Trekantgruppe (2,3,7)

Trekantgruppen (2,3,7) [1]  er den trekantede gruppe ( von Dyck-gruppen ) D (2,3,7) af orienteringsbevarende afbildninger. Et vigtigt objekt i teorien om Riemann overflader og Lobachevsky geometri i forbindelse med Hurwitz overflader , nemlig[ klargør ] med Riemann-overflader af slægten g med den højest mulige rækkefølge af automorfigruppen lig med 84( g − 1).

De normale torsionsfrie undergrupper af den trekantede gruppe (2,3,7) er de fuchsiske grupper forbundet med Hurwitz-overflader såsom Klein-kvartikken , McBeath-overfladen og den første Hurwitz-triple .

Bygninger

Hyperbolsk konstruktion

For at konstruere en trekantet gruppe starter vi med en hyperbolsk trekant med vinklerne π/2, π/3, π/7. Denne trekant er den mindste hyperbolske Schwartz-trekant, og dens refleksioner tesselerer planet ved refleksioner omkring siderne. Betragt en gruppe genereret af refleksioner omkring siderne af en trekant. Denne gruppe er den ikke-euklidiske krystallografiske gruppe (en diskret undergruppe af hyperbolske isometrier ) med denne trekant som sit grundlæggende domæne . Den tilhørende flisebelægning er en opdelt sekskantet flisebelægning af størrelsesorden 3 . Den trekantede gruppe (2,3,7) er defineret som en undergruppe af indeks 2 bestående af orienteringsbevarende isometrier, og er en fuchsisk gruppe (orienteringsbevarende ikke-euklidisk krystallografisk gruppe).

Gruppemission

Gruppen kan specificeres ved hjælp af et par generatorer, g 2 , g 3 , med følgende relationer:

Geometrisk svarer disse relationer til rotationer med 2π/2, 2π/3 og 2π/7 omkring hjørnerne af Schwartz trekanten.

Algebra of quaternions

Trekantgruppen (2,3,7) kan repræsenteres af quaterniongruppen med norm 1, med en passende R-orden [2] i quaternionalgebraen . Mere specifikt er trekantgruppen kvotienten af ​​quaterniongruppen i dens centrum ±1.

Lad η = 2cos(2π/7). Så fra ligestillingen

ser vi, at Q (η) er en fuldstændig reel kubisk forlængelse af Q . Den hyperbolske gruppe i trekanten (2,3,7) er en undergruppe af gruppen af ​​elementer i quaternionalgebraen med norm 1, dannet som en associativ algebra af et par generatorer i og j og relationerne i 2 = j 2 = η , ij = − ji . Man kan vælge en passende rækkefølge af Hurwitz quaternions i quaternion algebraen. Her genereres rækkefølgen af ​​elementerne

Faktisk er ordren et gratis Z [η]-modul over basis . Generatorer opfylder betingelserne

som reduceres til relationer i den trekantede gruppe efter at have taget faktorgruppen i centrum.

Forholdet til SL(2,R)

Udvider vi skalarerne fra Q (η) til R (ved standardindlejring), får vi en isomorfi mellem quaternionalgebraen og algebraen M(2, R ) af reelle 2 x 2 matricer. Valget af en bestemt isomorfi giver os mulighed for at vise trekantgruppen (2,3,7) som et specialtilfælde af den fuchsiske gruppe i SL(2, R ) , nemlig som en faktorgruppe af den modulære gruppe . Dette kan visualiseres ved hjælp af de tilhørende flisebelægninger, som vist til højre i figuren - flisebelægningen (2,3,7) af Poincaré-skiven er faktorpladsen for den modulære flisebelægning af det øverste halvrum.

Men til mange formål er der ikke behov for at specificere en eksplicit isomorfi. Så spor af gruppeelementer (og følgelig afstanden til bevægelse af hyperbolske elementer i det øvre halvplan såvel som systoler af fuchsiske undergrupper) kan beregnes ved hjælp af reducerede spor i quaternionalgebraen med formlen

Noter

  1. ↑ Den "trekante gruppe (2,3,7)" forstås oftest som den ufuldstændige trekantede gruppe Δ(2,3,7) ( Coxeter-gruppen med Schwartz-trekanten (2,3,7), eller realiseret som en hyperbolsk reflektionsgruppe ), nemlig den "almindelige" trekantede gruppe .
  2. ↑ Ordet "orden" har mange betydninger. I denne sammenhæng forstås rækkefølgen som ringens rækkefølge (R-orden). Se Reiners bog Maximum Orders ( Reiner 2003 ).
  3. ↑ Platoniske fliser af Riemann-overflader: The Modular Group Arkiveret 28. oktober 2009 på Wayback Machine , Gerard Westendorp Arkiveret 10. marts 2011 på Wayback Machine

Litteratur