Kontinuum (mængdeteori)

Kontinuum i mængdeteori er potensen (eller kardinaltallet ) af mængden af alle reelle tal . [1] Betegnes med et lille latinsk bogstav c i brudstilen : . Et sæt, der har et kontinuums kardinalitet, kaldes et kontinuumsæt [2] . $\mathfrak{c}$

Udtrykket "kontinuum" kan også betyde selve sættet af reelle tal, eller endda ethvert kontinuumsæt.

Egenskaber

Kontinuummet er kraften i Boolean i et tælleligt sæt .
Som kardinalitet af Boolesk af et tælleligt sæt, er kontinuum en uendelig kardinalitet [3] der overstiger den tællelige kardinalitet . I mængdelære med valgaksiomet er kontinuum, ligesom enhver uendelig kardinalitet, en alef , og når ordenstallet for kontinuum i rækken af alfer er angivet med bogstavet ( ), , dvs. $\zeta$ ${\mathfrak {c}}=\aleph _{\zeta }$ $\zeta >0$ $\aleph _{0}<\aleph _{1}\leq \aleph _{\zeta }={\mathfrak {c}}$
I rækken af uendelige booleanere [4] er kontinuummet . ${\displaystyle \gimel _{\xi))$ ${\mathfrak {c}}=\gimel _{1}$
Antagelsen om, at der ikke er nogen potenser mellem det tællelige og kontinuumet, kaldes kontinuumshypotesen . I mængdelære med valgaksiomet er det formuleret som eller eller , hvor er det tidligere indførte tal på kontinuumet i rækken af alfer. Den generaliserede kontinuumshypotese er formuleret som for enhver ordinal . $\mathfrak{c} = \aleph_1$ ${\displaystyle \gimel _{1}=\aleph _{1))$ $\zeta=1$ $\zeta$ ${\displaystyle \gimel _{\xi }=\aleph _{\xi ))$ $\xi$
En tællig kartesisk grad af et kontinuum er et kontinuum: , og derfor er enhver ikke-nul endelig [5] Cartesisk grad af et kontinuum er også et kontinuum: . ${\mathfrak {c}}^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}$ $(\forall n\in \mathbb {N} \setminus \left\{0\right\}){\mathfrak {c}}^{n}={\mathfrak {c}}$
I mængdeteori med valgaksiomet overskrider kardinaliteten af foreningen af højst en kontinuumfamilie af mængder, som hver især selv højst er kontinuum, ikke kontinuummet, det vil sige er regulært. $\aleph _{\zeta +1}={\mathfrak {c}}^{+}$
Kardinaliteten af en forening af højst tællelige familier af højst tællelige mængder er højst tællelig, det vil sige sektionen [6] af en magtklasse (som en stor [7] partiel orden ), hvis lavere klasse er højst tællelige magter, er uoverkommelig "ifølge Pythagoras " [8] , dvs. i mængdelære med aksiomet om valg er regulært. Som en konsekvens heraf er kontinuummet (såvel som ) uopnåeligt "ifølge Pythagoras" fra ikke mere end tællelige magter - det kan ikke opnås ved at kombinere ikke mere end et tælleligt antal af højst tællelige. $\aleph_1$ $\aleph_1$
Når man opdeler et kontinuumsæt i et endeligt eller tælligt antal dele, vil mindst én af delene have kardinalitet af et kontinuum. Som en konsekvens heraf, i mængdeteori med valgaksiomet , er kontinuummets endelighed utallig.

Oprindelse af udtrykket

Mere end ét-punkts kontinuerlige ("kontinuum") ordrer , det vil sige ordrer med en forbundet naturlig topologi , blev oprindeligt kaldt kontinuumer . Med hensyn til den rigtige rækkefølge betyder det, at enhver del af den er Dedekind .

Kontinuummet som helhed kan have minimum og maksimum elementer, det vil sige, dets ender kan være både "åbne" og "lukkede".

