Monoton sekvens

En monoton sekvens er en sekvens, hvis elementer ikke falder med stigende antal, eller omvendt ikke stiger. Sådanne sekvenser findes ofte i forskning og har en række særpræg og yderligere egenskaber. En sekvens med ét tal kan ikke betragtes som stigende eller faldende.

Definitioner

Lad der være et sæt , hvorpå rækkefølgerelationen introduceres . $x$

En sekvens af elementer i et sæt kaldes ikke- aftagende , hvis hvert element i denne sekvens ikke overstiger den næste. $\{x_n\}$ $x$

\{x_n\}

- ikke faldende

{\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}\leqslant x_{n+1))

En sekvens af elementer i et sæt kaldes ikke- forøgende , hvis hvert næste element i denne sekvens ikke overstiger det foregående. $\{x_n\}$ $x$

\{x_n\}

- ikke stigende

{\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}\geqslant x_{n+1))

En sekvens af elementer i et sæt kaldes stigende , hvis hvert næste element i denne sekvens overstiger det foregående. $\{x_n\}$ $x$

\{x_n\}

- stigende

{\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}<x_{n+1))

En sekvens af elementer i et sæt kaldes aftagende , hvis hvert element i denne sekvens overskrider den næste. $\{x_n\}$ $x$

\{x_n\}

- faldende

{\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}>x_{n+1))

En sekvens kaldes monotonisk , hvis den enten er ikke-faldende eller ikke-stigende. [en]

En sekvens kaldes strengt monotonisk , hvis den enten er stigende eller faldende.

Det er klart, at en strengt monoton sekvens er monoton.

Nogle gange bruges en variant af terminologien, hvor udtrykket "stigende sekvens" betragtes som et synonym for udtrykket "ikke-aftagende sekvens", og udtrykket "aftagende sekvens" betragtes som et synonym for udtrykket "ikke-aftagende sekvens". stigende rækkefølge". I et sådant tilfælde kaldes de stigende og faldende sekvenser fra ovenstående definition henholdsvis "strengt stigende" og "strengt faldende".

Monotonicitetsintervaller

Det kan vise sig, at ovenstående betingelser ikke er opfyldt for alle tal , men kun for tal fra et bestemt område $n\in {\mathbb N}$

I=\{n\in {\mathbb N}\mid N_{{-}}\leqslant n<N_{{+}}\}

(her kan den højre grænse drejes til det uendelige). I dette tilfælde kaldes sekvensen monotonisk på intervallet , og selve området kaldes sekvensens monotoniske interval . ${\displaystyle N_{+))$ $jeg$ $jeg$

Eksempler

Rækkefølgen af naturlige tal .
- $\forall n\in \mathbb{N} \colon x_{n}=n$ .
- Startsegmenter: . $(1,2,3,4,5,6,7,8,\cdots )$
- Stigende rækkefølge.
- Består af naturlige tal.
- Begrænset nedefra, ikke begrænset fra oven.

Fibonacci sekvens .
- $x_{n}={\begin{cases}1,&n=1\lor n=2\\x_{{n-1}}+x_{{n-2}},&n\geqslant 3\end{cases} }$
- Startsegmenter: . $(1,1,2,3,5,8,13,21,\cdots )$
- Ikke-faldende rækkefølge.
- Består af naturlige tal.
- Begrænset nedefra, ikke begrænset fra oven.

Geometrisk progression med base . $1/2$
- $\forall n\in \mathbb{N} \colon x_{n}={\frac {1}{2^{{n-1))))$ .
- Startsegmenter: . $(1.1/2.1/4.1/8.1/16,\cdots )$
- Faldende sekvens.
- Består af rationelle tal .
- Begrænset på begge sider.

En sekvens, der konvergerer til tallet e .
- $\forall n\in \mathbb{N} \colon x_{n}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$ .
- Startsegmenter: . $(2.9/4.64/27.625/256,\cdots )$
- Stigende rækkefølge.
- Består af rationelle tal , men konvergerer til et transcendentalt tal .
- Begrænset på begge sider.

Rækkefølgen af formens rationelle tal er ikke monoton. Det er dog (strengt) faldende på intervallet og (strengt) stigende på intervallet . $x_{n}=\,\!(n-5)^{2}$ $\{1,\,\!2,3,4\}$ $\{n\i {\mathbb N}\mid n\geqslant 5\}$

Egenskaber

Begrænsning.
- Hver ikke-aftagende sekvens er afgrænset nedefra.
- Hver ikke-stigende sekvens er afgrænset ovenfra.
- Hver monoton sekvens er afgrænset på mindst én side.

En monoton sekvens konvergerer, hvis og kun hvis den er afgrænset på begge sider. ( Weierstrass' Bounded Monotone Sequence Theorem )
- En konvergent ikke-aftagende sekvens er afgrænset ovenfra af sin grænse .
- En konvergent ikke-forøgende sekvens er afgrænset nedefra af sin grænse.

Noter

↑ V. A. Ilyin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sendov . Kapitel 3. Theory of Limits // Matematisk analyse / Red. A.N. Tikhonova . - 3. udg. , revideret og yderligere - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 68 - 105. - 672 s. — ISBN 5-482-00445-7 .

Se også

Monotonisk funktion