Orientering (matematik)

Orientering ( retning , netværk ) - en generalisering af begrebet en sekvens , der hovedsageligt bruges i topologi, giver dig mulighed for at generalisere begrebet grænsen for en sekvens på den rigtige måde.

Direktivitet i et topologisk rum er enhver kortlægning fra et stigende rettet sæt i . Betegnelser: eller blot . $x$ $\mathrm{A}$ $x$ ${\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\}_{\alpha \in \mathrm {A} ))$ ${\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\))$

Enhver sekvens kan betragtes som en retning, i dette tilfælde spilles rollen som et rettet sæt af sættet af naturlige tal . $\mathbb {N}$

Et mere meningsfuldt eksempel på retningsbestemthed er konstrueret ved at bruge et punkts kvarterer som indekser. På et eller andet tidspunkt af det topologiske rum betragtes familien af alle dens kvarterer. Inklusionsrelationen definerer den rettede sætstruktur: kvartererne er ordnet som om . Hvert kvarter er forbundet med dets vilkårlige punkt , sådan en kortlægning er en retningsbestemthed. $x$ $B_{x}$ $B_{x}$ $U,V\in B_{x}$ $U\geqslant V$ $U\subset V$ $U\in B_{x}$ $x_{U}\in U$ $U\mapsto x_{U}$

Relaterede definitioner

Direktivitetsgrænse

Direktivitet kaldes konvergerende til et punkt, hvis der for et hvilket som helst område af punktet er et indeks , således at for en hvilken som helst . Punktet kaldes direktivitetsgrænsen og er betegnet med . ${\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\}_{\alpha \in \mathrm {A} ))$ $x$ $V$ $x$ $\alpha _{V}\in \mathrm {A}$ $x_{\alpha }\in V$ $\alpha \geqslant \alpha _{V}$ $x$ ${\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\))$ $x_{\alpha }{\xrightarrow[{\mathrm {A} }]{}}x$

Sættet af alle retningsgrænser er angivet som . Hvis retningsbestemmelsen har præcis én grænse , så skriv ${\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\))$ ${\displaystyle \lim _{\alpha \in \mathrm {A} }x_{\alpha ))$ $x$ ${\displaystyle x=\lim _{\alpha \in \mathrm {A} }x_{\alpha ))$

Hvis et topologisk rum er Hausdorff , så har enhver konvergent rettethed præcis én grænse. Det omvendte er også sandt: Hvis hver konvergent retningsbestemthed har præcis én grænse, så er rummet Hausdorff.

Begrebet en direktivitetsgrænse er tæt forbundet med begrebet et berøringspunkt : et punkt er et berøringspunkt for et sæt, hvis og kun hvis der er en retningsbestemthed af elementerne i dette sæt, der konvergerer til dette punkt.

Underretning

Forestillingen om en undersekvens kan generaliseres til retninger. Orientering kaldes underretning ( mere subtil retningsbestemthed ) af orientering, hvis der for nogen er et sådant indeks , der for hver er , der opfylder lighed . ${\displaystyle \left\{y_{\beta}\right\}_{\beta \in \mathrm {B} ))$ ${\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\}_{\alpha \in \mathrm {A} ))$ $\alpha \in \mathrm {A}$ $\beta (\alpha )\in \mathrm {B}$ $\beta '\geqslant \beta (\alpha )$ $\alpha '\geqslant \alpha$ ${\displaystyle x_{\alpha '}=y_{\beta '))$

Hver sekvens har en underretning, der ikke i sig selv er en sekvens.

Litteratur

Engelking, R. Generel topologi. — M .: Mir , 1986. — 752 s.
L. V. Kantorovich og G. P. Akilov Funktionel analyse. — M .: Nauka, 1984. — 752 s.