Ascoli-Arzela sætning

Arzela - sætningen er et udsagn , der er et kriterium for prækompaktheden af et sæt i et komplet metrisk rum i det specielle tilfælde , når det pågældende rum er rummet af kontinuerte funktioner på et segment af den reelle linje . Opkaldt efter forfatteren, Cesare Arcela .

Arzela-Ascoli-sætningen (eller Ascoli-Artzela) er en generalisering af Arzela-sætningen for det tilfælde, hvor familier af kortlægninger af metriske kompakte mængder betragtes ( den generaliserede Arzela-sætning ).

Anvendelsen af Arzela-sætningen er forbundet med de særlige egenskaber ved de familier, der overvejes, nemlig: med ensartet afgrænsethed og ækvikontinuitet .

Introduktion

I matematisk analyse (og senere i funktionel analyse ) overvejes alle mulige familier af kontinuerte funktioner givet på specielle mængder ( metric compacta ), og spørgsmålet om "fuldstændigheden" af sådanne familier undersøges. Især opstår spørgsmålet om eksistensen af en grænse , for eksempel for en sekvens af kontinuerlige numeriske funktioner , givet på intervallet , samt om egenskaberne af denne grænse. Ifølge Cauchys kriterium er den ensartede grænse for kontinuerte funktioner også en kontinuerlig funktion, hvilket betyder, at rummet er komplet . Det væsentlige her er, at domænet for definition af funktioner er en kompakt delmængde af den reelle linje (segment), og funktioner tager værdier i et komplet metrisk rum. Vi opnår et lignende resultat, hvis vi tager klassen af kontinuerlige afbildninger af et vilkårligt metrisk kompaktsæt ind i et komplet metrisk rum. $[a,b]$ $C[a,b]$

Klassens fuldstændighed gør det muligt at tilnærme enhver kontinuert funktion ved hjælp af en sekvens af tilnærmelser, som hver især er en funktion i en vis forstand "enklere" end den oprindelige. Dette bevises af Weierstrass-sætningen : hver kontinuert funktion på et interval kan tilnærmes vilkårligt nøjagtigt af polynomier. $C[a,b]$

Arzela-sætningen refererer til det tilfælde, hvor en bestemt familie af kontinuerte funktioner , hvor er et metrisk kompakt sæt og er et komplet metrisk rum, betragtes, og spørgsmålet om, hvorvidt det er muligt at udskille en konvergent undersekvens fra denne familie, undersøges. . Da rummet er komplet, betyder eksistensen af et grænsepunkt i det væsentlige, at familien er prækompakt i . Derfor kan sætningen formuleres i en generel form, der specifikt taler om prækompakthed. $F\delmængde C(K,Y)$ $K$ $Y$ $C(K,Y)$ $F$ $C(K,Y)$

Arzela -sætningen er således et kriterium for prækompaktheden af en familie af kontinuerlige funktioner defineret på et kompakt sæt og virker på et komplet metrisk rum.

Det eksisterende kriterium for prækompaktheden af et sæt i et komplet rum kræver kontrol af, at det givne sæt er fuldstændigt afgrænset . I praksis er dette kriterium ikke effektivt. Derfor synes det hensigtsmæssigt på en eller anden måde at bruge egenskaberne ved de funktioner, der indgår i familien, for at opnå et prækompakthedskriterium, der er egnet til praktisk anvendelse.

I løbet af forskningen viste det sig, at sådanne egenskaber er egenskaberne ved ensartet afgrænsning og ækvikontinuitet af den pågældende familie.

Omtalen af ækvidistant kontinuitet blev gjort samtidigt af Giulio Ascoli (1883-1884) [1] og Cesare Arcela (1882-1883) [2] . Sætningens svage form blev bevist af Ascoli i 1883–1884 [1] , som etablerede tilstrækkelige betingelser for kompakthed, og af Arcela i 1895 [3] , som gav den nødvendige betingelse og gav den første klare fortolkning af resultatet. En yderligere generalisering af teoremet blev bevist af Fréchet (1906) [4] for rum, hvor begrebet en grænse giver mening, såsom et metrisk rum eller et Hausdorff -rum Dunford, Schwartz (1958) [5] . Moderne formuleringer af sætningen tillader domæne og rækkevidde at være metriske rum. Den mest generelle formulering af sætningen giver en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for, at en familie af funktioner fra et kompakt Hausdorff-rum til et Uniform-rum kan være kompakt i Bourbakis uniforme konvergenstopologi (1998, § 2.5) [6] .

