Løgn afledt

Tensorfeltets afledte med hensyn til vektorfeltets retning er den primære lineære del af tilvæksten af tensorfeltet under dets transformation, som er induceret af den lokale én-parameter gruppe af diffeomorfismer af manifolden genereret af feltet . $Q$ $x$ $Q$ $x$

Opkaldt efter den norske matematiker Sophus Lie .

Normalt betegnet . ${\mathcal {L}}_{X}Q$

Definitioner

Aksiomatisk

Lie-derivatet er fuldstændig bestemt af følgende egenskaber. Denne definition er mest praktisk til praktiske beregninger, men kræver bevis for eksistens.

Lie-afledningen af et skalarfelt er den retningsbestemte afledte . ${\mathcal {L}}_{X}f$ $f$ $f$ $x$ ${\mathcal {L}}_{X}f=Xf.$
Lie-afledningen af et vektorfelt er Lie-parentesen af vektorfelter. (Feltets Lie-afledte med hensyn til feltets retning ). ${\mathcal {L}}_{X}Y$ $Y$ $Y$ $x$ ${\mathcal {L}}_{X}Y=[X,Y].$
For vilkårlige vektorfelter og en 1-form gælder følgende lighed (Cartans identitet) $\alfa$ $({\mathcal {L}}_{X}\alpha )(Y)=(d\alpha )(X,Y)+Y\alpha (X).$
( Leibniz' regel ) For vilkårlige tensorfelter S og T , ${\mathcal {L}}_{X}(S\otimes T)=({\mathcal {L}}_{X}S)\otimes T+S\otimes ({\mathcal {L}} _{X}T).$

Gennem strømmen

Lad være en -dimensionel glat manifold og være et vektorfelt på . $M$ $n$ $x$ $M$

Overvej flowet i , defineret af relationerne $\Gamma _{X}^{t}\colon M\to M$ $x$

{\frac {d}{dt}}\Gamma _{X}^{t}(p)=X_{\Gamma _{X}^{t}(p)},\Gamma _{X} ^{0}(p)=p

Invers afbildning til differential , ${\displaystyle \Gamma _{X}^{t))$

{\displaystyle (d_{p}\Gamma _{X}^{t})^{-1}\colon T_{\Gamma _{X}^{t}(p)}\to T_{p))

strækker sig entydigt til en homomorfi fra tensoralgebraen over til tensoralgebraen over . Således definerer et vilkårligt tensorfelt en én-parameter familie af felter . Lie-derivatet kan defineres som $h_{t}$ ${\displaystyle T_{\Gamma _{X}^{t}(p)))$ $T_{p}$ $Q$ $Q_{t}=h_{t}(Q)$

{\mathcal {L}}_{X}Q={\frac {d}{dt}}Q_{t}|_{t=0}

Udtryk i koordinater

{\mathcal {L}}_{\xi }f=\xi ^{k}\partial _{k}f,

hvor er en skalar. $f$

{\mathcal {L}}_{\xi}y=\xi ^{k}\partial _{k}y^{i}-y^{k}\partial _{k}\xi ^{ jeg},

hvor er en vektor og er dens komponenter. $y$ $y^{i}$

{\mathcal {L}}_{\xi}\omega =\xi ^{k}\partial _{k}\omega _{i}+\omega _{k}\partial _{i}\ xi ^{k},

hvor er 1-formen og er dens komponenter. $\omega$ $\omega _{i}$

{\mathcal {L}}_{\xi}g=\xi ^{k}\partial _{k}g_{ij}+\partial _{i}\xi ^{k}g_{kj} +\partial _{j}\xi ^{k}g_{ik},

hvor er den metriske tensor og er dens komponenter. $g$ $g_{ij}$

Lie-derivatet for et tensorfelt i en ikke-holonomisk ramme

Lad et tensorfelt K af typen (p, q) være givet i en ikke-holonomisk ramme , så er dets Lie-afledte langs vektorfeltet X givet ved følgende formel: $\{e_{\alpha }}\}$

