Divisor funktion

Divisorfunktionen er en aritmetisk funktion forbundet med divisorerne i et heltal . Funktionen er også kendt som divisorfunktionen . Det bruges især i studiet af forholdet mellem Riemann zeta-funktionen og Eisenstein-serien for modulære former . Undersøgt af Ramanujan , der udledte en række vigtige ligheder i modulære aritmetiske og aritmetiske identiteter .

Nært beslægtet med denne funktion er summeringsdivisorfunktionen , der, som navnet antyder, er summen af divisorfunktionen.

Definition

Funktionen " summen af positive divisorer " σ x ( n ) for et reelt eller komplekst tal x er defineret som summen af x -te potenser af positive divisorer af n . Funktionen kan udtrykkes ved formlen

\sigma _{{x}}(n)=\sum _{{d|n}}d^{x}\,\!,

hvor betyder " d deler n ". Notationen d ( n ), ν( n ) og τ( n ) (fra tysk Teiler = divisor) bruges også til at betegne σ 0 ( n ), eller funktionen af antallet af divisorer [1] [2] . Hvis x er 1, kaldes funktionen sigmafunktionen eller summen af divisorer [3] , og indekset udelades ofte, så σ( n ) svarer til σ 1 ( n ) [4] . ${d|n}$

Alikvotsummen s(n) forner summenaf dens egne divisorersigealle divisorer undtagen .n) −n(1) og er lig med σ[5]n

Eksempler

For eksempel er σ 0 (12) antallet af divisorer af tallet 12:

{\begin{aligned}\sigma _{{0}}(12)&=1^{0}+2^{0}+3^{0}+4^{0}+6^{0}+12 ^{0}\\&=1+1+1+1+1+1=6,\end{aligned}}

mens σ 1 (12) er summen af alle divisorer:

{\begin{aligned}\sigma _{{1}}(12)&=1^{1}+2^{1}+3^{1}+4^{1}+6^{1}+12 ^{1}\\&=1+2+3+4+6+12=28,\end{aligned}}

og alikvotsummen s(12) af korrekte divisorer er:

{\begin{aligned}s(12)&=1^{1}+2^{1}+3^{1}+4^{1}+6^{1}\\&=1+2+3 +4+6=16.\end{aligned}}

Tabel over værdier

n	Afdelere	σ 0 ( n )	σ 1 ( n )	s ( n ) = σ 1 ( n ) − n	Kommentarer
en	en	en	en	0	kvadrat: værdien σ 0 ( n ) er ulige; grad 2: s( n ) = n − 1 (næsten perfekt)
2	1.2	2	3	en	primtal: σ 1 (n) = 1+n, så s(n) =1
3	1.3	2	fire	en	primtal: σ 1 (n) = 1+n, så s(n) =1
fire	1,2,4	3	7	3	kvadrat: σ 0 ( n ) ulige; potens 2: s ( n ) = n − 1 (næsten perfekt)
5	1.5	2	6	en	primtal: σ 1 (n) = 1+n, så s(n) =1
6	1,2,3,6	fire	12	6	første perfekte tal : s ( n ) = n
7	1.7	2	otte	en	primtal: σ 1 (n) = 1+n, så s(n) =1
otte	1,2,4,8	fire	femten	7	potens 2: s ( n ) = n − 1 (næsten perfekt)
9	1,3,9	3	13	fire	kvadrat: σ 0 ( n ) ulige
ti	1,2,5,10	fire	atten	otte
elleve	1.11	2	12	en	primtal: σ 1 (n) = 1+n, så s(n) =1
12	1,2,3,4,6,12	6	28	16	første redundante tal : s ( n ) > n
13	1.13	2	fjorten	en	primtal: σ 1 (n) = 1+n, så s(n) =1
fjorten	1,2,7,14	fire	24	ti
femten	1,3,5,15	fire	24	9
16	1,2,4,8,16	5	31	femten	kvadrat: σ 0 ( n ) ulige; potens 2: s ( n ) = n − 1 (næsten perfekt)

Sagerne og så videre kommer i sekvenserne A001157 , A001158 , A001159 , A001160 , A013954 , A013955 ... $x=2$ $x=3$

