Rektangulært koordinatsystem

Rektangulært koordinatsystem - et retlinet koordinatsystem med indbyrdes vinkelrette akser på et plan eller i rummet. Det enkleste og derfor mest brugte koordinatsystem. Den generaliserer meget let og direkte til rum af enhver dimension, hvilket også bidrager til dens brede anvendelse.

Beslægtede udtryk: Kartesisk omtales almindeligvis som et rektangulært koordinatsystem med de samme skalaer langs akserne (opkaldt efter René Descartes ), og generelt kartesisk koordinatsystem omtales som et affint koordinatsystem (ikke nødvendigvis rektangulært).

Historie

René Descartes var den første til at introducere et rektangulært koordinatsystem i sin Geometri i 1637 . Derfor kaldes det rektangulære koordinatsystem også - kartesisk koordinatsystem . Koordinatmetoden til at beskrive geometriske objekter lagde grundlaget for analytisk geometri. Pierre Fermat bidrog også til udviklingen af koordinatmetoden , men hans arbejde blev først udgivet efter hans død [1] . Descartes og Fermat brugte kun koordinatmetoden på flyet. Den franske præst Nicholas Oresme brugte konstruktioner svarende til kartesiske koordinater længe før Descartes og Fermats tid [2] .

Udviklingen af det kartesiske koordinatsystem ville spille en stor rolle i udviklingen af calculus af Isaac Newton og Leibniz [3] . To-koordinatbeskrivelsen af flyet blev senere generaliseret til begrebet vektorrum [4] .

Koordinatmetoden for tredimensionelt rum blev først anvendt af Leonhard Euler allerede i det 18. århundrede. Brugen af orts ser ud til at gå tilbage til Hamilton og Maxwell .

Rektangulært koordinatsystem på planet

Et rektangulært koordinatsystem på et plan er dannet af to indbyrdes vinkelrette koordinatakser og . Koordinatakserne skærer hinanden i et punkt kaldet origo , og hver akse har en positiv retning. $X'X$ $Y'Y$ $O$

Et punkts position på planet bestemmes af to koordinater og . Koordinaten er lig med længden af segmentet , koordinaten er længden af segmentet i de valgte enheder. Segmenter og er defineret af linjer tegnet fra et punkt parallelt med akserne og hhv. $EN$ $x$ $y$ $x$ $OB$ $y$ $OC$ $OB$ $OC$ $EN$ $Y'Y$ $X'X$

I dette tilfælde tildeles et minustegn til koordinaten , hvis punktet ligger på strålen (og ikke på strålen , som på figuren). Et minustegn tildeles koordinaten , hvis punktet ligger på strålen . Således og er de negative retninger af koordinatakserne (hver koordinatakse behandles som en reel akse ). $x$ $B$ $OKSE'$ $OKSE$ $y$ $C$ $OY'$ $OKSE'$ $OY'$

Aksen kaldes abscisse -aksen ( lat. abscissus - lit. " afskåret, adskilt " [5] ), og aksen kaldes ordinataksen ( lat. ordinatus - lit. " ordnet, sat i en bestemt rækkefølge " [ 5] ). Koordinaten kaldes punktets abscisse , koordinaten er punktets ordinat . $X'X$ $Y'Y$ $x$ $EN$ $y$ $EN$

Symbolsk er det skrevet sådan:

A(x,\;y)

eller

A = (x,\;y)

eller angiv tilhørsforholdet af koordinaterne til et bestemt punkt ved hjælp af indekset:

x_A, x_B

etc.

I det højrehåndede koordinatsystem vælges aksernes positive retning således, at når aksen er rettet opad, kigger aksen mod højre. Det er normalt sædvanligt at bruge højrehåndede koordinatsystemer (medmindre andet er angivet eller indlysende - for eksempel fra en tegning; nogle gange er det af en eller anden grund mere bekvemt stadig at bruge et venstrehåndskoordinatsystem ). $Y'Y$ $X'X$
De fire vinkler (I, II, III, IV) dannet af koordinatakserne og kaldes koordinatvinkler , kvarte eller $X'X$ $Y'Y$
<plan> kvadranter (se fig. 1).
- Punkter inden for koordinatvinklen I har positive abscisser og ordinater.
- Punkter inden for koordinatvinklen II har negative abscisser og positive ordinater.
- Punkter inden for koordinatvinkel III har negative abscisser og ordinater
- Punkter inden for koordinatvinklen IV har positive abscisser og negative ordinater.

