Liste over ikke-periodiske flisesæt

I geometri er flisedeling  opdelingen af ​​et plan (eller anden geometrisk struktur) i lukkede sæt (kaldet fliser ) uden mellemrum eller overlapninger (bortset fra flisernes grænser) [1] . En fliselægning siges at være periodisk, hvis der er parallelle bevægelser i to uafhængige retninger, der flytter fliser i nøjagtig samme retning. En sådan fliselægning består af én grundlæggende enhed eller primitiv celle , der gentages uendeligt i to uafhængige retninger [2] . Et eksempel på en sådan flisebelægning er vist i illustrationen til højre. Flisebelægninger, der ikke kan bygges ud fra en enkelt primitiv celle, kaldes ikke-periodiske. Hvis et givet sæt fliser kun tillader ikke-periodisk fliselægning, siges et sådant sæt at være ikke- periodisk [3] .

Den første tabel forklarer de forkortelser, der bruges i den anden tabel. Den anden tabel indeholder alle kendte ikke-periodiske flisesæt og giver nogle yderligere grundlæggende oplysninger om hvert sæt. Denne liste over fliser forbliver ufuldstændig.

Forklaringer

Reduktion Betyder Forklaring
E 2 Euklidisk fly almindeligt fly
H2 _ hyperbolsk
plan		 plan, hvor aksiomet for parallelisme ikke holder
E 3 Euklidisk
tredimensionelt
rum		 rum defineret af tre vinkelrette koordinatakser
HDL Lokalt gensidigt afledte to fliser siges at være lokalt gensidigt afledt af hinanden, hvis den ene flise er afledt af den anden ved en simpel lokal regel (såsom fjernelse eller indsættelse af en kant)

Liste

Billede Navn Antal fliser Mellemrum
_		 Udgivelsesdato Links Kommentarer
Trilobite og Cross fliser 2 E 2 1999 [fire] HDL med "Chair" fliser (firkantet med en udskåret fjerdedel)
Penrose fliser P1 6 E 2 1974 [Note 1] [5] LVP med fliser P2 og P3, Robinson trekanter og fliser "stjerne, båd, sekskant"
P2 Penrose fliser 2 E 2 1977 [Note 2] [6] LVP med fliser P1 og P3, Robinson trekanter og fliser "stjerne, båd, sekskant"
P3 Penrose fliser 2 E 2 1978 [Note 3] [7] LVP med fliser P1 og P2, Robinson trekanter og fliser "stjerne, båd, sekskant"
dobbelte fliser 2 E 2 1988 [otte]

[9]

Selvom fliserne ligner fliserne fra P3, er fliserne ikke hinandens HDL. Mosaik designet i et forsøg på at modellere arrangementet af atomer i binære legeringer
Robinson Tiles 6 E 2 1971 [Note 4] [ti] Fliser giver ikke-periodicitet ved at danne et uendeligt hierarki af kvadratiske gitter
Ingen tegning Ammann Fliser A1 6 E 2 1977 [11] [12] Fliser giver ikke-periodicitet ved at danne et uendeligt hierarkisk binært træ.
Ammann Fliser A2 2 E 2 1986 [Note 5] [13]
Ammann Fliser A3 3 E 2 1986 [Note 5] [13]
Ammann Fliser A4 2 E 2 1986 [Note 5] [13] [14] HDL med Ammann fliser A5.
Ammann Fliser A5 2 E 2 1982 [Note 6] [femten]

[16]