Egenskaber

For heltal, der ikke er kvadrater, har hver divisor d af n en pardivisor n/d, og er derfor altid lige for sådanne tal. For kvadrater har en divisor, nemlig , ikke et par, så det er altid ulige for dem. $\sigma _{{0}}(n)$ ${\sqrt n}$ $\sigma _{{0}}(n)$

For et primtal p ,

{\begin{aligned}\sigma _{0}(p)&=2\\\sigma _{0}(p^{n})&=n+1\\\sigma _{1}(p)& =p+1\end{aligned}}

fordi et primtal per definition kun er deleligt med en og sig selv. Hvis p n # betyder primorial så

\sigma _{0}(p_{n}\#)=2^{n}

Det er klart, at for alle . $1<\sigma _{0}(n)<n$ $\sigma (n)>n$ $n > 2$

Divisorfunktionen er multiplikativ , men ikke fuldstændig multiplikativ .

Hvis vi skriver

n=\prod _{{i=1}}^{r}p_{i}^{{a_{i}}}

hvor r = ω ( n ) er antallet af primdivisorer af n , p i er den i - prime divisor, og a i er den maksimale potens af p i , der deler n , så

\sigma _{x}(n)=\prod _{{i=1}}^{{r}}{\frac {p_{{i}}^{{(a_{{i}}+1)x }}-1}{p_{{i}}^{x}-1}}

hvilket svarer til:

\sigma _{x}(n)=\prod _{{i=1}}^{r}\sum _{{j=0}}^{{a_{i}}}p_{i}^{{ jx}}=\prod _{{i=1}}^{r}(1+p_{i}^{x}+p_{i}^{{2x}}+\cdots +p_{i}^{ {a_{i}x}}).

Sætter vi x = 0, får vi, at d ( n ) er:

\sigma _{0}(n)=\prod _{{i=1}}^{r}(a_{i}+1).

For eksempel har tallet n \u003d 24 to prime divisorer - p 1 \u003d 2 og p 2 \u003d 3. Da 24 er produktet af 2 3 × 3 1 , så er en 1 \u003d 3 og en 2 \u003d 1 .

Nu kan vi beregne : $\sigma _{0}(24)$

{\begin{aligned}\sigma _{0}(24)&=\prod _{{i=1}}^{{2}}(a_{i}+1)\\&=(3+1) (1+1)=4\ gange 2=8.\end{aligned}}

De otte divisorer af 24 er 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12 og 24.

Bemærk også at s ( n ) = σ ( n ) − n . Her betegner s ( n ) summen af de rigtige divisorer af tallet n , det vil sige divisorerne eksklusive tallet n selv . Denne funktion bruges til at bestemme perfektionen af et tal - for dem er s ( n ) = n . Hvis s ( n ) > n , kaldes n overdreven , og hvis s ( n ) < n , kaldes n utilstrækkelig .

Hvis n er en potens af to, det vil sige , så er s (n) = n - 1 , hvilket gør n næsten perfekt . $n=2^{k}$ $\sigma (n)=2\ gange 2^{k}-1=2n-1,$

Som et eksempel, for to simple p og q (hvor p < q ), lad

n=pq.

Derefter

\sigma (n)=(p+1)(q+1)=n+1+(p+q),

\phi (n)=(p-1)(q-1)=n+1-(p+q),

n+1=(\sigma (n)+\phi (n))/2,

p+q=(\sigma (n)-\phi (n))/2,

hvor φ ( n ) er Euler-funktionen .

Så rødderne p og q af ligningen:

(xp)(xq)=x^{2}-(p+q)x+n=x^{2}-[(\sigma (n)-\phi (n))/2]x+[ (\sigma (n)+\phi (n))/2-1]=0

kan udtrykkes som σ ( n ) og φ ( n ):

p=(\sigma (n)-\phi (n))/4-{\sqrt {[(\sigma (n)-\phi (n))/4]^{2}-[(\ sigma (n)+\phi (n))/2-1]}},

q=(\sigma (n)-\phi (n))/4+{\sqrt {[(\sigma (n)-\phi (n))/4]^{2}-[(\ sigma (n)+\phi (n))/2-1]}}.

