som karakteristikken for ringen : det mindste positive heltal , således at summen af kopier af en er nul: $n$ $n$

\underbrace {1+\dots +1} _{n}=n1=0.

Hvis et sådant tal ikke eksisterer, betragtes karakteristikken som lig med nul. Problemet med at bestemme karakteristikken løses normalt ved at bruge konceptet om et simpelt felt - et felt, der ikke indeholder sine egne underfelter, på grund af det faktum, at ethvert felt indeholder præcis et af de simple felter.

Galois- felter er felter, der består af et begrænset antal elementer. Opkaldt efter deres første opdagelsesrejsende Évariste Galois .

Egenskaber

Karakteristikken for feltet er altid eller et primtal . $0$
- Karakteristikfeltet indeholder et underfelt , der er
isomorft til feltet af rationelle tal . $0$ $\mathbb {Q}$
Feltet af en simpel karakteristik indeholder et underfelt, der er isomorft til feltet af rester . $s$ $\mathbb {Z} _{p}$

Antallet af elementer i et endeligt felt er altid lig med potensen af et primtal.

p^{n}

Desuden er der for et hvilket som helst antal af formen et unikt (op til isomorfi ) felt af elementer, normalt betegnet med . $p^{n}$ $p^{n}$ $\mathbb {F} _{p^{n}}$

Der er ingen nuldelere i feltet .

Enhver endelig undergruppe af en multiplikativ feltgruppe er cyklisk . Især den multiplikative gruppe af ikke-nul-elementer i et endeligt felt er isomorf til .

\mathbb {F} _{q}

\mathbb {Z} _{q-1}

Fra algebraisk geometris synspunkt er felter punkter, fordi deres spektrum består af nøjagtigt ét punkt - det ideelle {0}. Faktisk indeholder feltet ikke andre egentlige idealer : hvis et ikke-nul-element tilhører et ideal, så er alle multipla af det, det vil sige hele feltet, i idealet. Omvendt indeholder en kommutativ ring , der ikke er et felt, et ikke-inverterbart (og ikke-nul) element a . Så falder hovedidealet genereret af a ikke sammen med hele ringen og er indeholdt i et eller andet maksimalt (og derfor enkelt ) ideal; og derfor indeholder spektret af denne ring mindst to punkter.

Eksempler på felter

Felter med karakteristik lig med 0

$\mathbb {Q}$ er rationelle tal ,
$\mathbb {R}$ er reelle tal ,
$\mathbb {C}$ er komplekse tal ,
$\mathbb {A}$ er algebraiske tal over feltet af rationelle tal (et underfelt i feltet ). $\mathbb {C}$
Tal på formen , , i forhold til de sædvanlige operationer af addition og multiplikation. Dette er et eksempel på et kvadratisk felt , der danner et underfelt i . $a+b{\sqrt {2}}$ $a,b\in \mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$
$\mathbb {F} (x)$ er feltet af rationelle funktioner af formen , hvor og er polynomier over nogle felt af karakteristika 0 (i dette tilfælde , , , og har ingen fælles divisorer, bortset fra konstanter). $f(x)/g(x)$ $f$ $g$ $\mathbb {F}$ $g\neq 0$ $f$ $g$

Felter med ikke-nul karakteristik

Ethvert endeligt felt har en anden karakteristik end nul. Eksempler på sidste felt:

$\mathbb {Z} _{p}$ er feltet af rester modulo , hvor er et primtal. $s$ $s$
$\mathbb {F} _{q}$ er et endeligt felt af elementer, hvor er et primtal, er et naturligt tal. Alle endelige felter har denne form. $q=p^{k}$ $s$ $k$

Der er eksempler på uendelige felter med ikke-nul karakteristika.

Se også

Algebraisk lukket felt

Noter

↑ Lev Dmitrievich Kudryavtsev. Kursus i matematisk analyse. Bind 1
↑ Tidligst kendte anvendelser af nogle af matematikkens ord (F) . Hentet 28. september 2019. Arkiveret fra originalen 24. januar 2021. (ubestemt)

Litteratur

Bourbaki N. Algebra. Del 2. Polynomier og felter. Ordnede grupper. — M .: Nauka, 1965.
Leng S. Algebra. — M .: Mir, 1968. — 564 s.
P. Aluffi. Kapitel VII // Algebra: Kapitel 0. - American Mathematical Society, 2009. - (Kandidatstudier i matematik). — ISBN 0-8218-4781-3 .
Galois, Evariste. Sur la théorie des nombres (neopr.) // Bulletin des Sciences mathématiques. - 1830. - T. XIII . - S. 428 .
L. V. Kuzmin. Felt // Matematisk Encyklopædi : [i 5 bind] / Kap. udg. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia, 1977-1985.

Ordbøger og encyklopædier	Fantastisk catalansk Fantastisk norsk Stor russer Britannica (online) Brockhaus