Rektangulært koordinatsystem i rummet

Et rektangulært koordinatsystem i rummet (i dette afsnit menes tredimensionelt rum; for mere multidimensionelle rum, se nedenfor) er dannet af tre indbyrdes vinkelrette koordinatakser , og . Koordinatakserne skærer hinanden i punktet , som kaldes koordinaternes oprindelse, på hver akse vælges den positive retning, der er angivet med pilene, og måleenheden for segmenterne på akserne. Enheder er normalt (ikke nødvendigvis [6] ) de samme for alle akser. - abscisseakse, - ordinatakse, - applikatakse. $OKSE$ $OY$ $oz$ $O$ $OKSE$ $OY$ $oz$

Et punkts position i rummet bestemmes af tre koordinater og . Koordinaten er lig med længden af segmentet , koordinaten er lig med længden af segmentet , koordinaten er længden af segmentet i de valgte måleenheder. Segmenter , og bestemmes af planer tegnet fra et punkt parallelt med planerne , og hhv. $EN$ $x$ $y$ $z$ $x$ $OB$ $y$ $OC$ $z$ $OD$ $OB$ $OC$ $OD$ $EN$ $YOZ$ $XOZ$ $XOY$

Koordinaten kaldes punktets abscisse ,

x

EN

koordinat - ordinat punkt ,

y

EN

coordinate - applicate ( lat. applicata - tilstødende) [7] point .

z

EN

Symbolsk er det skrevet sådan:

A(x,\;y,\;z)

eller

A = (x,\;y,\;z)

eller bind en koordinatpost til et bestemt punkt ved hjælp af et indeks:

x_A,\;y_A,\;z_A

etc.

Hver akse betragtes som en tallinje , det vil sige, den har en positiv retning, og negative koordinatværdier er tildelt punkter, der ligger på den negative stråle (afstanden tages med et minustegn). Det vil sige, at hvis punktet for eksempel ikke lå som på figuren - på strålen , men på dens fortsættelse i modsat retning fra punktet (på den negative del af aksen ), så ville punktets abscisse være negativ (minus afstanden ). Tilsvarende for de to andre akser. $B$ $OKSE$ $O$ $OKSE$ $x$ $EN$ $OB$

Alle rektangulære koordinatsystemer i tredimensionelt rum er opdelt i to klasser - højre (også brugt er udtrykkene positiv , standard ) og venstre . Normalt forsøger de som standard at bruge højrehåndede koordinatsystemer, og når de vises grafisk, placeres de også om muligt i en af flere sædvanlige (traditionelle) positioner. (Figur 2 viser det rigtige koordinatsystem). Højre og venstre koordinatsystem kan ikke kombineres ved rotationer [8] , således at de tilsvarende akser (og deres retninger) falder sammen. Du kan bestemme hvilken klasse et bestemt koordinatsystem tilhører ved hjælp af højrehåndsreglen, skruereglen osv. (aksernes positive retning vælges således, at når aksen drejes mod uret med 90°, falder dens positive retning med den positive retning af aksen , hvis denne rotation observeres fra siden af den positive retning af aksen ). $OKSE$ $OY$ $oz$

Enhver af de otte områder, som rummet er opdelt i af tre indbyrdes vinkelrette koordinatplaner, kaldes en oktant .

Rektangulært koordinatsystem i flerdimensionelt rum

Det rektangulære koordinatsystem kan også bruges i et rum af enhver endelig dimension på samme måde, som det gøres for et tredimensionelt rum. Antallet af koordinatakser i dette tilfælde er lig med rummets dimension (i dette afsnit vil vi betegne det som ). $n$

Koordinater er normalt betegnet [9] ikke med forskellige bogstaver, men med det samme bogstav med et numerisk indeks. Oftest er det:

x_1, x_2, x_3,\dots x_n.

For at udpege en vilkårlig koordinat fra dette sæt, bruges et bogstavindeks: $jeg$

x_{i},

og ofte bruges notationen også til at betegne hele sættet, hvilket antyder, at indekset løber gennem hele sættet af værdier: . $x_{i},$ $i = 1, 2, 3, \dots n$

I enhver dimension af rummet er rektangulære koordinatsystemer opdelt i to klasser, højre og venstre (eller positive og negative). For flerdimensionelle rum kaldes et af koordinatsystemerne vilkårligt (betinget) højre, og resten er højre eller venstre, afhængig af om de har samme orientering eller ej [10] .

En generalisering af begreberne en todimensionel kvadrant og en tredimensionel oktant for -dimensionelt euklidisk rum er en ortant eller hyperoktant. $n$

Rektangulære vektorkoordinater

For at bestemme de rektangulære koordinater for en vektor (bruges til at repræsentere vektorer af enhver dimension), kan man gå ud fra det faktum, at koordinaterne for en vektor (rettet segment), hvis begyndelse er ved oprindelsen, falder sammen med koordinaterne for dens vektor. slutning [11] .