Det minimale (dvs. indeholdt i ethvert kontinuum) kontinuum er den reelle linje (med både åbne og lukkede ender).

Enhver rækkefølge kan fuldføres til et kontinuum, hvilket indebærer, at kontinuum kan have uendeligt store kardinaliteter . I kardinalrækken er de betegnet med , hvor er kontinuumets ordenstal. ${\mathfrak {c}}_{\xi }$ $\xi$

Den mindste fuldførelse af ordren op til kontinuum er konstrueret ved at fylde spalterne med yderligere punkter, og springene med segmenter (0, 1) uden ender.

Efterfølgende indsnævredes udtrykket "kontinuum", efter at være gået ud over grænserne for specifikke ordinalbetragtninger, i mængdeteorien (og efter den - i resten af matematikken) til den rigtige reelle linje, og "kontinuumets magt" blev, følgelig dens magt. I fremtiden begyndte selve kontinuummets magt at blive kaldt "kontinuum" . I topologi er dette udtryk på den anden side blevet udvidet til enhver forbundet kompakt Hausdorff - topologi (forbundet kompakt sæt), uanset om den givne topologi er af ordensoprindelse, mens nogle kontinuum i gammel forstand (f.eks. en reel linje) med åbne ender) betragtes ikke længere som sådan på grund af tab af kompakthed. På nuværende tidspunkt findes brugen af udtrykket "kontinuum" i sin oprindelige betydning hovedsagelig kun i relativt gammel litteratur. ${\mathfrak {c}}={\mathfrak {c}}_{0}$ $\mathfrak c$

Eksempler

Eksempler på sæt med kontinuumskardinalitet:

Alle punkter på den reelle linje (sættet af reelle tal ). $(-\infty,+\infty)$ $\mathbb {R}$
Alle segmentpunkter . $[0, 1]$
Alle punkter i planet (eller det dimensionelle rum , ). $\mathbb {R} ^{2}$ $n$ $\mathbb {R} ^{n}$ $n\neq 0$
Mængden af alle irrationelle tal.
Sættet af alle transcendentale tal.
Sættet af alle delmængder af et tælleligt sæt.
Sættet af alle delordrer på et tælleligt sæt.
Mættet af alle tællelige sæt af naturlige tal.
Mættet af alle tællelige sæt af reelle tal.
Sættet af alle kontinuerlige funktioner . $\R \til \R$
Sættet af alle åbne delmængder af planet (eller ). $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R} ^{n}$
Sættet af alle lukkede delmængder af planet (eller ). $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R} ^{n}$
Sættet af alle Borel -delmængder af flyet (eller ). $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R} ^{n}$
Kantor sæt

Noter

↑ Khinchin A. Ya. Otte forelæsninger om matematisk analyse. - M.-L., Gostekhizdat, 1948. - s. elleve
↑ Matematikguide Kurinnaya G. Ch.
↑ Se uendelig mængde .
↑ En række uendelige booleaner er defineret som ; ; . ${\displaystyle \gimel _{0}=\aleph _{0))$ $\gimel _{\xi +1}=|{\mathcal {P))(\gimel _{\xi })|$ ${\displaystyle \gimel _{\sup u}=\sup _{\xi \in u}\gimel _{\xi ))$
↑ Se endelig mængde .
↑ Opdeling af insektforudbestillingen i to adskilte klasser: øvre og nedre. Ethvert element, der er mindre end eller lig med nogen af de nederste, er selv i det nederste, større end eller lig med nogen af de øverste, er selv i det øverste. Hvis nogen af klasserne er tomme, er sektionen forkert.
↑ en eller anden måde at løse de formelle kompleksiteter forbundet med store objekter formodes at blive brugt: teorier med klasser, fordybelse i et universelt sæt osv.
↑ Han sagde selv: enheden genererer eksistens, de to - en ubestemt mængde.