HDL med Ammann fliser A4.
Ingen tegning Penrose fliser "Hexagon, Triangle" 2 E 2 1997 [17] [17] [18]
Ingen tegning Fliser "Gylden Trekant" [19] ti E 2 2001 [20] [21] Datoen svarer til det tidspunkt, hvor forbindelsesreglerne blev åbnet. Dual til Ammann fliser A2
Socolar fliser 3 E 2 1989 [Note 7] [22] [23] HDL med "Shield" fliser
Fliser "Shield" fire E 2 1988 [Note 8] [24] [25] HDL med Sokolara fliser
Fliser "Square, Triangle" 5 E 2 1986 [26] [27]
Mosaik "Sphinx" 91 E 2 [28]
Fliser "Stjerne, båd, sekskant" 3 E 2 [29] [30] [31] LCS med Penrose fliser P1, P2, P3 og Robinson trekanter
Robinson trekant fire E 2 [12] LVP-fliser med Penrose-fliser P1, P2, P3 og "Star, Boat, Hexagon".
Danzer trekanter 6 E 2 1996 [32] [33]
Fliser "Pinwheel" E 2 1994 [34] [35] [36] [37] Datoen svarer til offentliggørelsen af ​​tilslutningsreglerne.
Socolar Tile - Taylor en E 2 2010 [38] [39] Ikke-sammenhængende flise . Ikke-periodisk hierarkisk fliselægning.
Ingen tegning Van fliser 20426 E 2 1966 [40]
Ingen tegning Van fliser 104 E 2 2008 [41]
Ingen tegning Van fliser 52 E 2 1971 [Note 4] [42] Fliser giver ikke-periodicitet ved at danne et uendeligt hierarki af kvadratiske gitter
Van fliser 32 E 2 1986 [43] lokalt afledt af Penrose-fliser.
Ingen tegning Van fliser 24 E 2 1986 [43] lokalt afledt af fliser A2
Van fliser 16 E 2 1986 [44]

[45]

Afledte fra A2 fliser og deres Ammann strimler
Van fliser fjorten E 2 1996 [46] [47]
Van fliser 13 E 2 1996 [48] ​​[49]
Ingen tegning Decagon svampeflise en E 2 2002 [50] [51] Porøs flise bestående af ikke-krydsende sæt prikker
Ingen tegning Strengt ikke-periodiske Goodman-Strauss fliser 85 H2 _ 2005 [52]
Ingen tegning Strengt ikke-periodiske Goodman-Strauss fliser 26 H2 _ 2005 [53]
Hyperbolske fliser Borocki (Böröczky) en H n 1974 [54] [55] [56] Kun lidt ikke-periodisk
Ingen tegning Schmitt flise en E 3 1988 [57] periodisk med hensyn til skruen
Schmitt-Conway-Danzer flise en E 3 [57] er periodisk i forhold til skruen og er konveks
Socolar Tile - Taylor en E 3 2010 [38] [39] Periodisk i den tredje dimension
Ingen tegning Penrose rhombohedron 2 E 3 1981 [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65]
Makei-Ammann rhombohedra fire E 3 1981 [66] De har icosahedral symmetri . Disse er dekorerede Penrose rhombohedra med forbindelsesregler, der sikrer ikke-periodicitet.
Ingen tegning Van Cubes 21 E 3 1996 [67]
Ingen tegning Van Cubes atten E 3 1999 [68]
Ingen tegning Danzer tetraeder fire E 3 1989 [69] [70]
Fliser I og L 2 E n
for alle
n ≥ 3		 1999 [71]

