Karakterisering (algebra)

En karakteristik er en numerisk værdi, der bruges i generel algebra til at beskrive visse egenskaber ved ringe eller felter .

For en ring er karakteristikken det mindste heltal , således at ligheden for hvert element gælder: $R$ ${\mathhop {{\mathrm {char}}}}R$ $n>0$ $r\in R$

n\cdot r=\underbrace {r+\cdots +r}_{n}=0

og hvis et sådant nummer ikke findes, så . ${\mathhop {{\mathrm {char}}}}R=0$

Hvis der er en enhed i ringen , kan karakteristikken defineres som det mindste naturlige tal, der ikke er nul, således at , men hvis der ikke er et sådant tal, så er karakteristikken lig nul. $R$ $n$ $n\cdot 1=0$ $n$

Karakteristikaene for ringen af heltal , feltet af rationelle tal , feltet af reelle tal , feltet af komplekse tal er lig med nul. Karakteristikken for restringen er . Karakteristikken for det endelige felt , hvor er et primtal, er et positivt heltal, er lig med . $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb{Z } /n\mathbb{Z }$ $n$ ${\mathbb {F}}_{{p^{m}}}$ $s$ $m$ $s$

En triviel ring med et enkelt element er den eneste ring med karakteristik . $0=1$ $en$

Hvis en ikke-trivial ring med enhed og ingen nuldeler har positiv karakteristik , så er det et primtal. Derfor er karakteristikken for ethvert felt enten , eller et primtal . I det første tilfælde indeholder feltet som et underfelt et felt, der er isomorft i forhold til feltet af rationelle tal , i det andet tilfælde indeholder feltet som et underfelt et felt, der er isomorft i forhold til feltet af rester . I begge tilfælde kaldes dette underfelt et simpelt felt (indeholdt af ). $n$ $K$ $0$ $s$ $K$ $\mathbb {Q}$ $K$ $\mathbb {F} _{p}$ $K$

Karakteristikken for et endeligt felt er altid positiv, men det faktum, at karakteristikken for et felt er positiv, betyder ikke, at feltet er endeligt. Som modeksempler kan man nævne feltet for rationelle funktioner med koefficienter i og den algebraiske lukning af feltet . $\mathbb {F} _{p}$ $\mathbb {F} _{p}$

Hvis er en kommutativ ring af prime karakteristik , så for alle , . For sådanne ringe kan man definere en Frobenius-endomorfisme . $R$ $s$ $(a+b)^{{p^{n}}}=a^{{p^{n}}}+b^{{p^{n}}}$ $a, b\in R$ $n\in \mathbb {N}$

Litteratur

Lidl R., Niederreiter G. Finite felter: I 2 bind T. 1. Pr. fra engelsk. — M.: Mir, 1988.
Kostrikin A.I. Introduktion til algebra. — M.: Nauka, 1977.
Glukhov M. M., Elizarov V. P., Nechaev A. A. Algebra: Lærebog. I 2 bind T. 2. - M .: Helios ARV, 2003.