Således er for eksempel koordinaterne i fig. 1 vektorens koordinater . $(x,y)$ $\vec{OA}$

For vektorer (rettede segmenter), hvis oprindelse ikke falder sammen med oprindelsen, kan rektangulære koordinater bestemmes på en af to måder:

Vektoren kan flyttes , så dens oprindelse falder sammen med oprindelsen). Derefter bestemmes dens koordinater på den måde, der er beskrevet i begyndelsen af afsnittet: koordinaterne for en vektor oversat, så dens oprindelse falder sammen med oprindelsen, er koordinaterne for dens ende.
I stedet kan du blot trække fra koordinaterne for enden af vektoren (det rettede segment) koordinaterne for dens begyndelse.

For rektangulære koordinater falder konceptet med en vektorkoordinat sammen med konceptet om en ortogonal projektion af en vektor på retningen af den tilsvarende koordinatakse.

I rektangulære koordinater er alle operationer på vektorer skrevet meget enkelt:

Addition og multiplikation med en skalar:

\mathbf a + \mathbf b = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3, \dots, a_n + b_n)

eller

(\mathbf a + \mathbf b)_i = a_i + b_i,

c\ \mathbf a = (c\ a_1, c\ a_2, c\ a_3, \dots, c\ a_n)

eller

(c\ \mathbf a)_i = c\ a_i.

og derfor subtraktion og division med en skalar:

\mathbf a - \mathbf b = (a_1 - b_1, a_2 - b_2, a_3 - b_3, \dots, a_n - b_n)

eller

(\mathbf a - \mathbf b)_i = a_i - b_i,

\frac{\mathbf a}{\lambda} = \Big(\frac{a_1}{\lambda}, \frac{a_2}{\lambda}, \frac{a_3}{\lambda}, \dots, \frac {a_n}{\lambda}\Big)

eller

\Big(\frac{\mathbf a}{\lambda}\Big)_i = \frac{a_i}{\lambda}.

(Dette gælder for enhver dimension n og lige, sammen med rektangulære koordinater, for skrå koordinater).

Prik produkt :

\mathbf a \cdot \mathbf b = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 + \dots + a_n b_n

eller

\mathbf a \cdot \mathbf b = \sum\limits_{i=1}^n a_i b_i,

(Kun i rektangulære koordinater med enhedsskala på alle akser).

Gennem skalarproduktet kan du beregne længden af vektoren

|\mathbf a| = \sqrt{\mathbf a\cdot\mathbf a}

og vinklen mellem vektorerne

\angle{(\mathbf a, \mathbf b)} = \mathrm{arccos}\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{|\mathbf a|\cdot|\mathbf b|}

Eksternt arbejde :

(\mathbf a \og \mathbf b)_{ij} = a_i b_j - a_j b_i

for enhver dimension af rummet,

Vektorprodukt (kun for det samme tredimensionelle rum, som det er defineret på):

(\mathbf a \times \mathbf b)_x = a_y b_z - a_z b_y

(\mathbf a \times \mathbf b)_y = a_z b_x - a_x b_z

(\mathbf a \times \mathbf b)_z = a_x b_y - a_y b_x

Alt dette giver naturligvis mulighed for, om nødvendigt, at reducere alle operationer på vektorer til ret simple operationer på tal.

Horts

Et rektangulært koordinatsystem [12] (af enhver dimension) er også beskrevet [13] ved et sæt af orts (enhedsvektorer), der er koordineret med koordinatakserne. Antallet af orts er lig med dimensionen af koordinatsystemet, og de er alle vinkelrette på hinanden. Sådanne orts udgør desuden et ortonormalt grundlag [ 14] .

I det tredimensionelle tilfælde er sådanne vektorer sædvanligvis betegnet

\mathbf{i}

, og

\mathbf {j}

\mathbf {k}

eller

\mathbf{e}_x

, og .

\mathbf{e}_y

\mathbf{e}_z

Pilnotation ( , og eller , og ) eller anden notation i overensstemmelse med den sædvanlige måde at notere vektorer på i en eller anden litteratur kan også bruges. $\vec{i}$ $\vec{j}$ $\vec{k}$ $\vec{e}_x$ $\vec{e}_y$ $\vec{e}_z$

Desuden er følgende formler med vektorprodukter af vektorer gyldige i tilfælde af et højre koordinatsystem :

$[\mathbf{i}\,,\mathbf{j}]=\mathbf{k};$
$[\mathbf{j}\,,\mathbf{k}]=\mathbf{i};$
$[\mathbf{k}\,,\mathbf{i}]=\mathbf{j}.$

For dimensioner højere end 3 (eller for det generelle tilfælde, hvor dimensionen kan være en hvilken som helst), er det almindeligt, at enhedsvektorer i stedet bruger notationen med numeriske indekser, ganske ofte [ 15]

\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3,\dots \mathbf{e}_n,

hvor n er rummets dimension.

