Felt teori
Felteori er en gren af matematikken , der studerer egenskaberne ved felter , det vil sige strukturer, der generaliserer egenskaberne ved addition, subtraktion, multiplikation og division af tal .
Historie
- I 1820'erne og 1830'erne blev begrebet felt implicit brugt af Niels Abel og Évariste Galois i deres arbejde med ligningers løselighed i radikaler.
- I 1871 kaldte Richard Dedekind et "felt" for en delmængde af reelle eller komplekse tal, der er lukket under fire matematiske operationer.
- I 1881 studerede Leopold Kronecker egenskaberne ved algebraiske talfelter og kaldte dem "rationalitetsregioner".
- I 1893 gav Heinrich Weber den første klare definition af et abstrakt felt.
- I 1910 udgav Ernst Steinitz det berømte værk Algebraische Theorie der Körper ( tysk : Algebraic Field Theory), hvori han udviklede aksiomatisk feltteori og foreslog mange vigtige begreber såsom det primære felt , det perfekte felt og graden af transcendens af en feltudvidelse .
Felt kommutativitet
De første definitioner af et felt indeholdt ikke kravet om, at multiplikation skal være kommutativ, men det moderne udtryk "felt" indebærer altid, at det er kommutativt. En struktur, der opfylder alle egenskaberne af et felt, bortset fra kommutativiteten af multiplikation, kaldes i den russiske tradition en krop . Men på tysk hedder feltet Körper (derfor bruges bogstavet ofte til at betegne feltet), og på fransk - corps , som også oversættes som "krop".
Anvendelser af feltteori
Begrebet et felt bruges for eksempel i definitionen af et vektorrum , og har derfor stor betydning i lineær algebra . På samme måde er en algebraisk variant , hovedobjektet for undersøgelse i algebraisk geometri , defineret over et vilkårligt felt. Algebraisk talteori beskæftiger sig med studiet af egenskaberne ved algebraiske talfelter og deres ringe af heltal; og bruger naturligvis resultaterne af klassisk feltteori.
Finite felter bruges i talteori og kodningsteori . Især områder med karakteristik 2 er nyttige at overveje i datalogi .
Nogle nyttige teoremer
Se også
Noter
- Allenby, R. B. J. T. Ringe, felter og grupper (ubestemt) . — Butterworth-Heinemann, 1991.
- Blyth, T.S.; Robertson, E. F. Grupper, ringe og felter : Algebra gennem praksis, bog 3 . - Cambridge University Press , 1985.
- Blyth, T.S.; Robertson, E. F. Ringe, felter og moduler: Algebra gennem praksis, bog 6 . - Cambridge University Press , 1985.