Ved at kende n og enten σ ( n ) eller φ ( n ) (eller at kende p+q og enten σ ( n ) eller φ ( n )) kan vi nemt finde p og q .

I 1984 beviste Roger Heath-Brown det

\sigma _{0}(n)=\sigma _{0}(n+1)

forekommer uendeligt mange gange.

Rækkeforbindelse

To Dirichlet-serier ved hjælp af divisorfunktionen:

\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {\sigma _{{a}}(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\zeta (sa) ,

og med notationen d ( n ) = σ 0 ( n ) får vi

\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}}=\zeta ^{2}(s),

og anden række

\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (sa)\zeta (sb)\zeta (sab)}{\zeta (2s-ab))).

Lambert-serien ved hjælp af divisorfunktionen:

\sum _{{n=1}}^{\infty}q^{n}\sigma _{a}(n)=\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {n ^{a}q^{n}}{1-q^{n}}}

for ethvert kompleks | q | ≤ 1 og en .

Denne sum optræder også i Fourier-serien for Eisenstein-serien og i invarianterne af Weierstrass elliptiske funktioner .

Asymptotisk væksthastighed

Med hensyn til o-small opfylder divisorfunktionen uligheden (se side 296 i Apostlens bog [6] )

for alle

\epsilon >0,\quad d(n)=o(n^{\epsilon }).

Severin Wiegert gav et mere præcist skøn

\limsup _{{n\to \infty }}{\frac {\log d(n)}{\log n/\log \log n}}=\log 2.

På den anden side, da antallet af primtal er uendeligt ,

\liminf _{{n\to \infty }}d(n)=2.

Med hensyn til big O viste Dirichlet , at den gennemsnitlige rækkefølge af divisorfunktionen opfylder følgende ulighed (se sætning 3.3 i apostlens bog)

for alle

x\geq 1,\sum _{{n\leq x}}d(n)=x\log x+(2\gamma -1)x+O({\sqrt {x}}),

hvor er Euler-Mascheroni konstanten . $\gamma$

Opgaven med at forbedre grænsen i denne formel er Dirichlet divisor problemet $O({\sqrt {x)))$

Sigma-funktionens opførsel er uensartet. Den asymptotiske væksthastighed af sigma-funktionen kan udtrykkes med formlen:

\limsup _{{n\rightarrow \infty }}{\frac {\sigma (n)}{n\,\log \log n}}=e^{\gamma },

hvor lim sup er den øvre grænse for . Dette resultat er Grönwalls teorem offentliggjort i 1913 [7] . Hans bevis bruger Mertens' tredje sætning , som siger det

\lim _{{n\to \infty }}{\frac {1}{\log n}}\prod _{{p\leq n}}{\frac {p}{p-1}}=e^ {{\gamma }},

hvor p er primtal.

I 1915 beviste Ramanujan , at uligheden under Riemann-hypotesen

\ \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n

(Robins ulighed)

holder for alle tilstrækkeligt store n [8] . I 1984 beviste Guy Robin , at uligheden er sand for alle n ≥ 5041, hvis og kun hvis Riemann-hypotesen er sand [9] . Dette er Robins sætning, og uligheden blev almindelig kendt efter beviset for sætningen. Det største kendte tal, der overtræder uligheden, er n = 5040. Hvis Riemann-hypotesen er sand, så er der ingen tal, der er større end dette og krænker uligheden. Robin viste, at hvis hypotesen er forkert, er der uendeligt mange tal n , der overtræder uligheden, og man ved, at det mindste af sådanne tal n ≥ 5041 må være et superredundant tal [10] . Det har vist sig, at uligheden gælder for store ulige kvadratfrie tal, og at Riemann-hypotesen er ækvivalent med uligheden for alle tal n , der er delelige med femte potens af et primtal [11]

Jeffrey Lagarias beviste i 2002, at Riemann-hypotesen svarer til udsagnet

\sigma (n)\leq H_{n}+\ln(H_{n})e^{{H_{n}}}

for enhver naturlig n , hvor er det n'te harmoniske tal [12] . $H_n$

Robin beviste, at uligheden

\ \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n+{\frac {0.6483\ n}{\log \log n))

gælder for n ≥ 3 uden yderligere betingelser.