Noter

  1. ↑ Grünbaum B., Shephard GC Tilings by Regular Polygons // Math. Mag.. - 1977. - T. 50 , no. 5 . — S. 227–247 . - doi : 10.2307/2689529 . ( WebCite arkiv )
  2. ↑ Edwards S., Fundamental Regions and Primitive Cells ( WebCite- arkiv )
  3. ↑ Stan Wagon. Mathematica i aktion. — 2. - New York, Berlin, Heidelberg: Springer Verlag, 1998. - S. 216 (9.1 NonPeriodic Tilings). — ISBN 0-387-98252-3 .
  4. ↑ Goodman-Strauss C. Et lille aperiodisk sæt af plane fliser // European Journal of Combinatorics . - 1999. - T. 20 , no. 5 . — S. 375–384 . - doi : 10.1006/eujc.1998.0281 . (fortryk tilgængelig her )
  5. ↑ Mikhael J. Kolloide monolag på kvasiperiodiske laserfelter (se side 23) ( WebCite arkiv )
  6. ↑ Gardner M. Penrose fliser til faldlemscifre (se side 86) Arkiveret 30. oktober 2012 på Wayback Machine ( WebCite Archive )
  7. ↑ Penrose R. Pentaplexity // Math. Intel.. - 1979/80. - T. 2 . — S. 32–37 . - doi : 10.1007/bf03024384 . ( WebCite arkiv )
  8. ↑ F. Lançon, L. Billard. Todimensionelt system med en kvasikrystallinsk grundtilstand // J. Phys. Frankrig. - 1988. - T. 49 , no. 2 . — S. 249–256 . - doi : 10.1051/jphys:01988004902024900 . ( WebCite arkiv )
  9. ↑ F. Lançon, L. Billard. Et simpelt eksempel på en ikke-Pisot flisebelægning med femdobbelt symmetri // J. Phys. I Frankrig. - 1992. - Vol. 2 , udgave. 2 . — S. 207–220 . - doi : 10.1051/jp1:1992134 . ( WebCite arkiv )
  10. ↑ Goodman-Strauss C. Aperiodiske hierarkiske fliser // Proc. af NATO-ASI "Skum, emulsioner og cellulære materialer" Ser. E. - 1999. - T. 354 . — S. 481–496 . - doi : 10.1007/978-94-015-9157-7_28 .
  11. ↑ Martin Gardner. Matematikkens kolossale bog . - WW Norton & Company, 2001. - S.  76 .
  12. ↑ 1 2 Grünbaum, Shephard, 1986 , ifølge [1] Arkiveret 30. august 2006 på Wayback Machine ; [2]
  13. ↑ 1 2 3 R. Ammann, B. Grünbaum, G. C. Shephard. Aperiodiske fliser // Diskret Comp Geom. - 1992. - T. 8 . — S. 1–25 . - doi : 10.1007/BF02293033 .
  14. ↑ Harris E., Frettlöh D. Ammann A4 Arkiveret 9. april 2016 på Wayback Machine
  15. ↑ K. Komatsu, K. Nomakuchi, K. Sakamoto, T. Tokitou. Repræsentation af Ammann-Beenker flisebelægninger ved en automat // Nihonkai Math. J .. - 2004. - T. 15 . — s. 109–118 . ( WebCite arkiv )
  16. ↑ Harris E., Frettlöh D. Ammann-Beenker Arkiveret 5. oktober 2008 på Wayback Machine
  17. ↑ 1 2 R. Penrose. The Mathematics of Long-Range Aperiodic Order / Moody RV. - Nato Asi Series C. - Dordrecht: Kluwer, 1997. - T. 489. - S. 467-497. - ISBN 978-0-7923-4506-0 . - doi : 10.1007/978-94-015-8784-6_18 . R. Penrose. The Mathematics of Long-Range Aperiodic Order / Moody RV. - Springer Verlag GMBH, 2010. - T. 489. - S. 467-497. - (Nato Asi Series U). — ISBN 9048148324 . - doi : 10.1007/978-94-015-8784-6_18 .
  18. ↑ C. Goodman-Strauss, Et aperiodisk par fliser
  19. ↑ Flisen svarer ikke til den ligebenede " gyldne trekant " og er en retvinklet trekant med det gyldne forhold mellem hypotenusen og benet
  20. ↑ Ludwig Danzer, Gerrit van Ophuysen. En art af plane trekantede fliser med inflationsfaktor  , Res. Tyr. Panjab Univ. Sci .. - 2001. - V. 50 , no. 1-4 . — S. 137–175 .
  21. ↑ G Gelbrich. Fractal Penrose fliser II. Fliser med fraktal grænse som dualer af Penrose trekanter // Aequationes Math.. - 1997. - V. 54 . — S. 108–116 . - doi : 10.1007/bf02755450 .
  22. ↑ F. Gähler, R. Lück, S.I. Ben-Abraham, P. Gummelt. Dodekagonale fliser som maksimale klyngebelægninger . Hentet: 25. september 2013.
  23. ↑ Socolar-flisebelægningen
