Begrænset topologisk rum

Et endeligt topologisk rum er et topologisk rum, hvor der kun er et begrænset antal punkter.

Selvom topologi hovedsageligt beskæftiger sig med uendelige rum, bruges endelige topologiske rum ofte som eksempler og modeksempler . William Thurston kaldte endelige topologiske rum "et excentrisk emne, der fører til en forståelse af mange spørgsmål." [en]

Måder at definere topologi på

Topologien på et endeligt sæt kan defineres ved hjælp af en delvis rækkefølge

{\displaystyle x\leq y\iff x\in {\overline {\{y\))))

hvor angiver lukningen af sættet . ${\overline {S))$ $S$

Omvendt, givet en hvilken som helst partiel rækkefølge på et endeligt sæt, kan man konstruere en unik topologi defineret af denne egenskab.

For at bestemme en delvis rækkefølge er det praktisk at bruge en rettet graf, hvor hjørnerne er punkter i rummet, og eksistensen af en stigende sti fra til svarer til relationen . $x$ $y$ $x\leq y$

Eksempler

Sammenbundet kolon .
En pseudocirkel er et firepunktsrum defineret af en delvis rækkefølge $a\leq b,c\leq b,c\leq d,a\leq d$ .
- Svagt homotopi svarende til en cirkel.
  - Især dens grundlæggende gruppe er isomorf til . $\mathbb {Z}$

Egenskaber

En særlig egenskab ved topologiske rum er, at lukkede mængder også definerer en topologi. Denne nye topologi kan opnås ved at vende den partielle rækkefølge, eller, hvad der er det samme, vende orienteringen af alle kanter af den tilsvarende graf.

Hvert endeligt topologisk rum er kompakt .

Det endelige Ti - rum T1 er diskret .
- Især ethvert begrænset Hausdorff -rum er diskret.

Ethvert forbundet endeligt topologisk rum er stiforbundet .

For ethvert endeligt abstrakt simplicialt kompleks eksisterer der et endeligt topologisk rum, der svagt homotopisk svarer til det. [2]
- Det omvendte er også sandt: for ethvert endeligt topologisk rum eksisterer der et endeligt forenklet kompleks, der svagt homotopisk svarer til det.

Tabellen nedenfor viser antallet af forskellige topologier på et sæt C af n elementer. Den viser også antallet af ikke-ækvivalente (det vil sige ikke- homeomorfe ) topologier. Der er ingen simpel formel til at beregne disse tal; i Encyclopedia of Integer Sequences går lister i øjeblikket op til . $n=18$

Antal topologier på et sæt af n punkter

H	Forskellige topologier	Forskellige T 0 topologier	Ikke-ækvivalente topologier	Ikke-ækvivalente T 0 topologier
0	en	en	en	en
en	en	en	en	en
2	fire	3	3	2
3	29	19	9	5
fire	355	219	33	16
5	6942	4231	139	63
6	209527	130023	718	318
7	9535241	6129859	4535	2045
otte	642779354	431723379	35979	16999
9	63260289423	44511042511	363083	183231
ti	8977053873043	6611065248783	4717687	2567284
OEIS	A000798	A001035	A001930	A000112

Antallet af alle T 0 -topologier på et sæt af n punkter og antallet af alle topologier er relateret af formlen $T_{0}(n)$ $T_{0}(n)$ $T(n)=\sum _{k=0}^{n}S(n,k)\,T_{0}(k)$

hvor angiver Stirling-tallet af den anden slags .

S(n,k)

Se også

Links

↑ Thurston, William P.Om bevis og fremskridt i matematik (neopr.) . - 1994. - T. 30. - S. 161-177. - doi : 10.1090/S0273-0979-1994-00502-6 .
↑ P. Alexandroff. "Diskrete Räume." Matematik. Lør. 2 (1937), S. 501-519.

Stong, Robert E. Finite topological spaces // Transactions of the American Mathematical Society . - 1966. - Bd. 123 . - S. 325-340 . - doi : 10.2307/1994660 .

Citer journalefternavnStongfornavnRobert E.Udgivelsesår1966TitelAfgrænsede topologiske rumURLhttp://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/stong2.pdfTidsskriftTransaktioner fra American Mathematical SocietyBind123sider325-340DOI10.2307/1994660HR0195042

Singulære homologigrupper og homotopigrupper af endelige topologiske rum, Michael C. McCord, Duke Math. J. bind 33, nummer 3 (1966), 465-474.
Barmac, Jonathan. Algebraisk topologi af endelige topologiske rum og anvendelser . — Springer, 2011. - ISBN 978-3-642-22002-9 .
Merrifield, Richard; Simmons, Howard E. Topologiske metoder i kemi (ubestemt) . - Wiley, 1989. - ISBN 978-0-471-83817-3 .