Tilføjelse af divisorfunktion

Den summerende divisorfunktion i talteorien er en funktion, der er summen af divisorfunktionen . Funktionen bruges ofte til at undersøge Riemann zeta-funktionens asymptotiske adfærd . Forskellige undersøgelser af divisorfunktionens asymptotiske opførsel omtales undertiden som divisorproblemer .

Definition

Den summerende divisorfunktion er defineret som:

D(x)=\sum _{n\leq x}d(n)=\sum _{j,k \atop jk\leq x}1

hvor

d(n)=\sigma _{0}(n)=\sum _{j,k \atop jk=n}1

er divisorfunktionen . Divisorfunktionen tæller antallet af måder, hvorpå hele tallet n kan skrives som produktet af to heltal.

Mere generelt kan det defineres som

D_{k}(x)=\sum _{n\leq x}d_{k}(n)=\sum _{mn\leq x}d_{k-1}(n)

hvor d k ( n ) definerer antallet af måder at repræsentere tallet n på som et produkt af k tal. Dette tal kan repræsenteres visuelt som antallet af gitterpunkter afgrænset af en hyperbolsk overflade i k dimensioner. Så, for k =2, repræsenterer D ( x )= D 2 ( x ) antallet af punkter i kvadratgitteret afgrænset af koordinatakserne og hyperbelen jk = x . Denne figur kan groft repræsenteres som en hyperbolsk simplex , som giver os mulighed for at få en alternativ måde at udtrykke D ( x ) på og en enklere måde at beregne tid på : $O({\sqrt {x)))$

D(x)=\sum _{k=1}^{x}\lgulv {\frac {x}{k))\rgulv =2\sum _{k=1}^{u}\lgulv {\frac {x}{k}}\rgulv -u^{2}

, hvor

u=\lgulv {\sqrt {x}}\rgulv

Hvis hyperbelen i denne sammenhæng erstattes af en cirkel, får man problemet med at beregne en lignende funktion, som er kendt som det Gaussiske cirkelproblem .

Dirichlet divisor problemet

At finde et fuldstændigt udtryk for denne sum ser umuligt ud, men der kan gives en tilnærmelse, som er let at finde. Det viste Dirichlet

D(x)=x\log x+x(2\gamma -1)+\Delta (x)\

hvor er Euler-Mascheroni-konstanten , og den ikke-asymptotiske komponent er lig med $\gamma$

\Delta (x)={\mathcal {O}}\left({\sqrt {x}}\right).

Den præcise formulering af Dirichlet divisor problemet er at finde infimum af alle værdier $\theta$

\Delta (x)={\mathcal {O}}\left(x^{\theta +\epsilon }\right)

holder for evt . I 2006 forblev problemet uløst. $\epsilon >0$

Afsnit F1 af uløste problemer i talteori [1] giver et overblik over, hvad der er kendt og hvad der forbliver ukendt om Dirichlet divisorproblemet og Gauss cirkelproblemet.

I 1904 beviste Voronoi , at afvigelsesestimatet kunne forbedres til [2] . ${\mathcal {O}}(x^{1/3}\log x)$
I 1916 viste Hardy det . Især viste han, at for nogle konstante er der x sådan, at og x sådan, at [3] . $\inf \theta \geq 1/4$ $K$ ${\displaystyle \Delta (x)>Kx^{1/4))$ ${\displaystyle \Delta (x)<-Kx^{1/4))$
I 1922 forbedrede Johannes van der Corput Dirichlets skøn til $\inf \theta \leq 33/100.$
I 1928 beviste Johannes van der Corput det $\inf \theta \leq 27/82.$
I 1950 beviste Chih Tsung-tao og uafhængigt af hinanden i 1953, HE Richert, at $\inf \theta \leq 15/46.$
I 1969 viste Grigory Kolesnik det $\inf \theta \leq 12/37$
I 1973 viste Grigory Kolesnik det . $\inf \theta \leq 346/1067$
I 1982 viste Grigory Kolesnik det . $\inf \theta \leq 35/108$
I 1988 beviste G. Ivanets og CJ Mozzochi , at [4] . $\inf \theta \leq 7/22$
I 2003 forbedrede Martin Huxley estimatet ved at vise, at [5] . $\inf \theta \leq 131/416$