Definitioner

Overvej rummet af kontinuerte funktioner defineret på intervallet sammen med metrikken for ensartet konvergens. Dette er et komplet metrisk rum. Det er kendt, at: $C[a,b]$ $[a,b]$

For at en delmængde af et komplet metrisk rum skal være prækompakt, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at det er fuldstændigt afgrænset.

I tilfælde af rummet kan der dog anvendes et mere effektivt prækompakthedskriterium, men til dette skal man introducere følgende to koncepter. $C[a,b]$

Lad os antage, at det er en familie af kontinuerlige funktioner, der er defineret på segmentet . $F$ $[a,b]$

Uniform Boundedness

En familie kaldes ensartet afgrænset , hvis der er en konstant fælles for alle elementer i familien , som begrænser alle funktioner i familien: $F$ $K$

\forall f\in F\quad \forall x\in [a,b]\quad |f(x)|<K

Equicontinuity

En familie kaldes equicontinuous, hvis der for nogen eksisterer sådan, at for ethvert element og for alle punkter og sådan , at den strenge ulighed gælder . $F$ $\varepsilon >0$ $\delta>0$ $f\i F$ $x_{1}$ $x_{2}$ $|x_{1}-x_{2}|<\delta$ $|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon$

Ordlyd

Sætning.

En funktionel familie er prækompakt i et komplet metrisk rum, hvis og kun hvis denne familie er det $F$ $C[a,b]$

ensartet afgrænset
lige så kontinuerligt.

Bevis

Faktisk er det nødvendigt at vise, at begge disse egenskaber af en familie af funktioner svarer til denne families fuldstændige afgrænsning.

Nødvendighed

Så lad familien være fuldstændig afgrænset . $F$

Vi fikser og konstruerer et endeligt -netværk af formen: . $\varepsilon >0$ $(\varepsilon /3)$ $\{\varphi _{i}\}_{{i=1}}^{n}$

Da hver funktion af dette system er kontinuert og derfor afgrænset, så er der for hver sådan funktion sin egen konstant , således at for enhver . $K_{i}$ ${\displaystyle |\varphi _{i}(x)|<K_{i))$ $x\i[a,b]$

Da der er et begrænset sæt af sådanne funktioner, kan vi tage . $K=\max _{{i}}K_{i}+\varepsilon /3$

Hvis vi nu tager en vilkårlig funktion , så er der for denne funktion et -netværkselement, således at for enhver . I dette tilfælde vil funktionen naturligvis være begrænset til konstanten . $f\i F$ $\varphi _{i}$ $(\varepsilon /3)$ $|f(x)-\varphi _{i}(x)|<\varepsilon /3$ $x\i[a,b]$ $f$ $K$

Dette viser, at familien er ensartet afgrænset . $F$

Igen, på grund af kontinuiteten af hvert element i netværket, viser dette element sig også at være ensartet kontinuerligt, og derfor kan man vælge sådan , at for alle punkter, således at . $(\varepsilon /3)$ $(\varepsilon /3)$ $\delta _{i}$ $|\varphi _{i}(x_{1})-\varphi _{i}(x_{2})|<\varepsilon /3$ $x_{1},x_{2}\i [a,b]$ $|x_{1}-x_{2}|<\delta _{i}$

Lad . $\delta =\min _{{i}}\delta _{i}$

Hvis vi nu betragter en vilkårlig funktion , så vil der for den givne være en streng ulighed for alle punkter, sådan at . $f\i F$ $\varepsilon >0$ $|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon$ $x_{1},x_{2}\i [a,b]$ $|x_{1}-x_{2}|<\delta$

Faktisk, hvor er et passende element i -netværket. $|f(x_{1})-f(x_{2})|\leqslant |f(x_{1})-\varphi _{i}(x_{1})|+|\varphi _{i}( x_{1})-\varphi _{i}(x_{2})|+|\varphi _{i}(x_{2})-f(x_{2})|<\varepsilon /3+\varepsilon /3+\varepsilon /3=\varepsilon$ $\varphi _{i}$ $(\varepsilon /3)$

Dette viser, at familien er jævnbyrdig . $F$

Med andre ord indebærer fuldstændig afgrænsning ensartet afgrænsning og ækvikontinuitet.

