Dirichlet tegn

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 13. november 2018; checks kræver 4 redigeringer .

Dirichlet-testen er et teorem , der angiver tilstrækkelige betingelser for konvergens af ukorrekte integraler og summerbarheden af uendelige rækker . Opkaldt efter den tyske matematiker Lejeune Dirichlet .

Dirichlet-testen for konvergens af ukorrekte integraler

Overvej funktioner og defineret på intervallet , , og har en singularitet (af den første eller anden slags) på punktet. Lad følgende betingelser være opfyldt: $f$ $g$ $[en; b)$ $a\in {\mathbb {R}}$ ${\displaystyle b\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \))$ $b$

et integral med en øvre variabel grænse er defineret for alle og begrænset til ; $\int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt$ $x\i[a; b)$ $[en; b)$
funktionen er monoton på og . $g(x)$ $[en; b)$ $\lim _{x\to b-}g(x)=0$

Derefter konvergerer. $\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx$

Bevis

Overvej integralen for nogle (uden tab af almenhed, vil vi antage ). Da det er monotont på , er det integrerbart på det, og derfor kan det integreres på som et produkt af integrerbare funktioner. $\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)g(t)\,dt$ $x_{1},x_{2}\in [a;b)$ ${\displaystyle x_{1}\leq x_{2))$ $g(t)$ $[x_{1};x_{2}]$ $f(t)g(t)$ $[x_{1};x_{2}]$

$f(t)$ — integrerbar, — monoton. Betingelserne for den anden middelværdisætning er opfyldt, og der eksisterer et punkt, således at $g(t)$ $\xi \in [x_{1};x_{2}]$

\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)g(t)\,dt=g(x_{1})\int \limits _{x_{1} }^{\xi }f(t)\,dt+g(x_{2})\int \limits _{\xi }^{x_{2}}f(t)\,dt

Funktionen er begrænset til , hvilket betyder, at der er sådan , at . Derefter: $\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)\,dt$ $[a;b)$ $M\geq 0$ $\left|\int \limits _{x_{1}}^{\xi}f(t)\,dt\right|\leq M$ $\left|\int \limits _{\xi }^{x_{2}}f(t)\,dt\right|\leq M$

\left|\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)g(t)\,dt\right|=\left|g(x_{1})\ int \limits _{x_{1}}^{\xi}f(t)\,dt+g(x_{2})\int \limits _{\xi }^{x_{2}}f(t) \,dt\right|\leq |g(x_{1})|\venstre|\int \limits _{x_{1}}^{\xi}f(t)\,dt\right|+|g( x_{2})|\venstre|\int \limits _{\xi }^{x_{2}}f(t)\,dt\right|\leq |g(x_{1})|M+|g( x_{2})|M=M(|g(x_{1})|+|g(x_{2})|)

$g(x)$ motorisk har en tendens til nul, derfor er den begrænset på den ene side og på den anden side . Så og $g(a)$ $0$ $|g(x_{2})|\leq |g(x_{1})|$

\left|\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)g(t)\,dt\right|\leq 2M|g(x_{1})|

$g(x)\to 0$ , hvilket per definition betyder

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta \in [a;b)\ \forall x\in (\delta ;b)\colon |g(x)|<\varepsilon

Derefter ( tag mindre end eller lig med ) $\forall x_{1},x_{2}\in (\delta ;b)$ $x_{1}$ $x_{2}$

\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)g(t)\,dt\leq 2M|g(x_{1})|<2M\varepsilon

som ikke er andet end Cauchy-kriteriet for konvergensen af et upassende integral.

Tegnet kan også formuleres til det tilfælde, hvor singulariteten er på punktet . Lad , og blive defineret på . I dette tilfælde ændres betingelserne som følger: $-en$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} \cup \{-\infty \))$ $b\in \mathbb {R}$ $f$ $(a;b]$

integralet med en nedre variabel grænse er defineret for alle og begrænset til ; $\int \limits _{x}^{b}f(t)\,dt$ $x \in (a; b]$ $(a;b]$
$g(x)$ er monoton på og . $(a;b]$ $\lim _{x\to a+}g(x)=0$

Derefter konvergerer. $\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx$

Det er heller ikke nødvendigt at . Hvis , så er konvergensen ækvivalent med konvergensen af . $a<b$ $a>b$ $\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=-\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\, dx$ $\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx$ $\int \limits _{b}^{a}f(x)g(x)\,dx$

Hvis integralet opfylder betingelserne for Dirichlet-kriteriet, er følgende estimat sandt for resten:

|r_{\xi }|=\venstre|\int \limits _{\xi }^{b}f(t)g(t)\,dt\right|\leq 2M|g(\xi ) |

Her er et vilkårligt tal fra intervallet, og er det tal, som integralet med den øvre variable grænse er afgrænset af. Ved at bruge dette estimat kan man tilnærme værdien af det ukorrekte integral med det korrekte integral med enhver forudbestemt nøjagtighed. $\xi$ $M$

Dirichlet-kriteriet for konvergens af serier af Abelian-typen

Definition (Abel type serie)

Serien , hvor og rækkefølgen er positiv og monoton (startende fra et bestemt sted, i det mindste i ordets bredeste betydning), kaldes en serie af Abel-type . $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}b_{n}$ $|B_{n}|=\venstre|\sum _{{k=1}}^{n}b_{k}\right|\leqslant M\quad \forall n\in \mathbb{N}$ $\{a_{n}\}$

Sætning (Dirichlet-test for konvergens af serier af Abelian-type)

Lad følgende betingelser være opfyldt:

Rækkefølgen af delsummer er afgrænset, det vil sige . $B_{n}=\sum _{{k=1}}^{n}b_{k}$ $\exists M>0:|B_{n}|\leqslant M\quad \forall n\in \mathbb{N}$
$a_{n}\geqslant a_{{n+1}}\quad \forall n\in \mathbb{N}$ .
$\lim _{{n\to \infty }}a_{n}=0$ .

