Næsten polygon

En næsten polygon er en incidensgeometri foreslået af Ernest E. Schult og Artur Januszka i 1980 [1] . Schult og Januszka viste sammenhængen mellem de såkaldte tetraedriske lukkede linjesystemer i euklidiske rum og en klasse af punkt/linjegeometrier , som de kaldte næsten polygoner. Disse strukturer generaliserer den generaliserede polygonnotation , da enhver generaliseret 2n -gon næsten er en 2n - gon af en eller anden art. Nær-polygoner blev intensivt undersøgt, og forbindelsen mellem dem og dobbelte polære rum [2] blev vist i 1980'erne og begyndelsen af 1990'erne. Noglesporadiske simple grupper , såsom Hall-Janko- gruppen og Mathieu-grupperne , fungerer som automorfigrupper på næsten polygoner.

Definitioner

Næsten 2 d -goner er incidensstrukturen ( ), hvor er sættet af punkter, er sættet af linjer og er incidensrelationen , sådan at: $P,L,I$ $P$ $L$ $I\subseteq P\times L$

Den maksimale afstand mellem to punkter (kaldet diameteren) er d .
For ethvert punkt og enhver linje er der et enkelt punkt på , som er tættest på . $x$ $L$ $L$ $x$

Bemærk, at afstanden måles i form af en collineær punktgraf , dvs. en graf dannet af punkter som knudepunkter, og et par knudepunkter er forbundet med en kant, hvis de falder ind på den samme linje. Vi kan også give en alternativ definition i form af grafteori . En næsten 2d -gon er en forbundet graf med endelig diameter d med den egenskab, at der for enhver toppunkt x og enhver maksimal klike M er et unikt toppunkt x' i M , der er tættest på x . Den maksimale klik på en sådan graf svarer til linjerne i definitionen af incidensstrukturen. En næsten 0-gon ( d = 0) er et enkelt punkt, mens en næsten 2-gon ( d = 1) kun er en linje, dvs. komplet graf. En næsten kvadratisk ( d = 2) er det samme som en (muligvis degenereret) generaliseret firkant . Det kan påvises, at enhver generaliseret 2d - gon er en næsten 2d -gon, der opfylder to yderligere betingelser:

Ethvert punkt er indfaldende med mindst to linjer.
For alle to punkter x , y ved afstanden i < d , er der et unikt nabopunkt for y i afstanden i − 1 fra x .

En næsten polygon siges at være tæt, hvis en linje falder sammen med mindst tre punkter, og hvis to punkter i en afstand af to har mindst to fælles nabopunkter. En polygon siges at være af orden ( s , t ), hvis en linje er indfaldende til nøjagtigt s + 1 punkter, og ethvert punkt falder ind med nøjagtigt t + 1 linjer. Tætte næsten polygoner har en rig teori og nogle af deres klasser (såsom tynde tætte næsten polygoner) er fuldt klassificeret [3] .

Et underrum X af et rum P siges at være konveks , hvis et punkt på den korteste vej mellem to punkter fra X også er indeholdt i X [4] .

Eksempler

Alle forbundne todelte grafer er næsten polygoner. Faktisk skal enhver nær-polygon med præcis to punkter pr. linje være en forbundet todelt graf.
Alle endelige generaliserede polygoner undtagen projektive planer.
Alle dobbeltpolære rum .
Hall-Janko-næsten-ottekanten, også kendt som Cohen-Ts- næsten -ottekanten [5] , er relateret til Hall-Janko-gruppen . Den kan konstrueres ved at vælge konjugationsklassen af 315 centrale involutioner af Hall-Yanko-gruppen som punkter og de tre-elements delmængder {x,y,xy} som linjer, hvis x og y pendler.
Næsten polygon M 24 forbundet med Mathieu-gruppen M 24 og den udvidede binære Golay-kode . Oktagonen er bygget af 759 octads (blokke) af Witt-skemaet S(5, 8, 24) svarende til Golay-koderne som punkter og tripler af tre parvise ikke-skærende ottere som rette linjer [6]
Lad os tage en partition af mængden {1, 2,..., 2n+2} i n + 1 delmængder af 2 elementer som punkter og n - 1 [7] delmængder af to elementer og en delmængde af 4 elementer som linjer. Et punkt er indfaldende til en linje, hvis og kun hvis det (som en partition) er en forfining af linjen. Dette giver os en 2n-gon med tre punkter på hver linje, normalt betegnet som H n . Den fulde automorfigruppe af denne næsten polygon er S 2n+2 [8] .