Tilstrækkelighed

Nu er det nødvendigt at bevise, at familiens ensartede afgrænsning og ækvikontinuitet indebærer eksistensen af et endeligt netværk for enhver endelig . $F$ $\varepsilon$ $\varepsilon >0$

Vi fikser . $\varepsilon >0$

Lad være en konstant, der vises i definitionen af ensartet afgrænsethed. $K$

Lad os vælge sådan , der fremgår af definitionen af ensartet kontinuitet og svarer til værdien . $\delta>0$ $\varepsilon /5$

Lad os overveje et rektangel og opdele det med lodrette og vandrette linjer i rektangulære celler, der er mindre end de vandrette og lodrette. Lad , , , være noderne i dette gitter (langs x- aksen ). $[a,b]\ gange [-K,K]$ $\delta$ $\varepsilon /5$ $x_{1}$ $x_{2}$ $\prikker$ $x_{N}$

Hvis vi nu betragter en vilkårlig funktion , så skal der for hvert knudepunkt i gitteret være et sådant gitterpunkt, at . Hvis vi nu betragter den stiplede linjefunktion , som ved knudepunkterne tager de tilsvarende værdier, der højst afviger fra funktionen , så, på grund af det faktum, at selve funktionen afviger på hvert segment med højst , afviger den stiplede linie med højst på hvert sådant segment . $f\i F$ $x_{i}$ $(x_{i},y_{j})$ $|f(x_{i})-y_{j}|<\varepsilon /5$ $\varphi$ $\varepsilon /5$ $\varepsilon /5$ $3\varepsilon /5$

Da hvert punkt i segmentet er på et af disse segmenter, f.eks. , viser det sig, at funktionens afvigelse fra den stiplede linje konstrueret på denne måde ikke overstiger : $x$ $[a,b]$ $[x_{k},x_{k}+1]$ $\varepsilon$

|f(x)-\varphi (x)|\leqslant |f(x)-f(x_{k})|+|f(x_{k})-\varphi (x_{k})|+|\ varphi (x_{k})-\varphi (x)|<\varepsilon /5+\varepsilon /5+3\varepsilon /5=\varepsilon

Det er således vist, at et endeligt (!) system af brudte funktioner af den angivne type er et -net for en given . $\varepsilon$ $\varepsilon >0$

Ansøgninger

Arzela-sætningen finder sin anvendelse i teorien om differentialligninger .

I Peano- sætningen (om eksistensen af en løsning på Cauchy-problemet ) opbygges et system af funktioner, som i differentialligningsteorien kaldes Euler stiplede linjer . Dette system viser sig at være en ensartet afgrænset og ligekontinuerlig familie af funktioner, hvorfra man ifølge Arzela-sætningen kan udskille en ensartet konvergent sekvens af funktioner, hvis grænse vil være den ønskede løsning af Cauchy-problemet.

Se også

Lemma af Artsela
Montels sætning om en kompakt familie af funktioner er en konsekvens af Arzela-sætningen.

Litteratur

Kolmogorov A.N. , Fomin S.V. Elementer i funktionsteori og funktionsanalyse. - udg. tredje, revideret. — M .: Nauka , 1972 . — 496 s.

Noter

↑ 1 2 Ascoli, G. (1883-1884), "Le curve limiti di una varietà data di curve", Atti della R. Accad. Dei Lincei Memorie della Cl. sci. Fis. Måtte. Nat. 18(3): 521-586.
↑ Arzelà, Cesare (1882-1883), "Un'osservazione intorno alle serie di funzioni", Rend. Dell' Accad. R. Delle Sci. Dell'Istituto di Bologna: 142-159.
↑ Arzelà, Cesare (1895), "Sulle funzioni di linee", Mem. Accad. sci. Ist. Bologna Cl. sci. Fis. Måtte. 5(5):55-74.
↑ Fréchet, Maurice (1906), "Sur quelques points du calcul fonctionnel", Rend. Circ. Måtte. Palermo 22:1-74, doi:10.1007/BF03018603.
↑ Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T. (1958), Lineære operatorer, bind 1, Wiley-Interscience.
↑ Bourbaki, Nicolas (1998), Generel topologi. Kapitel 5-10, Elements of Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR1726872, ISBN 978-3-540-64563-4 .