Kanonkugleproblemet

Problemet med kanonkugler ( eng. cannonball problem ) - problemet med at finde antallet af kanonkugler , der kan lægges i ét lag i form af en firkant, og i form af en pyramide med en firkant i bunden, dvs. om at finde kvadrattal , som også er kvadratiske pyramidetal . At finde dette tal kommer ned til at løse den diofantiske ligning eller . Ligningen har to løsninger: og , det vil sige en kanonkugle, og og , det vil sige 4900 kanonkugler. ${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}n^{2}=M^{2))$ ${\frac {1}{6}}N(N+1)(2N+1)=M^{2}$ $N=1$ $M=1$ $N=24$ $M=70$

Problemhistorie

Spørgsmålene om at stable kanonkugler var allerede af interesse for Sir Walter Raleigh og hans samtidige Thomas Harriot [1] , men i ovenstående form blev det formuleret i 1875 af Edouard Lucas , som foreslog, at der ikke findes andre løsninger end [2] . Delvise beviser blev tilbudt af Moret-Blanc (1876) [3] og Lucas selv (1877) [4] . Det første fuldstændige bevis blev tilbudt af Watson (1918) [5] ; beviset brugte elliptiske funktioner [6] . Et andet bevis blev foreslået af Ljunggren (1952) [7] ved hjælp af Pells ligning [8] . Beviser, der kun bruger elementære funktioner, er blevet foreslået af Ma (1985) [9] og Anglin (1990) [10] [6] . $N=1$ $N=24$

Beviser

Watsons bevis

Watsons bevis [5] er baseret på den observation, at ud af tre tal , og en skal være delelig med 3; og enten , eller skal være lige; og at alle andre faktorer skal være firkanter. Der er således seks muligheder: $N$ $N+1$ $2N+1$ $N$ $N+1$

$N=3a^{2},\ N+1=2b^{2},\ 2N+1=c^{2};$
$N=2a^{2},\ N+1=3b^{2},\ 2N+1=c^{2};$
$N=2a^{2},\ N+1=b^{2},\ 2N+1=3c^{2};$
$N=a^{2},\ N+1=6b^{2},\ 2N+1=c^{2};$
$N=6a^{2},\ N+1=b^{2},\ 2N+1=c^{2};$
$N=a^{2},\ N+1=2b^{2},\ 2N+1=3c^{2}.$

Men da den kun kan have rester 0 eller 2, når den divideres med 3, fører den første mulighed til en modsigelse. På samme måde kan du udelukke den anden, tredje og fjerde mulighed. $2b^{2}$

Den femte mulighed fører til løsningen . Faktisk er det kun muligt for ulige , og , det vil sige, at der er heltal og sådan, at eller . Dette fører dog til en modsigelse . Derfor, altså, og . Som vist af Gerono , og er de eneste løsninger af det sidste system af ligninger [11] . Sagen er umulig, fordi ; sag fører til . Et alternativt bevis på løsningens unikke karakter i dette tilfælde bruger det faktum, at de eneste løsninger er og er givet i kapitel 6.8.2 i Cohens bog [12] . $N=24$ ${\displaystyle N=6a^{2},\ N+1=b^{2},\ 2N+1=c^{2))$ $c$ ${\displaystyle (c-1)(c+1)=12a^{2))$ $d$ $e$ ${\frac {1}{2}}(c-1)=d^{2},\ {\frac {1}{2}}(c+1)=3e^{2},\ a =de$ ${\frac {1}{2}}(c-1)=3d^{2},\ {\frac {1}{2}}(c+1)=e^{2},\ a =de$ ${\frac {1}{2}}(c-1)=d^{2},\ {\frac {1}{2}}(c+1)=3e^{2},\ a =de$ $3e^{2}-d^{2}\equiv 1{\pmod {3}}$ ${\frac {1}{2}}(c-1)=3d^{2},\ {\frac {1}{2}}(c+1)=e^{2},\ a =de$ $c-1=6d^{2},\ c+1=2e^{2}$ $c+1=2e^{2},\ c^{2}+1=2b^{2}$ $c=1$ $c=7$ $c=1$ $N=0$ $c=7$ $N=24$ $N=24$ $y^{2}=8x^{4}+1$ $(0,\;1),\ (0,\;-1),\ (1,\;3),\ (1,\;-3),\ (-1,\;3), \ (-1,\;-3)$