  24. ↑ Gähler F., Frettlöh D. Shield Arkiveret 3. marts 2016 på Wayback Machine
  25. ↑ F. Gähler. Matchingsregler for kvasikrystaller: sammensætning-nedbrydningsmetoden // J. af ikke-krystallinske faste stoffer. - 1993. - T. 153 & 154 . — S. 160–164 . - doi : 10.1016/0022-3093(93)90335-u . ( WebCite arkiv )
  26. ↑ Stampfli, P. A Dodecagonal Quasiperiodic Lattice in Two Dimensions  // Helv. Phys. Acta.. - 1986. - T. 59 . - S. 1260-1263 .
  27. ↑ Hermisson J., Richard C., Baake M. A Guide to the Symmetry Structure of Quasiperiodic Tiling Classes Arkiveret 4. marts 2016 på Wayback Machine (arkiveret WebCite )
  28. ↑ Goodman-Strauss C., Aperiodic fliselægning (se side 74) Arkiveret 13. marts 2012 på Wayback Machine
  29. ↑ Lord EA Quasicrystals and Penrose-mønstre // Current Science. - 1991. - T. 61 . - S. 315 .
  30. ↑ Z. Olamy, M. Kleman. En todimensionel aperiodisk tæt flisebelægning // J. Phys. Frankrig. - 1989. - T. 50 . — S. 19–33 . - doi : 10.1051/jphys:0198900500101900 . ( WebCite arkiv )
  31. ↑ M. Mihalkovič, C. L. Henley, M. Widom. Kombineret energi-diffraktionsdataforfining af dekagonal AlNiCo // J. Non-Cryst. faste stoffer. - 2004. - T. 334 & 335 . — S. 177–183 . ( WebCite arkiv )
  32. ↑ Nischke, KP og Danzer, L,. En konstruktion af inflationsregler baseret på $n$-fold symmetri // Discrete Comput. Geom.. - 1996. - V. 15 , no. 2 . — S. 221–236 . - doi : 10.1007/bf02717732 . 96j:52035
  33. ↑ Hayashi H., Kawachi Y., Komatsu K., Konda A., Kurozoe M., Nakano F., Odawara N., Onda R., Sugio A., Yamauchi M. Abstrakt: Bemærkninger om vertexatlas af plan Danzer flisebelægning
  34. ↑ Radin C. The pinwheel tilings of the fly // Annals of Mathematics. Anden serie . - 1994. - T. 139 , no. 3 . — S. 661–702 . - doi : 10.2307/2118575 . — .
  35. ↑ Charles Radin. Symmetri Of Tilings Of The Plane // Annals of Mathematics. - 1994. - doi : 10.1090/s0273-0979-1993-00425-7 .
  36. ↑ C. Radin, M. Wolff. Rumfliser og lokal isomorfisme // Geom. Dedicata. - 1992. - T. 42 , no. 3 . — S. 355–360 . - doi : 10.1007/bf02414073 .
  37. ↑ C. Radin. Aperiodiske flisebelægninger, ergodisk teori og rotationer // Matematikken i langrækkende aperiodisk orden. — Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1997.
  38. ↑ 1 2 Socolar JES og Taylor JM En aperiodisk sekskantet flise
  39. ↑ 1 2 Socolar JES og Taylor JM Fremtvinger uperiodicitet med en enkelt flise
  40. ↑ Burger R. The Undecidability of the Domino Problem // Memoirs of the American Mathematical Society. - 1966. - T. 66 . — S. 1–72 .
  41. ↑ Ollinger Nicolas. To-og-to substitutionssystemer og dominoproblemets uafklarelighed. - Springer, 2008. - S. 476-485.
  42. ↑ J. Kari , P. Papasoglu. Deterministiske aperiodiske flisesæt // Geometrisk og funktionel analyse. - 1999. - T. 9 . — S. 353–369 . - doi : 10.1007/s000390050090 .
  43. ↑ 1 2 Lagae A., Kari J. , Dutré P. Aperiodiske sæt af firkantede fliser med farvede hjørner // Rapport CW. - 2006. - T. 460 . - S. 12 . Arkiveret fra originalen den 2. oktober 2010.
  44. ↑ Grünbaum, Shephard, 1986 .
  45. ↑ A. Carbone, M. Gromov, P. Prusinkiewicz. Mønsterdannelse i biologi, syn og dynamik. Singapore: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2000. - ISBN 981-02-3792-8 .
  46. ↑ Kari J. Et lille aperiodisk sæt Wang-fliser". Discrete Mathematics, 160(1-3):259-264
  47. ↑ Lagae A. Tile Based Methods in Computer Graphics Dissertation (se side 149) Arkiveret 6. oktober 2010. ( WebCite arkiv )