$({\mathcal {L}}_{X}K)_{(\beta )}^{(\alpha )}=XK_{(\beta )}^{(\alpha )}-\{K_ {(\beta )}^{(\alpha )}P_{*}^{*}\}$ ,

hvor og følgende notation introduceres: $(\alpha )=(\alpha _{1}...\alpha _{p}),(\beta )=(\beta _{1}...\beta _{q})$

$\{K_{(\beta )}^{(\alpha )}P_{*}^{*}\}=\sum _{s=1}^{p}K_{(\beta )}^ {\alpha _{1}...\sigma ...\alpha _{p}}P_{\sigma }^{\alpha _{s}}-\sum _{s=1}^{q}K_ {\beta _{1}...\sigma ...\beta _{q}}^{(\alpha )}P_{\beta _{s}}^{\sigma }$ ,

${\displaystyle P_{\beta }^{\alpha }=e_{\beta }\xi ^{\alpha }-R_{\sigma \beta }^{\alpha }\xi ^{\sigma ))$

$R_{\alpha \beta }^{\sigma }e_{\sigma }=[e_{\alpha },e_{\beta }]$ er et objekt for nonholonomi.

Egenskaber

${\mathcal {L}}_{X}(s)$ $\mathbb {R}$ -lineært i og i . Her er et vilkårligt tensorfelt. $x$ $s$ $s$
Lie-derivatet er en differentiering på ringen af tensorfelter.
På superalgebraen af ydre former er Lie-afledningen en afledning og en homogen operator af grad 0.
Lad og være vektorfelter på manifolden, så er der en afledning af algebraen , så der er et vektorfelt for hvilket . Dette vektorfelt kaldes Lie-parentesen af felterne u og v (også deres Poisson-parentes eller kommutator ). $v$ $u$ $[{\mathcal {L}}_{v},{\mathcal {L}}_{u}]={\mathcal {L}}_{v}{\mathcal {L}}_{u }-{\mathcal {L}}_{u}{\mathcal {L}}_{v}$ $C^{\infty }(M)$ $[v,u]$ ${\mathcal {L}}_{[v,u]}=[{\mathcal {L}}_{v},{\mathcal {L}}_{u}]$
Homotopiformel ( kartansk identitet ): ${\mathcal {L}}_{v}\omega =i_{v}d\omega +di_{v}\omega .$

Her er en differential -form , er operatøren af intern differentiering af former, defineret som .

\omega

k

{\displaystyle i_{v))

(i_{v}\omega )(X_{1},\dots,X_{k-1})=\omega (v,X_{1},\dots,X_{k-1})

Følgelig, ${\mathcal {L}}_{X}d\omega =d{\mathcal {L}}_{X}\omega ,\;\omega \in \Lambda ^{*}(M)$
${\mathcal {L}}_{X}(s)=\mathop {vpr} _{F}(Ts\circ XX^{F}\circ s)$ . Her er et glat udsnit af et (naturligt) vektorbundt (for eksempel et hvilket som helst tensorfelt), er et løft af et vektorfelt på og er en vertikal projektionsoperator på . ( Se nedenfor ) $s$ $F$ $X^{F}$ $x$ $F$ $\mathop {vpr} _{F}$ $F$

Den fysiske betydning af Lie-derivatet

Lad vektorfeltet være hastighedsfeltet for en ikke-inertiel referenceramme i forhold til den inertielle referenceramme , dvs. ved hvert punkt i rummet i hvert tidspunkt af tiden , hastigheden af disse systemers koordinatgitter i forhold til hver andet er bestemt. Derefter overfører Lie-afledten langs vektorfeltet den tidsafledede af eventuelle tensorfelter fra den ikke-inertielle referenceramme til den inertielle, hvorved den invariante tidsafledede af tensorfelterne defineres. $V(x,t)$ $x$ $t$ $V(x,t)$ $Q(x,t)$

