Ligning xʸ = yˣ

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 22. december 2017; checks kræver 15 redigeringer .

Selvom eksponentieringsoperationen ikke er kommutativ , gælder lighed for nogle par, f.eks. [1] $x^{y}=y^{x}$ $(x,y),$ $x=2,y=4.$

Historie

Ligningen er nævnt i Bernoullis brev til Goldbach (29. juni 1728 [2] ). Bogstavet siger, at for , par er den eneste (op til permutation) løsning i naturlige tal, selvom der er uendeligt mange løsninger i rationelle tal [3] [4] . Goldbachs svarbrev (31. januar 1729 [2] ) indeholder den generelle løsning af ligningen opnået ved at erstatte [3] En lignende løsning er givet af Euler [4] . J. van Hengel påpegede, at hvis er positive heltal, eller derefter , for at løse en ligning i naturlige tal , er det tilstrækkeligt at overveje tilfældene og [4] [5] $x^{y}=y^{x}$ $x\ney$ $(2,4)$ $y=vx.$ $r,n$ $r\geqslant 3$ $n\geqslant 3,$ $r^{r+n}>(r+n)^{r},$ $x=1$ $x=2.$

Problemet er gentagne gange blevet overvejet i den matematiske litteratur [3] [4] [2] [6] [7] . I 1960 var ligningen blandt opgaverne ved Putnam Olympiad [8] , hvilket fik A. Hausner til at udvide resultaterne til algebraiske felter [3] [9] .

Løsninger i reelle tal

Et uendeligt sæt af trivielle løsninger i positive reelle tal kan findes som løsninger til ligningen Ikke -trivielle løsninger kan findes ved at indstille derefter $x=y.$ $x\neq y,$ $y=vx.$

(vx)^{x}=x^{vx}=(x^{v})^{x}.

At hæve begge sider til en magt og derefter dividere med giver ${\tfrac {1}{x}}$ $x$

v=x^{v-1}.

Derefter udtrykkes ikke-trivielle løsninger i positive reelle tal som

x=v^{\frac {1}{v-1)),

y=v^{\frac {v}{v-1)).

En ikke-triviel løsning i naturlige tal kan opnås ved at indstille eller $4^{2}=2^{4}$ $v=2$ $v={\tfrac {1}{2}}.$

Løsning i form af Lambert W-funktionen

Løsningen af ligningen kan også udtrykkes i termer af den ikke-elementære Lambert W-funktion af variablen : [10] ${\displaystyle y^{x}=x^{y))$ $B(x)$ $x$

$y^{x}=x^{y}\Longleftrightarrow y^{\frac {1}{y}}=x^{\frac {1}{x}}$ , lad os foretage en erstatning : $x={\frac {1}{z))$

${\displaystyle y^{\frac {1}{y}}={\biggl (}{\frac {1}{z}}{\biggr )}^{1\div {\frac {1}{z} }}\Longleftrightarrow {\biggl (}{\frac {1}{z}}{\biggr )}^{z}=y^{\frac {1}{y}}\Longleftrightarrow z^{-z}= y^{\frac {1}{y}}\Longleftrightarrow z^{z}=y^{-{\frac {1}{y))))$

Variablen kan nu udtrykkes i termer af Lambert W-funktionen : $z$ $z=e^{W{\bigl (}\ln {\bigl (}y^{-{\frac {1}{y))}{\bigr )}{\bigr )))$

Den endelige løsning vil se sådan ud: $x=e^{-W{\bigl (}\ln {\bigl (}y^{-{\frac {1}{y))}{\bigr )}{\bigr )))$

Især i lyset af tvetydigheden af denne funktion vil intervallet eller ligningen have to rødder . $e^{-{\frac {1}{e}}}\leqslant y^{-{\frac {1}{y}}}<1$ $e^{\frac {1}{e}}\leqslant y^{\frac {1}{y}}<1$ ${\displaystyle x_{1},x_{2))$

Hvilken af parametrene ( eller ) der vil være en variabel, er i det væsentlige ligegyldig, formlen forbliver den samme. $y$ $x$

Hvis uligheden (eller )< er sand for en variabel (eller ) , så er der ingen rødder i reelle tal. $x$ $y$ $y$ $x$ $e^{\frac {1}{e))$

Løsning i form af en superrod af anden grad

Ligningen er et specialtilfælde af ligningen for og . Ved at erstatte disse værdier i den generelle løsningsformel er det let at finde løsningen til den oprindelige ligning: [11] ${\displaystyle y^{x}=x^{y))$ $y^{x}=bx^{n},{\text{ }}y,b=const$ $b=1$ $n=y$