  48. ↑ Culik K., Kari J. Om aperiodiske sæt Wang-fliser  (downlink)
  49. ↑ K. Culik. Et aperiodisk sæt med 13 Wang-fliser . Hentet 25. september 2013. Arkiveret fra originalen 2. oktober 2010.
  50. ↑ Zhu F. Søgen efter en universel flise
  51. ↑ D. A. Bailey, F. Zhu. En svampelignende (næsten) universel flise . Hentet: 25. september 2013.
  52. ↑ Goodman-Strauss C., Et hierarkisk stærkt aperiodisk sæt fliser i det hyperbolske plan
  53. ↑ Goodman-Strauss C. Et stærkt aperiodisk sæt fliser i det hyperbolske plan  // Opfind. Math.. - 2005. - T. 159 . — S. 130–132 . - doi : 10.1007/s00222-004-0384-1 . - .
  54. ↑ K. Boröczky. Gömbkitöltések állandó görbületü terekben I // Mat. Lapok.. - 1974. - T. 25 . — S. 265–306 . K. Boroczky. Gömbkitöltések állandó görbületü terekben II // Mat. Lapok.. - 1974. - T. 26 . — S. 67–90 .
  55. ↑ Goodman-Strauss C. Et stærkt aperiodisk sæt fliser i det hyperbolske plan  // Opfind. Math.. - 2005. - T. 159 . - S. 120 . - doi : 10.1007/s00222-004-0384-1 . - .
  56. ↑ Dolbilin N., Frettlöh D. Egenskaber af Böröczky flisebelægninger i højdimensionelle hyperbolske rum ( WebCite- arkiv )
  57. ↑ 12 Charles Radin . Aperiodiske fliser i højere dimensioner // Proceedings of the American Mathematical Society . - American Mathematical Society, 1995. - V. 123 , no. 11 . — S. 3543–3548 . - doi : 10.2307/2161105 . — .
  58. ↑ McKay Allan. J.I. DE NTVE QUINQUANGULA om femkantede snefnug // Krystallografi. - 1981. - T. 26 , no. 5 . - S. 910-919. . ( WebCite arkiv )
  59. ↑ Meisterernst G. Experimente zur Wachstumskinetik Dekagonaler Quasikristalle (Eksperimenter med dekagonale kvasikrystallers vækstkinetik) Afhandling (se side 18-19) ( WebCite arkiv )
  60. ↑ Jirong S. Strukturovergang af den tredimensionelle Penrose-flisebelægning under Phason-belastningsfelt // Chinese Phys. Lett.. - 1993. - T. 10, No.8 . — S. 449–452 . - doi : 10.1088/0256-307x/10/8/001 . ( WebCite arkiv )
  61. ↑ Inchbald G. En 3-D kvasikrystalstruktur
  62. ↑ Lord EA, Ranganathan S., Kulkarni UD Quasicrystals: fliselægning versus clustering // Phil. Mag. A. - 2001. - T. 81 . — S. 2645–2651 . - doi : 10.1080/01418610108216660 . ( WebCite arkiv )
  63. ↑ Rudhart CP Zur numerischen Simulation des Bruchs von Quasikristallen (Om den numeriske simulering af revner i kvasikrystaller) se side 11
  64. ↑ Lord EA, Ranganathan S., Kulkarni UD Flisebelægninger, belægninger, klynger og kvasikrystaller // Aktuel videnskab. - 2000. - T. 78 , no. 1 . — S. 64–72 . ( WebCite arkiv )
  65. ↑ Katz A. Theory of Matching Rules for the 3-Dimensional Penrose Tilings // Commun. Matematik. Phys.. - 1988. - T. 118 , no. 2 . — S. 263–288 . - doi : 10.1007/BF01218580 . ( WebCite arkiv )
  66. ↑ Eric A. Lord. Quasikrystaller og Penrose-mønstre // Aktuel videnskab. - 1991. - T. 61 , no. 5 . - S. 313 .
  67. ↑ K. Culik, J. Kari. Et aperiodisk sæt Wang-terninger . Hentet: 25. september 2013.
  68. ↑ G. Walther, C. Selter. Matematikdidaktik som designvidenskab. - Leipzig: Ernst Klett Grundschulverlag, 1999. - ISBN 3122000601 .
  69. ↑ L. Danzer. Tredimensionelle analoger af de plane Penrose-flisebelægninger og kvasikrystaller  // Diskret matematik. - 1989. - T. 76 . — S. 1–7 . - doi : 10.1016/0012-365X(89)90282-3 .
  70. ↑ Zerhusen A., Danzers tredimensionelle flisebelægning
  71. ↑ Goodman-Strauss C. Et aperiodisk par fliser i E n for alle n ≥ 3  // European Journal of Combinatorics . - 1999. - T. 20 , no. 5 . — S. 385–395 . - doi : 10.1006/eujc.1998.0282 . (fortryk tilgængelig her )