Beviset for fraværet af ikke-trivielle løsninger i den sjette variant kræver brug af elliptiske funktioner. Den sjette variant kan faktisk reduceres til formen . I stedet for disse ligninger, betragter Watson et mere generelt tilfælde og viser, at løsningerne af disse ligninger skal opfylde , hvor er et ikke- negativt heltal, , , , og , , og er Jacobi elliptiske funktioner . Dernæst beviser Watson, at det numerisk kun er lig med én, hvis , det vil sige , og den eneste mulige løsning i dette tilfælde er . ${\displaystyle 2b^{2}-a^{2}=1,2b^{2}+a^{2}=3c^{2))$ ${\displaystyle 2X^{2}-Y^{2}=Z^{2},2X^{2}+Y^{2}=3W^{2))$ ${\frac {Z}{W}}=(-1)^{r}\operatørnavn {sd} ((2r+1)\beta ){\sqrt {\frac {3}{2}}}$ $r$ $\beta$ ${\displaystyle \operatorname {sn} (\beta )={\frac {1}{\sqrt {2))))$ ${\displaystyle \operatornavn {cn} (\beta )={\frac {1}{\sqrt {2))))$ $\operatorname {dn} (\beta )={\frac {\sqrt {3}}{2}}$ $\operatørnavn {sn}$ $\operatørnavn {cn}$ $\operatørnavn {dn}$ $\operatørnavn {sd}$ $Z$ $r=0$ $X^{2}=Y^{2}=Z^{2}=W^{2}=1$ $N=1$

Bevis Ma

Beviset for det unikke ved ovenstående løsninger, foreslået af Ma, er baseret på det konsekvente bevis for følgende udsagn [12] :

Den eneste lige løsning på kernestablingsproblemet er . Faktisk tillader paritet at ekskludere mulighed 1, 4 og 6 fra Watsons bevis, valgmulighed 2 og 3 fører til en modsigelse (se Watsons bevis), og er den eneste mulige løsning for mulighed 5. $(24,70)$ $n$ $(24,70)$
Lad . Derefter for ikke-negativ , har formen kun for . $\alpha =2+{\sqrt {3)),\beta =2-{\sqrt {3)),M_{n}=(\alpha ^{n}+\beta ^{n})/ 2$ $n$ $M_{n}$ $4x^{2}+3$ $n=2$
Det eneste ulige tal , der opfylder kernestablingsproblemet, er . Faktisk, hvis man argumenterer på samme måde som Watsons bevis, skal ulige opfylde mulighed 6, det vil sige . Da for enhver , og , er dette også sandt for . Substituerende og i stedet for og , får vi , altså . Da det genererer en gruppe af enheder , eksisterer der sådan, at , hvor er defineret ovenfor, og . Da det er positivt, og per definition . Ved det foregående lemma, , dvs. og . $N$ $N=1$ $N$ ${\displaystyle N=a^{2},N+1=2b^{2},2N+1=3c^{2))$ $x$ $(4x+3)^{2}-8(x+1)(2x+1)=1$ $4x+3=2(2x+1)+1$ $N$ $2b^{2}$ $3c^{2}$ $x+1$ $2x+1$ $(2(3c^{2})+1)^{2}-8\cdot 2b^{2}\cdot 3c^{2}=1$ $(6c^{2}+1)^{2}-3(4bc)^{2}=1$ $2 + \sqrt{3}$ $\mathbb {Z} [{\sqrt {3}}]$ $n\in \mathbb {Z}$ $6c^{2}+1+4bc{\sqrt {3}}=\pm (M_{n}+G_{n}{\sqrt {3}})$ $M_{n}$ $G_{n}=(\alpha ^{n}+\beta ^{n})/(\alpha -\beta )$ $M_{n}$ $M_{n}=6c^{2}+1$ $-en$ $M_{n}=4a^{2}+3$ $n=2,M_{n}=7$ $a=1$ $n=1$

Detaljer om beviset er givet i kapitel 6.8.2 i Cohens bog [12] .