En vektor af enhver dimension dekomponeres i henhold til grundlaget (koordinater tjener som ekspansionskoefficienter):

\mathbf a = a_1\mathbf e_1 + a_2\mathbf e_2 + a_3\mathbf e_3 + \dots + a_n\mathbf e_n

eller

\mathbf a = \sum\limits_{i=1}^n a_i\mathbf e_i,

og for en ortonormal basis er koordinaterne også meget nemme at finde gennem skalarprodukter med orts:

a_i = \mathbf a \cdot \mathbf e_i.

Se også

Noter

↑ Bix, Robert A.; D'Souza, Harry J. Analytisk geometri . Encyclopædia Britannica . Hentet 6. august 2017. Arkiveret fra originalen 6. august 2017. (ubestemt)
↑ Kent, Alexander J. The Routledge Handbook of Mapping and Cartography : [ eng. ] / Alexander J. Kent, Peter Vujakovic. — Routledge, 2017-10-04. — ISBN 9781317568216 . Arkiveret 24. november 2021 på Wayback Machine
↑ A Tour of the Calculus, David Berlinski
↑ Axler, Sheldon. Lineær algebra udført rigtigt - Springer. - 2015. - S. 1. - ISBN 978-3-319-11079-0 . - doi : 10.1007/978-3-319-11080-6 .
↑ 1 2 Ordbog over fremmede ord. — M.: Rus. yaz., 1989. - 624 s. ISBN 5-200-00408-8
↑ Nogle gange er det simpelthen fundamentalt umuligt, hvis værdier af forskellige fysiske dimensioner er plottet langs akserne; dog set fra et geometrisk synspunkt er denne bemærkning ikke særlig væsentlig, da man da kan betragte skalaerne langs akserne for at være betinget ens (f.eks. skalaer, så enhederne falder sammen, når de er afbildet på et geometrisk plan).
↑ Ordbog over fremmede ord. - M .: " Russisk sprog ", 1989. - 624 s. ISBN 5-200-00408-8
↑ Du kan forvandle et højre koordinatsystem til et venstre og omvendt ved hjælp af spejling.
↑ Men ikke nødvendigvis: spørgsmålet om notation bestemmes i sidste ende af den særlige anvendelse.
↑ Dette kan findes ud fra, om det er muligt ved nogle rotationer (og oversættelser, hvis oprindelsen af koordinater ikke er sammenfaldende) at kombinere et givet koordinatsystem med et, hvis orientering per definition er højrehåndet. Hvis ja, så betragtes dette system som højre, hvis ikke, så til venstre. Det er endnu nemmere rent teknisk at finde ud af transformationsmatricens fortegn fra det rigtige grundlag til det givne.
↑ Slutningen af det rettede segment er et punkt; rektangulære koordinater for et punkt er diskuteret i artiklen ovenfor.
↑ I dette afsnit vil vi mene det sædvanlige kartesiske koordinatsystem, det vil sige et rektangulært koordinatsystem med samme skala langs alle akser; overvejelse af koordinatsystemer med forskellige skalaer langs forskellige akser ville her medføre uberettigede formelle komplikationer med en ret lille gevinst i indholdet.
↑ Denne beskrivelse svarer naturligvis fuldstændig til den sædvanlige indstilling af koordinatakserne, du skal blot angive oprindelsen af koordinaterne (sidstnævnte er ofte indlysende som standard).
↑ Hvis du nægter betingelsen om lige skala af koordinatakserne - kun en ortogonal basis .
↑ Andre bogstaver kan dog ofte bruges i stedet for bogstavet e . Dette er som udgangspunkt eksplicit angivet.

Links

V. I. Gervids. Cartesisk koordinatsystemmodel (flash). NRNU MEPhI (10.03.2011). Hentet: 3. maj 2011. (ubestemt)

Koordinatsystemer
Navn på koordinater	Abscisse Ordinere Applikation
Typer af koordinatsystemer	Retlineært koordinatsystem Kurvilineært koordinatsystem
2D koordinater	Tokantede koordinater Bicentriske koordinater Hyperbolske koordinater Polære koordinater Bipolære koordinater Parabolske koordinater Elliptiske koordinater Tetracykliske koordinater Trilineære koordinater
3D koordinater	Cylindriske koordinater Kugleformede koordinater Bisfæriske koordinater Toroidale koordinater Cylindriske parabolske koordinater Bicylindriske koordinater Ellipsoide koordinater Koniske koordinater Pentasfæriske koordinater Dipolært koordinatsystem
$n$ -dimensionelle koordinater	Cartesiske koordinater Affine koordinater Projektive koordinater Plücker koordinater barycentriske koordinater
Fysiske koordinater	Rindler koordinater Fødte koordinater Himmelsk koordinatsystem Geografiske koordinater Hovedortodromiske koordinatsystem
Relaterede definitioner	Koordinat metode Oprindelse Koordinatakse Vektor Orth referencesystem Benchmark Lamme koefficienter Metrisk tensor