Noter

↑ Long, Calvin T. (1972), Elementary Introduction to Number Theory (2. udg.), Lexington: DC Heath and Company, LCCN 77-171950 side 46
↑ OEIS -sekvens A000005 _
↑ Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970), Elements of Number Theory, Englewood Cliffs: Prentice Hall, LCCN 77-81766, s. 58
↑ OEIS -sekvens A000203 _
↑ OEIS -sekvens A001065 _
↑ "Apostol Apostol, Tom M. (1976), Introduktion til analytisk talteori, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3 , MR 0434929, Z.bl 03015
↑ Grönwall, Thomas Hakon (1913), "Nogle asymptotiske udtryk i teorien om tal", Transactions of the American Mathematical Society 14: 113-122, doi:10.1090/S0002-9947-1913-1500940-6
↑ Ramanujan, Srinivasa (1997), "Højt sammensatte tal, kommenteret af Jean-Louis Nicolas og Guy Robin", The Ramanujan Journal 1 (2): 119-153, doi:10.1023/A:1009764017495, ISSN 40902, ISSN 40902, ISSN 40902, 1606180
↑ Robin, Guy (1984), "Grandes valeurs de la fonction somme des diviseurs et hypothèse de Riemann", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, Neuvième Série 63 (2): 187-213, ISSN 0021-7824, MR 77411
↑ Akbary, Amir; Friggstad, Zachary (2009), "Superabundant numbers and the Riemann hypothesis", American Mathematical Monthly 116 (3): 273-275, doi:10.4169/193009709X470128
↑ YoungJu Choie, Nicolas Lichiardopol Pieter Moree Patrick Solé Om Robins kriterium for Riemann-hypotesen 2007 Journal de théorie des nombres de Bordeaux, ISSN=1246-7405, v19, udgave 2, sider=357-372
↑ Lagarias, Jeffrey C. (2002), "An elementary problem equivalent to the Riemann hypothesis", The American Mathematical Monthly 109 (6): 534-543, doi:10.2307/2695443, ISSN 0002-9890, JSTOR 490, 0695

Links

Bach, Eric ; Shallit, Jeffrey , Algorithmic Number Theory , bind 1, 1996, MIT Press. ISBN 0-262-02405-5 , se side 234 i afsnit 8.8.
Weisstein, Eric W. Robin's Theorem (engelsk) på Wolfram MathWorld -webstedet .
Elementær evaluering af visse foldningssummer, der involverer divisorfunktioner PDF af Huard, Ou, Spearman og Williams. Indeholder et elementært (det vil sige ikke baseret på teorien om modulære former) bevis på foldningen af summen af divisorer, formler til at repræsentere tal på forskellige måder som summen af trekantede tal .

Tal efter delelighedskarakteristika
Generel information	Faktorisering af heltal Delbarhed enhedsdeler Divisor funktion primtal Grundlæggende sætning for aritmetik Aritmetisk tal
Faktoriseringsformer	primtal Komposit nummer Semiprime rektangulært tal Sphenisk tal Kvadratløst tal Fuld multiple Perfekt grad Achilles nummer glat nummer Almindelig nummer groft tal usædvanligt antal
Med begrænsede divisorer	perfekt tal Lidt utilstrækkelige tal Lidt overflødige tal Multiperfekt tal Hemiperfekte tal hyperperfekt tal super perfekt nummer enhedsprimtal semiperfekt tal pararytmisk tal Erdős-Nicolas nummer
Tal med mange divisorer	Overskydende tal Primitive overskydende tal Meget overflødige tal Super redundante numre Enormt overflødige tal supersammensat tal Et meget supersammensat tal mærkeligt nummer
Relateret til aliquot -sekvenser	helligt tal venlige tal offentlige numre Kvasivenlige tal
Andet	Ikke nok tal ven tal sublimerede tal Malmtal ydmygt nummer Lige cifre ekstravagant nummer