${\displaystyle y^{x}=x^{y}\Longleftrightarrow x_{1,2,3}=y\log _{y}{\biggl (}{}^{\frac {1}{2)) {\Bigl (}y^{\pm {\frac {1}{y\ gange {\sqrt[{y}]{1))))}{\Bigr )}{\biggr )}^{-1} \Longleftrightarrow x_{1,2,3}=-y\log _{y}{\biggl (}{}^{\frac {1}{2)){\Bigl (}y^{\pm {\frac {1}{y))}{\Bigr )}{\biggr )))$

Denne løsning er mere komplet, da den giver dig mulighed for at få negative reelle rødder, hvis de eksisterer (fordi logaritmen , i modsætning til eksponenten i den forrige løsning, kan være mindre end nul). Eksistensen af den tredje rod forklares ved ækvivalensen af ligningerne og for selv er der dog i praksis kun maksimalt to reelle rødder (den tredje rod i formlen er nødvendigvis fremmed) på grund af det faktum, at superroden funktion af anden grad er det omvendte af ovenstående funktion (ellers ), som udtrykkes i termer af Lambert W-funktionen, som til gengæld ikke kan tage mere end to reelle værdier [12] . ${\displaystyle y^{x}=x^{y))$ ${\displaystyle y^{x}=(-x)^{y))$ $y$ $f(z)={}^{\frac {1}{2}}z$ ${\displaystyle f(z)=z^{z))$ $f(z)={}^{2}z$

Den identiske lighed følger af denne løsning: . Dette er let at bevise ved at sidestille de to løsninger beskrevet ovenfor med hinanden: $-y\log _{y}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})={\frac {1}{{ }^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})}}$

$-y\log _{y}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})={\frac {1}{{ }^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})}}\Longleftrightarrow {}^{\frac {1}{2}}(y^{ -{\frac {1}{y}}}})\log _{y}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}}) = -{\frac {1}{y}}$ , så ifølge egenskaberne af logaritmen og superroden af anden grad:

$\log _{y}{\biggl (}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}}){\biggr )}^ {{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})}=-{\frac {1}{y}}\Longleftrightarrow \log _{ y}(y^{-{\frac {1}{y}}})=-{\frac {1}{y}}$ . Den beviste identitet er et særtilfælde af den mere generelle sag under [11] . $b=-y$

Noter

↑ 1 2 Lajos Loczi. Om fællesskabs- og associative beføjelser . KoMaL . Arkiveret fra originalen den 15. oktober 2002. (ubestemt)
↑ 1 2 3 David Singmaster . Kilder i rekreativ matematik: en kommenteret bibliografi. 8. foreløbige udgave . Arkiveret fra originalen den 16. april 2004. (ubestemt)
↑ 1 2 3 4 Marta Sved. Om de rationelle løsninger af x y = y x // Mathematics Magazine. - 1990. Arkiveret 4. marts 2016.
↑ 1 2 3 4 Leonard Eugene Dickson. Rationelle løsninger af x y = y x // Talteoriens historie . - Washington, 1920. - Vol. II. — S. 687.
↑ Hengel, Johann van. Beweis des Satzes, dass unter allen reellen positiven ganzen Zahlen nur das Zahlenpaar 4 und 2 für a und b der Gleichung a b = b a genügt . - 1888. Arkiveret 14. april 2016.
↑ D. O. Shklyarsky , N. N. Chentsov , I. M. Yaglom . 5. Løsning af ligninger i heltal. Opgave 168 // Udvalgte opgaver og sætninger i elementær matematik. Aritmetik og algebra. - 5. - M . : Nauka , 1976. - S. 35. - 384 s. - (Bibliotek af den matematiske cirkel). — 100.000 eksemplarer.
↑ Galperin G. A., Tolpygo A. K. Moscow Mathematical Olympiads: Bog. for studerende / Red. A. N. Kolmogorova. - M . : Uddannelse, 1986. - S. 33, 34, 160.
↑ Den enogtyvende William Lowell Putnam matematiske konkurrence (3. december 1960), eftermiddagssession, opgave 1 // William Lowell Putnam matematiske konkurrenceproblemer og løsninger: 1938-1964 / AM Gleason, RE Greenwood, LM Kelly. - MAA , 1980. - S. 59. - ISBN 0-88385-428-7 .
↑ A. Hausner, Algebraiske talfelter og den diofantiske ligning m n = n m , Amer. Matematik. Monthly 68 (1961), 856-861.
↑ Lambert W-funktion // Wikipedia. — 2017-09-13. (Russisk)
↑ 1 2 Superroot // Wikipedia. — 2018-06-22. (Russisk)
↑ A. E. Dubinov, I. D. Dubinova, S.K. Saykov. Lambert W-funktionen og dens anvendelse på matematiske problemer i fysik . - Sarov: Federal State Unitary Enterprise "RFNC-VNIIEF", 2006. - 160 s. - ISBN 5-9515-0065-6 , BBC 22.311ya 73, D79. Arkiveret 27. juni 2018 på Wayback Machine