Generaliseringer af problemet

Med undtagelse af et trivielt tilfælde er der ikke et antal kanonkugler, der kunne lægges i form af en pyramide med en firkant i bunden, og som samtidig ville være en terning, den fjerde eller femte potens af en naturlig nummer [13] . Desuden gælder det samme for stabling af kerner i form af et regulært tetraeder [13] . $N=1$

En anden generalisering af problemet er spørgsmålet om at finde antallet af kerner, der kan placeres i form af en firkant og en afkortet pyramide med en firkant i bunden. Det vil sige at lede efter på hinanden følgende kvadrater (ikke nødvendigvis startende fra 1), hvis sum er et kvadrat. Det er kendt, at mængden af sådanne er uendelig, har en asymptotisk tæthed på nul, og for , som ikke er kvadrater, er der uendeligt mange løsninger [8] . Antallet af elementer i sættet, der ikke overstiger , estimeres til . De første elementer i sættet og de tilsvarende mindste værdier, såsom et kvadrat, er givet i følgende tabel [8] : $n$ $S$ $n$ $n$ $N(x)$ $S$ $x$ $c_{1}{\sqrt {x}}<N(x)<c_{2}{\frac {x}{\ln {x}}}$ $n$ $S$ $-en$ ${\displaystyle \sum _{k=a}^{a+n-1}k^{2))$

n	2	elleve	23	24	26	33	47	49	halvtreds	59
-en	3	atten	7	en	25	7	539	25	7	22

For og løsningen er en pythagoras trippel . For og løsningen er ovenstående løsning af problemet med at stable kanonkugler. Rækkefølgen af sætelementer er sekvensen A001032 i OEIS [14] . $n=2$ $a=3$ $3^{2}+4^{2}=5^{2}$ $n=24$ $a=1$ $S$

En anden generalisering af problemet blev overvejet af Kaneko og Tachibana [15] : i stedet for spørgsmålet om ligheden af summen af de første kvadrattal og et andet kvadrattal, overvejede de spørgsmålet om ligheden af summen af de første polygonale tal og et andet polygonalt tal og viste, at der for enhver er uendeligt mange sekvenser af de første -gonale tal, således at deres sum er lig med et andet polygonalt tal, og at der for enhver er et uendeligt antal -gonale tal, der kan repræsenteres som summen af sekvenser af de første polygonale tal. Desuden fastslog Kaneko og Tachibana, at for ethvert naturligt tal gælder følgende relationer: $m\geqslant 3$ $m$ $n\geqslant 3$ $n$ $k$

Pyr_{m}(3(m-2)k-2)=G_{9k+2}((m-2)^{2}k-m+3),

Pyr_{m}(3k-1)=G_{(m-2)k+3}(3k-1),

Pyr_{m}(6k-3)=G_{4(m-2)(2k-1)+6}(3k-1),

G_{n}((n-2)k^{2}-3k+1)=Pyr_{3k+2}((n-2)k-2),

G_{n}(8k^{2}-6k+1)=Pyr_{3(n-2)k+2}(4k-2),

hvor er det -th -kultal, og er det -th -kulpyramidetal , det vil sige summen af de første -kultal [15] . $G_{m}(n)$ $n$ $m$ $Pyr_{m}(n)$ $n$ $m$ $n$ $m$

Forholdet til andre områder af matematikken

En ikke -triviel løsning fører til konstruktionen af Leach-gitteret (som igen er forbundet med forskellige områder af matematik og teoretisk fysik - bosonisk strengteori , monster ). Dette gøres ved hjælp af et jævnt unimodulært gitter i et 25+1-dimensionelt pseudo-euklidisk rum . Overvej vektoren af dette gitter . Da og er en løsning på problemet med at stable kanonkugler, er denne vektor lyslignende , , hvoraf det især følger, at den tilhører sit eget ortogonale komplement . Ifølge Conway [16] [17] tillader vektoren at konstruere et Leach-gitter $N=24$ $\mathrm {II} _{25,1}$ $w=(0,\;1,\;2,\;\ldots ,\;23,\;24;\;70)$ $N=24$ $M=70$ $w\cdot w=0$ ${\displaystyle w^{\bot ))$ $w$

som et faktorsæt , som er korrekt defineret på grund af lyslighed ; $(w^{\bot}\cap \mathrm {II} _{25,1})/w$ $w$
som mængden af alle vektorer sådan at . Sådanne vektorer udgør sættet af såkaldte fundamentale rødder af gitteret . I alle tilfælde, hvor det på denne måde er muligt at konstruere et sæt fundamentale rødder af et jævnt unimodulært gitter i et pseudo-euklidisk rum , kan man altid bruge en heltalsvektor med rumkomponenter fortløbende fra nul; og for at dette sæt kan danne et gitter, skal denne vektor være lyslignende. Og da det er den eneste ikke-trivielle løsning på problemet med at stable kanonkugler, så er det 24-dimensionelle Leach-gitter det eneste gitter, der kan opnås på denne måde fra . $r\in \mathrm {II} _{25,1}$ $r\cdot r=2,r\cdot w=-1$ $\mathrm {II} _{25,1}$ $\mathrm {II} _{n,1}$ $N=24$ $\mathrm {II} _{n,1}$