Første udgivelser

  1. ↑ Penrose, R. (1974), "The role of Aesthetics in Pure and Applied Mathematical Research", Bull. Inst. Matematik. og dens Appl. 10 :266-271
  2. ↑ Gardner, M. (januar 1977), "Ekstraordinær ikke-periodisk fliselægning, der beriger teorien om fliser", Scientific American 236 : 110-121
  3. ↑ Penrose, R. (1978), "Pentaplexity", Eureka 39 : 16-22
  4. ↑ 1 2 Robinson, R. (1971), "Ubeslutsomhed og ikke-periodicitet af flisebelægninger i flyet", Inv. Matematik. 12 :177-209
  5. ↑ 1 2 3 Grünbaum, Shephard, 1986 .
  6. ↑ Beenker, FPM(1982), "Algebraisk teori om ikke-periodiske fliselægninger af flyet ved hjælp af to simple byggesten: en firkant og en rombe", Eindhoven University of Technology, TH Report 82-WSK04
  7. ↑ Socolar, JES (1989), "Simple octagonal and dodecagonal quasicrystals", Phys. Rev. A39 : 10519-51
  8. ↑ Gahler, F., "Crystallography of dodecagonal quasicrystals" , publiceret i Janot, C.: Quasicrystalline materials : Proceedings of the ILL / Codest Workshop, Grenoble, 21-25 marts 1988. Singapore: World Scientific, 1928-2828, 472

Litteratur

Links

 geometriske mosaikker
Periodisk
aperiodisk
Andet
Ved toppunktskonfiguration
_
Kugleformet
Korrekt
semi
-korrekt
Hyperbolsk
_
  • 3 2 .4.3.5
  • 3 2 .4.3.6
  • 3 2 .4.3.7
  • 3 2 .4.3.8
  • 3 2 .4.3.∞
  • 3 2 .5.3.5
  • 3 2 .5.3.6
  • 3 2 .6.3.6
  • 3 2 .6.3.8
  • 3 2 .7.3.7
  • 3 2 .8.3.8
  • 3 3 .4.3.4
  • 3 2 .∞.3.∞
  • 3 4 .7
  • 3 4 .8
  • 3 4 .∞
  • 3 5 .4
  • 3 7
  • 3 8
  • 3∞ _
  • (3.4) 3
  • (3.4) 4
  • 3.4.6 2.4 _
  • 3.4.7.4
  • 3.4.8.4
  • 3.4.∞.4
  • 3.6.4.6
  • (3.7) 2
  • (3.8) 2
  • 3.14 2
  • 3,16 2
  • (3.∞) 2
  • 3.∞ 2
  • 4 2 .5.4
  • 4 2 .6.4
  • 4 2 .7.4
  • 4 2 .8.4
  • 4 2 .∞.4
  • 4 5
  • 4 6
  • 4 7
  • 4 8
  • 4∞ _
  • (4.5) 2
  • (4.6) 2
  • 4.6.12
  • 4.6.14
  • V4.6.14
  • 4.6.16
  • V4.6.16
  • 4.6.∞
  • (4.7) 2
  • (4.8) 2
  • 4.8.10
  • V4.8.10
  • 4.8.12
  • 4.8.14
  • 4.8.16
  • 4.8.∞
  • 4.10 2
  • 4.10.12
  • 4.12 2
  • 4.12.16
  • 4,14 2
  • 4,16 2
  • 4.∞ 2
  • (4.∞) 2
  • 5 4
  • 5 5
  • 5 6
  • 5∞ _
  • 5.4.6.4
  • (5.6) 2
  • 5,8 2
  • 5.10 2
  • 5.12 2
  • (5.∞) 2
  • 6 4
  • 6 5
  • 6 6
  • 6 8
  • 6.4.8.4
  • (6.8) 2
  • 6,8 2
  • 6.10 2
  • 6.12 2
  • 6,16 2
  • 7 3
  • 74 _
  • 7 7
  • 7,6 2
  • 7,8 2
  • 7.14 2
  • 8 3
  • 8 4
  • 8 6
  • 8 8
  • 8 12
  • 8,6 2
  • 8.16 2
  • ∞ 3
  • ∞ 4
  • ∞ 5
  • ∞∞ _
  • ∞.6 2
  • ∞.8 2