Kovariant vektor

I lineær algebra er en kovariant vektor på et vektorrum det samme som en lineær form (lineær funktionel) på det rum.

I differentiel geometri er en kovariant vektor på en differentierbar manifold en glat sektion af cotangensbundtet. Tilsvarende er en kovariant vektor på en manifold M en jævn afbildning af det totale rum af tangentbundtet M til R , hvis begrænsning til hvert lag er en lineær funktionel på tangentrummet. Det bliver skrevet sådan her:

\alpha :TM\rightarrow {{\mathbf R}},\quad \alpha _{x}=\alpha |_{{T_{x}M}}:T_{x}M\rightarrow {{\mathbf R} }

hvor α x er lineær.

Co- og kontravariante vektorer i rum (på manifolds) med ikke-degenereret metrisk

Yderligere antages det, at der på det rum, hvori de beskrevne objekter eksisterer (eller på manifolden, i hvis tangentrum de findes), er givet en ikke-degenereret metrik.

Korrespondance mellem vektorer og covektorer

Hvis en ikke-degenereret metrisk tensor er defineret , kan den "kovariante vektor" og "kontravariante vektor" formelt betragtes som ganske enkelt forskellige repræsentationer (registreringer i form af et sæt tal) af det samme geometriske objekt - en almindelig vektor . Det vil sige, at den samme vektor kan skrives som kovariant (det vil sige gennem et sæt af kovariante koordinater) eller kontravariant (det vil sige gennem et sæt af modstridende koordinater). Transformationen fra en repræsentation til en anden udføres simpelthen ved foldning med en metrisk tensor :

\ v_{i}=g_{{ij}}v^{j}

\ v^{i}=g^{{ij}}v_{j}

(her og nedenfor mener vi summering over et gentaget indeks, ifølge Einsteins regel).

Forskellen mellem vektorer og covektorer

Meningsmæssigt er vektorer og covektorer kendetegnet ved, hvilken af repræsentationerne der er naturlig for dem. Så for covektorer - for eksempel for en gradient - er udvidelse i en dobbelt basis naturlig, da deres naturlige foldning (skalarprodukt) med en almindelig vektor (for eksempel forskydning) udføres uden deltagelse af en metrisk, blot ved at summere de multiplicerede komponenter. For almindelige vektorer (hvortil forskydningen i rumlige koordinater også hører ) er ekspansion i hovedgrundlaget naturlig, da de konvolverer med andre almindelige vektorer, såsom forskydningsvektoren i rumlige koordinater, med deltagelse af metrikken. For eksempel opnås en skalar (som en total differential ) ved metrisk-fri kontraktion af en kovariant vektor , som er en naturlig repræsentation af gradient 1-formen, der virker på et skalarfelt, med en kontravariant vektor , som er en naturlig repræsentation af den sædvanlige forskydningsvektor i koordinater; samtidig kollapser den med sig selv ved hjælp af metrikken: , som er i fuld overensstemmelse med, at den er kontravariant. $dx^{i}$ $\ d\varphi =(\partial _{i}\varphi )\,dx^{i}$ $\ \partial _{i}\varphi$ $\dx^{i}$ $\dx^{i}$ $\ (dx)^{2}=g_{{ij}}\,dx^{i}\,dx^{j}$

Hvis vi taler om almindeligt fysisk rum, er et simpelt tegn på en vektors kovarians/kontravarians, hvordan dens naturlige repræsentation er foldet sammen med et sæt rumlige forskydningskoordinater , som er et eksempel på en kontravariant vektor. Dem, der konvolveres med ved simpel summering, uden nogen metrik involveret, er kovariante vektorer (1-former); ellers (foldning kræver deltagelse af en metrik) er disse kontravariante vektorer. Hvis rummet og koordinaterne er fuldstændig abstrakte, og der ikke er nogen måde at skelne mellem hoved- og dobbeltbasis, undtagen ved et vilkårligt betinget valg, så forsvinder eller bliver den meningsfulde skelnen mellem kovariante og kontravariante vektorer også rent betinget. $\dx^{i}$ $\dx^{i}$

Spørgsmålet om, hvorvidt netop den repræsentation, vi ser et objekt i, er naturlig for det, vil blive berørt lidt højere. Naturlig for en almindelig vektor er en kontravariant repræsentation, for en covektor er den kovariant.

Se også

Differentialform

Se også

Litteratur

Landau L. D. , Lifshits E. M. Felteori. - 7. udgave, revideret. — M .: Nauka , 1988. — 512 s. - (" Teoretisk fysik ", bind II). — ISBN 5-02-014420-7 .