Se også

Tæt pakning af lige sfærer

Noter

↑ David Darling. Kanonkugle problem . Internet Encyclopedia of Science . Hentet 6. juli 2017. Arkiveret fra originalen 23. december 2017. (ubestemt)
↑ Edouard Lucas. Spørgsmål 1180 // Nouv. Ann. Matematik. - 1875. - Udgave. 14. - S. 336.
↑ Claude Séraphin Moret-Blanc. Spørgsmål 1180 // Nouv. Ann. Matematik. - 1876. - Udgave. 15. - S. 46-48.
↑ Edouard Lucas. Spørgsmål 1180 // Nouv. Ann. Matematik. - 1877. - Udgave. 15. - S. 429-432.
↑ 1 2 G. N. Watson. Problemet med den firkantede pyramide. // Messenger Math. - 1918. - Udgave. 48. - S. 1-22.
↑ 1 2 Eric W. Weisstein. Kanonkugle problem . MathWorld - En Wolfram-webressource . Hentet 6. juli 2017. Arkiveret fra originalen 18. juli 2017.
↑ W. Ljunggren. Ny løsning af et problem foreslået af E. Lucas // Norsk Mat. Tid.. - 1952. - Udgave. 34. - S. 65-72.
↑ 1 2 3 Richard K. Guy. Uløste problemer i talteori / KA Bencsath, PR Halmos. — 3. — Springer. - S. 223-224. — 454 s. — (Opgavebøger i Matematik). - ISBN 978-1-4419-1928-1 .
↑ D. G. Ma. Et elementært bevis på løsningerne til den diofantiske ligning . // Sichuan Daxue Xuebao. - 1985. - Udgave. 4. - S. 107-116. $6y^{2}=x(x+1)(2x+1)$
↑ W. S. Anglin. Den firkantede pyramidepuslespil. //Amer. Matematik. Månedlige. - 1990. - Udgave. 97. - S. 120-124.
↑ C.-C. Gerono. Demonstration d'une formule dont on peut déduire, comme cas particulier, le binôme de Newton // Nouvelles annales de mathématiques: journal des candidats aux écoles polytechnique et normale. - 1857. - T. 16. - S. 237-240.
↑ 1 2 3 Henri Cohen. talteori. - 2007: Springer. - S. 424-427. — 653 s. - ISBN 978-0-387-49922-2 .
↑ 1 2 Elena Deza, Michel Marie Deza. Figur numre. - Singapore: World Scientific, 2012. - S. 98. - 456 s. — ISBN 981-4355-48-8 .
↑ NJA Sloane . A001032 Tal n således, at summen af kvadrater af n på hinanden følgende heltal ≥ 1 er et kvadrat. (engelsk) . On-Line Encyclopedia of Integer Sequences . Hentet 10. juli 2017. Arkiveret fra originalen 30. juli 2017.
↑ 1 2 Masanobu Kaneko og Katsuichi Tachibana. Hvornår er et polygonalt pyramidetal igen polygonalt? : [ engelsk ] ] // Rocky Mountain Journal of Mathematics. - 2002. - T. 32, nr. 1. - S. 149-165.
↑ JH Conway. Automorfigruppen af det 26-dimensionelle selv unimodulære Lorentzianske gitter // Journal of Algebra. - 1983. - Bd. 80. - S. 159-163. - doi : 10.1016/0021-8693(83)90025-X .
↑ JH Conway, NJA Sloane. 26. Lorentziske Former til Leeggitteret. 27. Automorphism Group of the 26-Dimensional Lorentzian Lattice // Kuglepakninger, gitter og grupper. — 3. udg. - Springer-Verlag New York, 1999. - ISBN 978-1-4757-6568-7 , 978-0-387-98585-5.