Så konvergerer serien . $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}b_{n}$

Dirichlet-testen for konvergens af Abelian-serier er analog med Dirichlet-testen for konvergens af et ukorrekt integral af den første slags.
Det er let at se, at Leibniz-kriteriet for konvergens af alternerende serier er et specialtilfælde af denne sætning, nemlig:

\sum _{{n=1}}^{\infty }(-1)^{{n+1}}c_{n},\quad c_{n}>0,\;c_{{n+1} }\leqslant c_{n}\quad \forall n\in \mathbb{N} ,\quad \lim _{{n\to \infty }}c_{n}=0;

b_{n}=(-1)^{n+1}\Rightarrow |B_{n}|=\venstre|\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+ 1 }\right|\leqslant 1\quad \forall n\in \mathbb {N} \Rightarrow

konvergens af Leibniz-serien baseret på Dirichlet-testen.

Estimat af resten af en serie af Abel-type
Overvej serien og lad betingelserne for Dirichlet-kriteriet være opfyldt. Så sker følgende skøn: . $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}b_{n}$ $|r_{n}|=\venstre|\sum _{{k=n+1}}^{\infty }a_{k}b_{k}\right|\leqslant 2Ma_{{n+1}}\quad \forall n\in \mathbb{N}$
Beviset for Dirichlet-kriteriet følger af Abel-transformationen .

Dirichlet-kriteriet for ensartet konvergens af et ukorrekt integral med parameteren

Lad funktionen og være defineret på mængden , , og det antages, at integralet for nogle punkter har en singularitet i punktet . Lad følgende betingelser være opfyldt: $f$ $g$ $[a;b)\ gange Y$ $a\in {\mathbb {R}}$ ${\displaystyle b\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \))$ $\int \limits _{a}^{b}f(x,y)\,dx$ $y\i Y$ $b$

integralet med en øvre variabel grænse er defineret for alle og ensartet afgrænset på ; $\int \limits _{a}^{x}f(t,y)\,dt$ $x\i[a; b)$ $y\i Y$ $[a;b)\ gange Y$
funktionen er monoton i på for hver beton og for . $g(x,y)$ $x$ $[en; b)$ $y\i Y$ $g(x,y)\rightrightarrows 0$ $x\to b-$

Konvergerer derefter ensartet. $\int \limits _{a}^{b}f(x,y)g(x,y)\,dx$

Bevis

Beviset er næsten identisk med tilfældet med et integral uden en parameter. Vi fikser og betragter yderligere funktionerne og som funktioner af en variabel . For dem gør vi alt det samme som i beviset for integraler uden en parameter, bortset fra at vi tager det samme for alle (dette kan gøres ved fuldstændig afgrænsethed). Kom til $y\i Y$ $f(x,y)$ $g(x,y)$ $x$ $M$ $y\i Y$

\left|\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t,y)g(t,y)\,dt\right|\leq 2M|g(x_{ 1},y)|

$g(x,y)$ tendens ensartet til nul. Vi skriver definitionen af ensartet konvergens:

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta \i [a;b)\ \forall x\in (\delta ;b)\forall y\in Y\colon |g(x,y)|< \varepsilon

Derefter $\forall x_{1},x_{2}\in (\delta ;b),x_{1}<x_{2},\forall y\in Y$

\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t,y)g(t,y)\,dt\leq 2M|g(x_{1},y)| <2M\varepsilon

Vi nåede frem til Cauchy-kriteriet for ensartet konvergens af et ukorrekt integral med en parameter.

Se også

Abel tegn

Litteratur

A. K. Boyarchuk "Funktioner af en kompleks variabel: teori og praksis" Opslagsbog om højere matematik. T.4 M.: Redaktionel URSS, 2001. - 352s.

Tegn på konvergens af serier
For alle rækker	Nødvendig tilstand Cauchy kriterium	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
For tegn-positive serier	Hovedkriterium Sammenligningstegn Kummer tegn Gauss tegn Cauchys radikale tegn Integreret funktion Tegn af D'Alembert magt tegn logaritmisk tegn Tegn af Raabe Bertrand tegn Tegn på Jamet Tegn på Schlömilch Ermakovs tegn Lobachevskys tegn teleskopskilt Tegn på Sapogov
Til skiftende serier	Leibniz tegn
For rækker af formularen $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Abel tegn Tegn på Dedekind Dubois-Reymond skilt Dirichlet tegn
Til funktionelle serier	Weierstrass skilt
Til Fourier-serien	Dini tegn Tegn på de la Vallée Poussin Jordan tegn Jung tegn Salem tegn Lebesgue tegn Lebesgue-Gergen tegn Tegn af Martsinkevich