Generaliseringer

Naturlige bundter

Lad være et naturligt glat bundt, det vil sige en funktion , der virker fra kategorien af glatte manifolds til kategorien af bundter over dem :. Et vilkårligt vektorfelt genererer en én-parameter diffemorfi-gruppe, der strækker sig via til bundlerummet , det vil sige . Den afledte af denne gruppe ved nul giver et vektorfelt, der er en forlængelse af . Gruppen tillader også, at man kan bestemme Lie-derivatet med hensyn til vilkårlige sektioner ved at bruge den samme formel som i det klassiske tilfælde: $F$ $F\colon M\mapsto (F(M),M,\pi _{M}),\;\pi _{M}\colon F(M)\to M$ $X\inTM$ $\Gamma ^{t}:M\to M$ $F$ $F(M)$ $F(\Gamma ^{t}):F(M)\til F(M)$ $X^{F}\in TF(M)$ $x$ $F(\Gamma ^{t})$ $x$ $s:M\to F(M)$

{\mathcal {L}}_{X}(s)=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}F(\Gamma ^{t})^ {*}s=\venstre.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}(F(\Gamma ^{-t})\circ s\circ \Gamma ^{t})

{\mathcal {L}}_{X}(s)=Ts\circ XX^{F}\circ s

Bemærk, at i det generelle tilfælde er Lie-afledte et element i det tilsvarende lodrette bundt , det vil sige kernen af kortlægningen , da . Hvis er et vektorbundt, så er der en kanonisk isomorfi . Den lodrette projektionsoperator giver os mulighed for at repræsentere Lie-derivatet som en sektion af det originale bundt: $VF(M)$ $T\pi _{M}:TF(M)\to TM$ $T\pi _{M}\circ {\mathcal {L}}_{X}(s)=0_{M}$ $F$ $vl:F(M)\times _{M}F(M)\simeq VF(M)$ ${\displaystyle vpr_{F}=\mathrm {pr} _{2}\circ vl^{-1))$

{\mathcal {L}}_{X}(s)=\mathop {vpr} _{F}(Ts\circ XX^{F}\circ s)

Lie's afledte med hensyn til former

En anden generalisering er baseret på studiet af Lie superalgebra af afledninger af superalgebra af ydre former. Blandt alle sådanne afledninger skiller de såkaldte algebraiske , det vil sige dem, der er lig med 0 på funktioner, sig især ud. Enhver sådan afledning har formen , hvor er den tangentielle form , og den indre differentieringsoperator er defineret af formlen $i_{K}$ $K\in TM\otimes \Lambda ^{*}(M)$ $i_{K}$ $(\omega \i \Lambda ^{p+1}(M))$

i_{K}\omega =\mathrm {Alt} (\omega \circ (K\otimes id^{\otimes p}))

Her er operationen med at skifte visning over alle variabler. Den vektorvurderede Lie-afledte er defineret i form af superkommutatoren af operatorer: $\mathrm {Alt}$ $K$

{\mathcal {L}}_{K}=[i_{K},d]

Dens betydning bestemmes af det faktum, at enhver afledning af en superalgebra er entydigt repræsentabel som , hvor , er nogle vektorvurderede former. Derudover kan du ifølge formlen indtaste Frolich-Nienhuis-parentesen af tangentielt værdisatte former. $D$ $\Lambda ^{*}(M)$ $D={\mathcal {L}}_{K}+i_{S}$ $K$ $S$ $[{\mathcal {L}}_{K},{\mathcal {L}}_{S}]={\mathcal {L}}_{[K,S]}$

Litteratur

Sh. Kobayashi, K. Nomizu. Grundlæggende om differentialgeometri. - 1981. - T. 1. - 344 s.
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Moderne geometri: Metoder og anvendelser. - 2., revideret. - M. : Nauka, 1986. - T. 1. - 760 s.
Ivan Kolář, Peter W. Michor, Jan Slovák. Naturlige operationer i differentialgeometri . - 1. udg. - Springer, 1993. - 434 s. — ISBN 978-3540562351 . Arkiveret 30. marts 2017 på Wayback Machine

Se også

Dræbermark

Differentialregning

Hoved

private udsigter

Differentialoperatorer
( i forskellige koordinater )

Første ordre	Nabla operatør Gradient Divergens Rotor Helmholtzian
anden orden	Elliptisk operatør Laplace operatør Laplace vektor operatør D'Alembert operatør Laplace-Beltrami operatør
højere ordrer	Hypoelliptisk operatør

relaterede emner