Regelmæssige næsten polygoner

En endelig nærgon S kaldes regulær, hvis den har en orden, og hvis der findes konstanter , således at der for to punkter og i en afstand er nøjagtige linjer, der passerer gennem og indeholder (nødvendigvis i ental) punkter i en afstand fra . Det viser sig, at regulære nær -goner er præcis de nær -goner, hvis punktgrafer er afstandsregulære grafer . En generaliseret rækkefølge-gon er en regulær næsten - gon med parametre $2d$ $(s,t)$ ${\displaystyle t_{i},i\in \{1,\ldots,d\))$ $x$ $y$ $jeg$ $t_{i}+1$ $y$ $i-1$ $x$ $2d$ $2d$ $2d$ $(s,t)$ $2d$ $t_{1}=0,t_{2}=0,\ldots ,t_{d}=t$

Se også

Endelig geometri
Polarrummet
Delvist lineært mellemrum
relationsordning
Greve Hall - Janko

Noter

↑ Shult, Yanushka, 1980 .
↑ Cameron, 1982 , s. 75-85.
↑ De Bruyn, 2006 .
↑ De Bruyn, 2013 , s. 1313.
↑ Den nære ottekant på 315 punkter . Hentet 21. august 2017. Arkiveret fra originalen 29. juli 2021. (ubestemt)
↑ Arkiveret kopi . Hentet 21. august 2017. Arkiveret fra originalen 31. august 2021. (ubestemt)
↑ I den engelske version af artiklen er det n , men i de Bruijns artikel er det n -1.
↑ De Bruyn, 2013 .

Litteratur

Brouwer AE, Cohen AM, Wilbrink HA, Hall JJ Nær polygoner og Fischer-rum // Geom. Dedicata. - 1994. - T. 49 . — S. 349–368 . - doi : 10.1007/BF01264034 .
Brouwer AE, Cohen AM Distance Regular Graphs. - Berlin, New York: Springer-Verlag., 1989. - ISBN 3-540-50619-5 .
Cameron Peter J. Dobbelt polarum // Geom. Dedicata. - 1982. - T. 12 . — S. 75–85 . - doi : 10.1007/bf00147332 .
Cameron Peter J. Projektive og polære rum . - Queen Mary og Westfield College School of Mathematical Sciences, 1991. - V. 13. - (QMW Maths Notes).
De Bruyn Bart. I nærheden af polygoner. - Birkhäuser Verlag, 2006. - ISBN 3-7643-7552-3 . - doi : 10.1007/978-3-7643-7553-9 .
De Clerck F., Van Maldeghem H. Nogle klasser af rang 2 geometrier // Handbook of Incident Geometry. - Amsterdam: Nord-Holland, 1995. - S. 433-475.
Shult Ernest E. Points and Lines. - Springer, 2011. - (Universitex). — ISBN 978-3-642-15626-7 . - doi : 10.1007/978-3-642-15627-4 .
Shult Ernest, Yanushka Arthur. Nær n-goner og linjesystemer // Geom. Dedicata. - 1980. - T. 9 . — S. 1–72 . - doi : 10.1007/BF00156473 .
De Bruyn Bart. Isometriske indlejringer af de nære polygoner H n og G n i dualpolære rum // Diskret matematik / Douglas B. West. - 2013. - Udgave. 313 . - S. 1313-1321 . — ISSN 0012-365X .