Konvergens ifølge Cesaro

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 11. maj 2020; verifikation kræver 1 redigering .

Konvergens ifølge Cesaro er en generalisering af begrebet konvergens af numeriske og funktionelle serier , introduceret af den italienske matematiker Ernesto Cesaro [1] . Faktisk er der en hel familie af definitioner afhængig af parameteren k . Konvergens blev først defineret af Cesaro for positive heltalsværdier af parameteren k og anvendt på et sæt serier. Senere blev begrebet konvergens ifølge Cesaro udvidet til vilkårlige værdier af k , inklusive komplekse værdier . Metoder til at finde summen ifølge Cesaro har adskillige anvendelser: i multiplikation af serier, i teorien om Fourier-serier og andre spørgsmål.

Definition

En serie siges at være Cesaro-konvergent af orden k eller (C, k) -konvergent med sum S , hvis: $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

\lim _{{n\to \infty }}{\frac {A_{n}^{k}}{E_{n}^{k}}}=S

hvor er defineret som ekspansionskoefficienter: $A_{n},E_{n}$

\sum _{{n=0}}^{\infty}A_{n}^{\alpha }x^{n}={\frac {\displaystyle {\sum _{{n=0}}^{\ infty }a_{n}x^{n}}}{(1-x)^{{1+\alpha }}}},

\sum _{{n=0}}^{\infty }E_{n}^{\alpha }x^{n}=(1-x)^{{-1-\alpha }},

Egenskaber

For k = 0 er Cesaro-konvergensen den sædvanlige konvergens af serien; for k = 1 konvergerer serien med summen S , hvis hvor er seriens partielle summer. $\lim _{{n\to \infty }}{\frac {1}{n}}\sum _{{j=1}}^{n}s_{j}=S,$ $s_{j}=a_{1}+\cdots +a_{j}$

Metoderne (C, k) til at finde summen af en serie er helt regulære for og er ikke regulære for . Metodens styrke øges med k : hvis en serie er konvergent for k , så er den konvergent med samme sum for k ' for k ' > k > −1 . $k\geq 0$ $k<0$

For k <-1 er denne egenskab ikke bevaret.

Hvis rækken er (C, k) -konvergerende, så . $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $a_{n}=o(n^{k})$

Cesaro-konvergensen (C, k) er ækvivalent og kompatibel med Hölder (H, k) og Rees (R, n, k) konvergens (k >0). For enhver k > −1 er (C, k) -metoden svagere end Abel-metoden .

Eksempel

Lad a n = (-1) n+1 for n ≥ 1. Det vil sige, { a n } er en sekvens

1,-1,1,-1,\ldots .

Rækkefølgen af partielle summer { s n } har formen:

1,0,1,0,\ldots ,

og det er indlysende, at denne serie ikke konvergerer i sædvanlig forstand. Men medlemmerne af sekvensen {( s 1 + … + s n )/ n } er

{\frac {1}{1)),\,{\frac {1}{2)),\,{\frac {2}{3)),\,{\frac {2}{4)), \,{\frac {3}{5)),\,{\frac {3}{6)),\,{\frac {4}{7)),\,{\frac {4}{8} },\,\ldots,

og i alt

\lim _{{n\to \infty }}{\frac {s_{1}+\cdots +s_{n}}{n}}=1/2.

Derfor er serien Cesaro-konvergent med parameter 1, og dens sum er lig med 1/2. $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

Se også

Noter

↑ Cesaro E., "Bull. sci. matematik.", 1890, t. 14, nr. 1, s. 114-20;

Litteratur

Matematisk encyklopædi / Ed. I. M. Vinogradova. Bind 5 - M .: Nauka, 1985
Baron S. A., Introduktion til teorien om summerbarhed af serier, 2. udgave, Tallinn , 1977.
Sigmund A., Trigonometrisk serie, trans. fra engelsk, bind 1, M., 1965;
Fikhtengol'ts GM Et kursus i differential- og integralregning . Bind 2. - Udg. 6-is, stereotypisk. — M.: Nauka, 1966
Xapdi G., Divergent series, trans. fra engelsk, M., 1951;
Shawyer, Bruce; Watson, Bruce (1994), Borel's Methods of Summability: Theory and Applications, Oxford UP, ISBN 0-19-853585-6 .