Den sande værdi ligger således et sted mellem 1/4 og 131/416 (ca. 0,3149). Den almindeligt accepterede hypotese er, at værdien er præcis 1/4. Direkte beregninger fører til denne formodning, da det viser sig at være en næsten normalfordeling med varians 1 for x op til 10 16 . $\inf \theta$ $\Delta (x)$ ${\displaystyle \Delta (x)/x^{1/4))$

Generaliseret divisor problem

I det generaliserede tilfælde

D_{k}(x)=xP_{k}(\log x)+\Delta _{k}(x)

hvor er et polynomium af grad . $P_{k}$ $k-1$

Ved hjælp af simple estimater kan man vise det

\Delta _{k}(x)={\mathcal {O}}\left(x^{1-1/k}\log ^{k-2}x\right)

for heltal . Som i tilfældet med , er den nedre grænse ukendt. Hvis vi angiver med minimumsværdien for hvilken $k\geq 2$ $k=2$ $\theta_k$

\Delta _{k}(x)={\mathcal {O}}\left(x^{\theta _{k}+\varepsilon }\right)

for enhver , så er følgende resultater kendt: $\varepsilon >0$

Voronoi og Landau: for $\theta _{k}\leq {\frac {k-1}{k+1))$ $k=2,3,\ldots$
Hardy og Littlewood: for $\theta _{k}\leq {\frac {k-1}{k+2))$ $k=4,5,\ldots$
Hardy viste det $\theta _{k}\geq {\frac {k-1}{2k))$ $k=2,3,\ldots$
Titchmarsh foreslog det . $\theta _{k}={\frac {k-1}{2k))$

Mellin transformation

Begge udtryk kan udtrykkes i form af Mellin-transformationen :

D(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{ci\infty }^{c+i\infty}\zeta ^{2}(w){\frac { x^{w}}{w}}\,dw

for . Her er Riemann zeta-funktionerne . $c>1$ $\zeta (s)$

På samme måde

\Delta (x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c^{\prime }-i\infty }^{c^{\prime }+i\infty } \zeta ^{2}(w){\frac {x^{w}}{w}}\,dw

med . Det asymptotiske led opnås ved at flytte konturen ud over det dobbelte entalspunkt : det asymptotiske led er simpelthen en rest (ifølge Cauchy-integralformlen ). $0<c^{\prime }<1$ $D(x)$ $w=1$

Generelt

D_{k}(x)={\frac {1}{2\pi i))\int _{ci\infty }^{c+i\infty }\zeta ^{k}(w){ \frac {x^{w}}{w}}\,dw

og det samme for , for . $\Delta _{k}(x)$ $k\geq 2$

Noter

↑ Richard K. Guy. Uløste problemer i talteori. — 3. - Berlin: Springer, 2004. - ISBN 978-0-387-20860-2 .
↑ Ivic Aleksandar. Riemann Zeta-funktionen. - New York: Dover Publications, 2003. - ISBN 0-486-42813-3 .
↑ Montgomery Hugh, R. C. Vaughan . Multiplikativ talteori I: Klassisk teori. - Cambridge: Cambridge University Press, 2007. - ISBN 978-0-521-84903-6 .
↑ Henryk Iwaniec, CJ Mozzochi . Om divisor- og cirkelopgaverne // Journal of Number Theory. - 1988. - Udgave. 29 . - S. 60-93 . - doi : 10.1016/0022-314X(88)90093-5 .
↑ Martin Huxley. Eksponentielle summer og gitterpunkter III // Proc. London matematik. Soc .. - 2003. - T. 87 , nr. 3 . - S. 591-609 . - doi : 10.1112/S0024611503014485 .

Litteratur

Harold Edwards . Riemanns Zeta-funktion«. - Dover Publications, 1974. - ISBN 0-486-41740-9 .
EC Titchmarsh. kapitel 12 for en diskussion af det generaliserede divisorproblem // Theory of the Riemann Zeta-Function. — Oxford: Oxford på Clarendon Press, 1951.
Apostol, Tom M. Introduktion til analytisk talteori, Undergraduate Texts in Mathematics. - New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 1976. - ISBN 978-0-387-90163-3 . . Giver en introduktion til Dirichlets divisorproblem.
Han rejste sig. Et kursus i talteori . — Oxford, 1988.
Martin Huxley . Eksponentielle summer og gitterpunkter III // Proc. London matematik. soc. - 2003. - T. 87 , nr. 3 . - S. 591-609 .